1、 毕业论文文献综述 数学与应用数学 古典概型问题及其应用 一、 前言部分 概率论是研究大量随机现象的统计规律的一门数学。最早研究概率的，可能要算十六世纪意大利数学和医学教授卡尔达诺，他天资聪明，有着有趣而丰富的经历。在一生中超过40 年的时间里，他几乎每天都参与赌博，而且是带着数学的头脑去观察、去思考。最终，在一本名叫机会性游戏手册的书中，他公布了调查和思考的结果和关于赌博实践的体会。这本书写于 1526 年左右，但一直到一百多年后的 1663 年才出版 1。书中已包含了等可能性事件的概率的思想萌芽，即一个特殊结果的 概率是所有达到这个结果的可能方法的数目被一个事件的所有可能结果的总和所除。从
2、书中可以看到关于骰子的问题由经验向理论概率思想的第一次转变。从这一角度来讲，概率论这一数学分支应当以此作为起点，但是这种观点并未得到广泛的认可 .。 数学史学家大多赞同这样一个观点：“点数问题”的解法的探讨成为数学化概率学科产生的标志之一。具体的有关“点数问题”的例子是法国的德梅勒提出来的。德梅勒是一位军人、语言学家、古典学者，同时也是一个有能力、有经验的赌徒。虽然他不是一个全职的数学家，但他经常从数学的角度提出和思考赌博中出现的 一些有深度的问题。他提出的“点数问题”的形式是：假设两个赌博者（德梅勒和他的一个朋友）每人出 30 枚金币，两人各自选取一个点数，谁选择的点数首先被掷出 3 次，谁
3、就羸得全部的赌注。在游戏进行了一会儿后，德梅勒选择的点数“ 5”出现了 2 次，而他的朋友选择的点数“ 3”只出现了 1次。这时候，德梅勒由于一个紧急事情必须离开，游戏不得不中止。他们该如何分配赌桌上 60 个金币的赌注呢？将这个问题一般化即是“相赌若干局，谁先赢 s 局谁胜，现一人赢a(as)局，另一人赢 b(bs)局，赌止，问赌本怎样分法合理？”两个赌徒各执已 见，争论不下。后来，德梅勒将这个问题告诉了帕斯卡，帕斯卡对此也很感兴趣，又写信告诉了费马。于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信，他们作了深入的探讨，并相互独立地得到不同的解法及相同的结果。在概率论的历史上，一般
4、的传统观点则把这一事件看作为概率论的起始标志。惠更斯知道这个“点数问题”后，也加入讨论并将他的解法写入论赌博中的计算一书，这是概率论最早的论著在概率论的历史上，一般的传统观点则把这一事件看作为概率论的起始标志。文 1指出，保险业又促成了处于起点的概率的后续发展。 到了十七 、十八世纪之交，有不少的数学家从事概率的研究。伯努利的巨著猜度术就是一项重大的成就，其中的“伯努利定理”就是“大数定理”的最早形式，之后，棣莫佛和辛普生又作了巨大的推进。 十八世纪，法国的布丰在概率算术试验中导入“投针问题”，用频率来近似地代替概率，可以完全不借助几何知识和方法，求出“ ”的结果。 十九世纪，概率论有了飞跃的
5、进展，拉普拉斯的经典著作分析概率论总结了这一时代的概率论的研究，提出了概率的古典定义。高斯奠定了最小二乘法和误差论的基础。泊松推广了“大数定律”，引入了十分重要的“泊松分布” ，切比雪夫和他的学生马尔可夫分别创建了“大数定律”和“马尔可夫链”。 到二十世纪 30 年代，苏联的柯尔莫戈洛夫以勒贝格的测度论为基础，给出了概率论的公理体系，影响颇大。 关于概率论的进一步研究方向，笔者已了解到，当今的研究领域包括：马氏过程、粒子系统、图上概率模型、概率位势理论、测度值马氏过程、随机过程、随机动力系统、非平衡统计物理、非参数统计、回归诊断、生存分析、生物统计、假设检验、可靠性、生物信息、捕获再捕获、时间
6、序列分析、抽样调查等。这些方向是当今概率统计学科的研究前沿，大多与我国现代化建设关系密切。这 说明概率论的应用性随着时间的推移越来越强，概率论在人们的生产生活中正发挥着越来越大的作用 . 二、 主题部分 概率的观点在现实生活中具有重要的意义。我们通常会碰到一个事件往往会导致几种结果，究竟产生哪种结果是不确定的。综合几种结果发生的可能性的大小，从而了解这一事件所产生的平均作用结果。这样我们在做选择时不致于太盲目。所以说研究概率有其实际的意义。 研究概率，首先要对概率给出严格定义。我们知道概率 就是我们通常所说的可能性。概率是表征随机事件发生可能性大小的量，是事物本身所固有的不随人的主观意愿而改变
7、的一种属性。下 面我们给出概率的严格定义。 设 E是随机试验， S是它的样本空间。对于 E的每一事件 A赋于一个实数 ， 记为 P(A)，称为事件 A的概率。这里 P( )是一个集合函数， P( )要满足下列条件： 1）非负性：对于每一个事件 A，有 P(A) 0; （ 2）规范性：对于必然事件 S，有 P(S)=1; （ 3）可列可加性：设 A1， A2是两两互不相容的事件，即对于 i j， Ai Aj=，（ i,j=1,2），则有 P（ A1 A2） =P（ A1） +P（ A2） +概率依其计算方法不同，可分为古典概率、试验概率和主观概率。而古 典概率在人们研究概率的早期就形成了。概率的
8、观点首先是从掷硬币、掷骰子和摸球等游戏和赌博中产生的。人们早期对概率的研究是通过对这类游戏的研究来实现的。这类游戏有两个共同特点：一是试验的样本空间（某一试验全部可能结果的各元素组成的集合）有限，如掷硬币有正反两种结果，掷骰子有 6种结果等；二是试验中每个结果出现的可能性相同，如硬币和骰子是均匀的前提下，掷硬币出现正反的可能性各为 1/2，掷骰子出出各种点数的可能性各为 1/6，具有这两个特点的随机试验称为古典概型或等可能概型。计算古典概型概率的方法称为概率的古典定义或古 典概率。 1 古典概率 通常又叫事前概率，是指当随机事件中各种可能发生的结果及其出现的次数都可以由演绎或外推法得知，而无需
9、经过任何统计试验即可计算各种可能发生结果的概率。 1 关于古典概率是以这样的假设为基础的 ,即随机现象所能发生的事件是有限的、互不相容的 ,而且每个基本事件发生的可能性相等。例如 ,抛掷一枚平正的硬币 ,正面朝上与反面朝上是唯一可能出现的两个基本事件 ,且互不相容。如果我们把出现正面的事件记为 E,出现事件 E的概率记为 p(E),则 : P(E)=1/(1+1)=1/2 一般说来 ,如果在全部可能出现的基本事件范围内构成事件 A的基本事件有 a个 ,不构成事件 A的事件有 b个 ,则出现事件 A的概率为 : P(A)=a/(a+b) 古典概率具有如下特征 1、可知性，可由演绎或外推法得知随机
10、事件所有可能发生的结果及其发生的次数。 2、无需试验，即不必做统计试验即可计算各种可能发生结果概率。 3、准确性，即按古典概率方法计算的概率是没有误差的。 古典概率的注意事项 对毫无秩序的经营管理工作做出决策时，应用这种方法就会发生各种各样的问题。这主要表现在： 1、古典概率的假想世界 是不存在的。对于那些不能肯定发生，但又有可能发生的事情，古典概率不予考虑，如硬币落地后恰恰站在它的棱上；一次课堂讨论概率时突然着了火等。这些事情都是极其罕见的，但并非不可能发生，古典概率对这些情况一概不予考虑。 2、古典概率还假定周围世界对事件的干扰是均匀的。这就是说，虽然按照古典概率的定义，抛平正的硬币出现正
11、面的概率等于 0.5，但是谁敢打赌无论什么时候抛 10次准有 5次出现正面呢？在实际生活中无次序的、靠不住的因素是经常存在的，为使概率具有使用价值，必须用其他方法定义概率。 这样，我们从一般 的概率过渡到了古典概率。以下我们将对古典概率的模型教学作进一步的分析。 文 2指出 : 古典概型是概率论与数理统计中最基本的内容之一， 刚开始学习概率论时， 大部分习题都集中在这部分。由于古典概型的习题中大量运用排列组合方法， 而排列组合的灵活性相当大， 因此很容易给学生造成概率论问题难做的印象。为了避免这些问题的 出现， 我们要注意以下两点： 一、 教学中不能大量选用只是单纯计算排列组合的习题， 不能使
12、重在掌握排列组合的计算技巧超过重在掌握概率论的基本概念； 二、 在解题时对概率性质的运用要予以充分注意。 所选例题都很有典型性，虽然都可以采用排列组合的方法，但在实际操作时却尽量回避，采用的简洁明了的解题思路，其操作具有很大的灵活性，值得读者细细品味。 文 3所举得例题都涉及配对的问题。但解题还是采取比较一般的思路，即套用公式，关键在于求出所求概率涉及事件和总体所含的样本空间，要用到排列组合的知识。但在具体运用时，可以一题多解，有考虑顺序的解法，也有不考虑顺序的解法，这有助于锻炼发散思维。对于某些复杂的排列组合组合，可以考虑将其转化为相应的简单问题处理，并不失灵活性。 文 5并不是纯古典概型问
13、题。有时，它往 往会与古典改性问题结合在一起。若不会操作，此类问题便无从下手。所以我们若对此有一定了解，在解决此类题目时也是对古典概型的一种巩固。 文 8也不是古典概型，但其具有古典概型的思想方法，同样是服务于古典概型的。 在实际操作中，我们往往需要结合相关的例题，以加强读者对古典概型的理解和掌握。在做题过程中，我们要善于思考和总结。据我个人经验，古典概型的解题方法大致可归为 样本空间选取法，公式法，排列组合法，变幻法。排列组合法是最基本的解题方法，但有时过于繁琐，样本空间选取法虽简单易行，但其思路不易理解，需要基于排列组 合法的推导。 公式法指的是对对立事件概率公式及加法公式的运用，关键在于
14、对公式的理解与识记。变幻法考虑将复杂而不易考虑的问题变幻为简单而较易考虑的问题，其关键在于构造实施变幻的中间桥梁。其中，公式法通常结合样本空间选取法使用，变幻法通常结合排列组合法使用。 三、 总结部分 本文主要阐述了以下内容：（ 1） 概率的发展简史及当今概率的研究现状 ；（ 2） 概率的严格定义及其分类，并由此引出古典概型。 (3)古典概型问题的解题具有多样性和灵活性，许多高层次的概率问题能与古典概型结合在一起，或兼有古典概型的某些特征。（ 4）古典概型问 题求解的一般方法。 再纵观全篇，可见概率，古典概率，概率史，数理，研究方向之间是相互关联的。古典概型作为整个概率论发展史上的早期产物，是
15、学习概率论的基础。而 古典概率作为概率的一个分支，是一种特殊的概率，它具有普通概率的一切特点，由于概率论是建立在数学的基础之上的，因此，学习古典概率，有助于培养数理逻辑思维能力，而信息论、对策论、控制论等一些新型学科又以概率论为基础，又如前所述，古典概率是概率论的基础，因此，学习古典概率可以为进一步学习其它的一些学科打下基础。这些学科自然也以数理为基础。在获基础的同时，数理思 维得以强化，学习这些学科就是是易上加易了。再加上概率论在当今的研究方向，可见概率论的社会价值，可以预见学习古典概率的重大意义。古典概率虽然古典，但却随着时代的发展永不落伍 四、参考文献 1 朱家生数学史 M北京：高等教育
16、出版社， 1994 2 吐尔洪江 .关于古典概型问题的几点思考 J. 塔里木大学学报 ,2006,18(2):88-89. 3 孙翠先等 . 求解古典概型中 “配对 ” 问题的概率 J. 唐山学院学报 ,2009,22(3):8-9,26. 4易 颖 ,刘晓华 .小概率事件研究 J. 湖南科技学院学报 ,2007,28(4):11-12 5杨元启 .对全概率公式及其应用的讨论 J. 武汉水利电力大学 (宜昌 ) 学报 , 2000, 22(4):350-351 6 Walpole, R.E. Probability & Statistics for Engineers & Scientists (8th Edition) M. Peking: Ting Hua University Press， 2004. 7 Sheldon M. Ross. A First Course in Probability M. Peking : Posts & Telecom Press, 2007. 8黄朝霞 . 蒲丰投针问题研究 J. 集美大学学报 2005 12 9 张顺燕数学的思想、方法和应用 M 北京：北京大学出版社， 1 9 9 7 10段克峰 .几何概率的计算技巧与应用 J. 甘肃联合大学学报 . 2010. 11
