1、 毕业论文文献综述 数学与应用数学 关于中学数学教学方法改革的几点思考 一、前言部分 中国教育改革发展纲要确立了教育应由“应试教育”向“素质教育”转轨的教育思想，其中培养学生的创新精神和实践能力是素质教育的核心。在基础教育中，对于数学这样一门有广泛应用性的基础性学科，如何整体把握数学的精神，注意数学思想方法的渗透，提高学生的能力与素质是中学数学教育研究的一个重要课题。 本文主要从数学知识系统的结构特点、数学的认识论特点和数学发展的历史学特点出发，概括中学数学思想方法的基本理论，在教材的理解，教 学的实施以及学生的培养方面进行积极探索，为中学数学教学提供有价值的参考意见。 1 中学数学思想方法的
2、基本理论 1.1 数学思想方法的涵义 数学思想是指人类对数学对象及其研究的本质及规律性的认识，它是在数学活动中解决问题的基本观点和根本想法，是建立数学和运用数学工具解决问题的指导思想。数学方法是指从数学提出问题、解决问题的过程中概括性的策略。数学思想往往带有理论性的特征，而数学方法具有实践性的倾向。数学中用到的解题方法都体现着一定的数学思想，一定的数学思想要靠数学方法去实现，数学思想和方法常统称为数学思想方法。 1.2 数学思想方法的基本框架 数学思想，数学方法有着不同的层次划分。有学者从数学知识系统的结构特点、数学的认识论特点和数学发展的历史学特点出发，提出了基元与整体、转化与整合、扩张与因
3、袭的数学思想的基本框架。这个基本框架对于我们更加全面、深刻地认识和理解数学思想方法，进而建立科学的数学教育观应该是有帮助的。 1.2.1 基元与整体 “基元”是指基本的独立存在物，基元是构成整体的要素，也是认识整体的基础。系统或结构中主要有两种基元，一种是决定系统或结构本质属性的单位基元，另一种是决定系统或结构组织特征的 构造基元。比如 1，三角形，基本初等函数等是单位基元，全体自然数的构造，多边形的三角剖分，基本初等函数的代数运算与复合运算是构造基元。单位基元具有根基性、归纳性、特殊性和具体性的特点，构造基元具有发展性、演绎性、一般性和抽象性的特点。两种类型的基元构成数学系统或结构的基本研究
4、范式，体现出数学知识系统的结构性特点。 基元与整体思想揭示了数学知识系统的结构性特点，运用于数学教育，则是要求教师重视知识的组织方式或结构方式，加强对数学知识系统的内在结构规律的认识，更明确具体教学内容在整个数学知识系统中的地位与作用。 另外，传授任何学科，主要是要使学生掌握这一学科的基本结构，同时也要掌握研究这一学科的基本态度和方法。所以基元与整体思想的把握有利于合理地进行数学教学设计。 1.2.2 转化与整合 转化与整合是主体的一种认识方式与活动方式。为了解决一个困难问题，首先通过某种简化程序把它变换为一个比较容易的等价问题，即转化，然后求解这个比较容易的问题，最后反演简化程序，从而得到原
5、问题的解，即整合。从认识论的角度看，数学家们利用转化与整合解决一个又一个问题，也就是人类知识视野不断得到扩展的过程，转化与整合成为认识发展的主要形式 。射影集合、解析几何都是沿着这一思想路线发展起来的。 转化与整合思想体现在数学教育上，就是要在教育过程中强调主体思维活动的描述与认识。在解决数学问题的具体操作过程中，我们不断的实现未知向己知的转化、复杂向简单的转化、一般向特殊的转化、抽象向具体的转化 然后再进行整合，所以数学中的一切问题的解决都离不开转化与整合。它是解决数学问题时至关重要的思想方法。我们应该对它有一个明确的认识，并不断的向学生渗透。 1.2.3 扩张与因袭 从数学的发展历史来看，
6、从算术到代数，从有限到无限，每一次认识的进步都是在经历了发展与继承的矛盾斗争之后取得的。数学发展是必然，而继承则是发展的基础，只有不断协调发展与继承的关系，才能不断地进步，数学发展史上的每一次重大转折无不反映出这种规律的作用。发展与继承即扩张与因袭，这个过程是人类认识发展的过程，也是数学发展的过程。 在数学教育中，研究这一过程，从中可以得到许多有益的启示：扩张打开了人们认识的视野，而因袭则反映了认识的连续性和继承性；扩张是发展的基础，而因袭则使这种发展有了理性的方向。 如果说基元与整体侧重在对数学系统的结构性揭示，转化与整合主要侧重于认识主体思维活动的描述，那 么扩张与因袭则侧重于数学发展的历
7、史分析。三者有机结合，规划出数学思想的整体轮廓，以此为基础，形成数学教育的基本观点和数学活动的基本原则，进而推动数学教育的健康发展。 1.3 中学数学中常见的数学思想方法 数学思想和方法是数学知识的精髓 , 又是知识转化为能力的桥梁。目前中学阶段 , 主要数学思想方法有 : 数形结合的思想、分类讨论的思想、整体思想、化归的思想、转化思想、归纳思想、类比的思想、函数的思想、方程思想等。这里将着重阐述一些中学常见的，具体的数学思想方法。 1.3.1 方程思想 所谓方程的思想就是突出 研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程组等步骤，达到求出未知量的解题思路和策略，它是
8、解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。数学家笛卡尔在他的著作指导思维的法则中，提出了一个重要的法则： 第一，把任何问题化为数学思想； 第二，把任何数学问题转化为代数问题； 第三，把任何代数问题化为单一方程去解 . 当然，这三条规则现在看来不一定正确，有时甚至不可能，但是它却包含着重要的方程思想，比一般的技巧具有更大的意义。这个模式虽然不能用于所有场合，但是，它确实能用于许多场合，其中 包含许多重要场合。一个数学问题的任何一个数或式都可以视为未知数，而其余的数或式则视为已知数，他们之间的制约关系 等式，即可视为方程。 1.3.2 类分思想 对于比较复杂的问题，可将问题所涉及的对象的全体划
9、分为若干两两不相交的部分，然后分别求解或论证，从而解决原问题，这就是所谓的类分思想。中学数学解题中常用的分类讨论、穷举法等都是这种思想的具体体现。 类分思想处理问题时，要正确地对事物进行分类，通常应从所研究的具体问题出发，选取恰当的标准，然后根据对象的属性，把它们不重不漏地划分若干类别。科学地分类，一个是标准的统一，一个是不重不漏，划分只是手段，分类研究才是目的，还需要在分好的类别下逐个进行研究。其中体现的是大化小，由整体化部分，由一般化特殊来解决问题，它的研究基本方向是“分”，但是“分”与“合”既是矛盾的对立面，又是矛盾的同一体，有“分”必然有“合”。当分类解决完这个问题后，还必须把它们总合
10、到一起，因为我们研究的毕竟是这个问题的全体。有分有合，先分后合是这种类分思想的本质属性。 1.3.3 函数思想 函数思想的建立是数学从常量数学转入变量数学的枢纽，使数学能有效地揭示事物运动变化的规律，反映事物（集合 ）间的相互联系。诸如方程、不等式、数列以及三角学等内容都可以统归到函数思想下进行研究。 解析几何中的“参数法”（通过曲线的普通方程与参数方程互化来研究解决问题的方法），直角坐标与极坐标的互化，代数中的“换元法”等实质上都是复合函数思想的体现。 函数思想就是用联系、变化的观点，建立各变量间的依存（函数）关系，通过函数形式并利用函数的有关性质和方法达到解题目标的思想倾向。函数思想也是一
11、种解题观念，其运用范围并不局限于函数问题，它具有广泛的联系性与渗透性，常迁移到不等式、三角、数列、复数以及立体几何和解析几何等方 面，运用函数思想，常可收到化难为易，化繁为简，化隐为显，甚至妙不胜收之效！ 因此，函数是贯穿中学数学内容的一根红线，不仅是高中数学的中心，而且也是初中数学的一个基点。 1.3.4 数形结合思想 “数”与“形”是共存于同一个体的事物的两个侧面，是相互联系的。这种数与形相互联系的思想就是数形结合思想。数形结合思想，是通过数形间的对应与互助来研究问题并解决问题的思想。运用数形结合思想处理问题，就是在处理问题时，斟酌问题的具体情形，使图形性质问题借助于数量关系的推演而具体量
12、化，或者使数量关系的问题借助于几何直观而形象化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，将抽象思维与形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化。数形结合常包括：以形助数、以数助形，数形互助等几个方面。 数学家乔治 波利亚说过：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路。”因此， 提高学生的数学素质、指导学生学习数学方法 , 毋庸置疑 , 必须指导学生紧紧抓住掌握数学思想方法是这一数学链条中最重要的一环。 2. 数学思想方法教学 2.1 学生学习数学思想方法的三个阶段 数学思想方法是隐含在一般数学知识中的精髓，因此学生需 要通过反复体验、实践才能发现、领悟和运用，一般
13、可以分为以下三个阶段：形式模仿阶段、初步形成和运用阶段及数学思想方法的自觉应用阶段。 2.1.1 形式模仿阶段 由于认知发展的水平限制，在数学学习中，学生往往会只注意数学知识的学习，发现不了隐含在这些知识背后的观点和方法策略，有时即使有所觉察，也是处于“朦朦胧胧”、似有所悟的状态。 2.1.2 初步形成和运用阶段 在学生接触过较多的数学问题后，在头脑中初步形成了相关的数学思想方法，并逐渐能够进行初步应用。即学生对数学方法的认识已经明朗，开始理解解题过程中所使用的探索方法和策略，也会概括 。 2.1.3 数学思想方法的自觉应用阶段 随着学习的不断深入，学生对数学思想方法的理解水平与应用能力不断提
14、高。即学生能依据题意，恰当运用某种思想方法进行探索，以求得问题的解决。这一阶段，既是进一步学习数学思想方法的阶段，也是实际运用数学思想方法的阶段。 2.2 数学思想方法的教学途径 学生学习数学思想方法的三个阶段，是不可跨越或颠倒顺序的。因此，在教学中一般可以通过以下途径来实现： 2.2.1 深入钻研教材，充分挖掘数学思想方法 数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象概括，蕴涵在数学知识的发生、发展和应用过程中 ， 教师应该在教材中认真加以挖掘，系统了解数学思想方法在中学各阶段、各章节中的分布。在教学的每一个环节，如概念讲解、定理证明、例题解答，都蕴含着大量的数学思想方法。作为教师要善于挖掘，这
15、是在知识教学的同时，始终渗透必要的思想方法的前提。教师在备课时， 不仅要明确章节和课时教学的知识点，还要注重思想方法的纽带作用。 注意总结建构数学知识体系中的数学思想方法，揭示思想方法对形成科学的系统的知识结构，把握知识的运用，深化对知识的理解等数学活动中的指导作用。 2.2.2 在教学中加强数学思想方法的渗透和训练 在教学过程中，教师要注重 对数学思想方法的不断渗透、反复训练。 （ 1） 在讲解新知识的过程中，渗透数学思想方法 （ 2） 在问题解决的过程中，揭示数学思想方法 （ 3） 在知识整理总结中概括和提炼数学思想方法 2.2.3 在教学中渗透数学思想方法应该注意的问题 （ 1） 应该注
16、意层次性和渐进性 数学的逻辑性和学生认知发展的规律决定了数学知识在中小学数学课程中必须按照一定的顺序呈现，因而对数学思想方法的学习也必须遵循一定顺序，体现出层次性和渐进性。 （ 2） 应该注意过程性 数学思想方法蕴涵于数学概念和原理的形成过程中，因此，数学概念和原理的形成过程是进行数学思想方法教学的最重要的载体。这就要 求教师精心设计概念和原理的教学方案，有意识地让学生在概念的形成过程中领悟数学思想方法。数学思想方法重在“悟”，悟，就需要过程，有一个循序渐进、逐步逼近思想本质的过程。 （ 3） 应该注意变式 数学思想方法是对数学概念、命题和数学理论概括和提炼的产物，以隐性的形式蕴涵在数学知识之
17、中，这种高度的概括性和内隐性决定了对数学思想方法的领会和掌握比学习数学知识具有更大的难度。学生虽然知道了某一方面的数学知识，但却没能领会其中的数学思想方法。所以变式教学对于数学思想方法的教学就具有十分重要的意义。数学思想方法的变式策略，就是通过 具有适当变化性的问题情境，把那些在解题思想方法上具有相似或相关的内容，用变式的形式串起来，通过变化概念的非本质属性突出概念的本质属性，在变化过程中逐步凸现蕴涵其中的数学思想方法；通过在不同的问题情境中对数学思想方法的运用，进一步强化学生对数学思想方法的理解。在变式中求不变，从变式中领悟数学思想方法的真谛，体会数学思想方法对于掌握数学知识和问题解决的指导
18、意义。 二、主题部分 纵观世界各国数学教育的改革与发展状况，在汲取经验和教训的基础上，对“数学教育现代化”的观念、理解也更加全面，数学教育现代化，不仅仅是教学 内容的现代化，而且是数学思想、数学方法、手段的现代化，更是人的现代化。随着数学教育的不断发展，人们越来越认识到数学思想方法是数学基础知识的一部分，数学思想方法的教学是数学教学的重要内容。 中国教育改革发展纲要确立了教育应由“应试教育”向“素质教育”转轨的教育思想，其中培养学生的创新精神和实践能力是素质教育的核心。在基础教育中，对于数学这样一门有广泛应用性的基础性学科，如何整体把握数学的精神，注意数学思想方法的渗透，提高学生的能力与素质是
19、中学数学教育研究的一个重要课题。新的数学课程标准（实验）明确提出 来，把数学思想、方法作为基础知识的重要组成部分 ,这不仅是课标体现义务教育性质的重要表现 , 也是对学生实施创新教育、培训创新思维的重要保证。 全面推进素质教育是当前我国教育变革的一项紧迫任务。数学教学应如何适应当前素质教育的需要，是摆在每位数学教育工作者面前的一项重要任务。从高考试题来看，它重在考查学生对知识理解的准确性、深刻性，重在考查知识的综合灵活运用。它着眼于知识点新颖巧妙的组合，试题新而不偏，活而不难；着眼于对数学思想方法、数学能力的考查。这是和素质教育相一致的。但是长期以来，由于受一些传统观念的束缚 ，数学教育仅侧重
20、于学习现成的知识结论、技巧和技法，而忽视了学科的基本精神、数学的基本态度和基本方法的培训与训练，忽视了学生未来发展的需要，从而降低了教育教学的质量和效益。高考试题的这种积极导向，决定了我们在教学中必须以数学思想指导知识、方法的运用，整体把握各部分知识的内在联系。只有加强数学思想方法的教学，优化学生的思维，全面提高数学能力，才能提高学生解题水平和应试能力。同时我们应该使学生在学到数学知识的同时也学到数学思想方法，在以后的生活，工作中都可以随时随地用它们去解决问题，这样在培养智力的同时也培养了能 力，更有利于素质教育的开展。 日本数学家和数学教育家米山国藏在从事多年的数学教育研究之后，说过这样一段
21、话：“学生们在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管他们从事什么职业，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。”知识的有效性是短暂的，思想的有效性却是长期的，能使人“受益终生”。（ 日 米山国藏 .数学的精神、思想和方法 .四川教育出版社， 1986.） 在提高人的素质中发挥重要作用 的是在长期数学学习中逐步形成的数学精神和数学思想方法，而不是具体数学知识。 正如数学家乔治 波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路。”（ 美 G.波利
22、亚数学的发规科学出版社， 1982.） 因此，就数学教学而言，“知识诚可贵，思想价更高”。 总之， 在教学中必须以数学思想指导知识、方法的运用，整体把握各部分知识的内在联系。加强数学思想方法的教学，优化学生的思维，全面提高数学能力，是素质教育的本质体现： 在提高人的素质中发挥重要作用的是在长期数学学习中逐步形成的数学精神和数学思想方法，而 不是具体数学知识。 三、总结部分 本文首先介绍了中学数学教学改革的历史背景、现状及发展趋势，接着 从数学知识系统的结构特点、数学的认识论特点和数学发展的历史学特点出发，概括中学数学思想方法的基本理论， 包括它的涵义、基本框架、常见的数学思想方法，然后归纳出学
23、生学习数学思想方法的三个阶段，再在教 材的理解，教学的实施以及学生的培养等方面进行积极探索，总结出中学数学思想方法的教学策略。 数学思想方法是数学知识的精髓、灵魂，它是对数学本质的理解和认识，是数学学习的根本目的。在数学教学中注重思想方法渗透，重视数学思想方法 的教学，是提高个体思维品质和数学素养、发展智力的关键所在，也是现代社会对人才培养的基本要求。相信随着素质教育的发展，数学思想方法的教学将在提高学生的数学思维能力以及提高人的素质中发挥具大的作用。 四、参考文献 1 中国教育改革发展纲要 S.中华人民共和国教育部制定 ,人民教育出版社 ,1993.2. 2 数学课程标准 (实验 )S.中华
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