1、 毕业论文文献综述 数学与应用数学 几类常系数线性微分方程解法讨论 一、前言部分 微分方程是 现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具，它在几何、力学、物理、电子技术、等领域都有着广泛的应用。微分方程的首要问题是如何求一个给定方程的通解或特解。到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。例如对于 常系数线性 微分方程，我们可以用很多种方法来求解它。有特征方程法、常数变易法、升阶法、降阶法、比较系数法等等。 接下来，先介绍一些有关的概念： 定义 11 ：一般地，联系着自变量、未知函数及其导数的关系式，叫做 微分方程 . 定义 21 ：如果在微分方程中，自变量的个数只有
2、一个，则称这种微分方程为 常微分方程 . 例如， 2 0dy dytydt dt ， 22 ()d y dyb cy f tdt dt 就是常微分方程，这里 y 是未知函数， t 是自变量。 定义 32 ：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的 阶数 . n 阶常微分方程一般具有形式 , , , 0nndy d yFx dx dx （ 1.1） 其中 ,F 是 , , , nndy d yx dx dx的已知函数，并且必含有 nndydx。 定义 42 ：若 F 是 , , , nndy d yx dx dx的一次有理整式，则称方程 (0.1)为 n 阶线性方程；不是线性方
3、程的方程称为 n 阶非线性方程。一般地， n 阶线性方程具有形式 )()(x)()(1111 xfxxadxdyadx ydxadx yd nnnnnn (1.2) 其中， 11( ) , ., ( ) , ( ) , ( )nna x a x a x f x 是 x 的已知函数。 定义 5 3 ：设函数 yx 在区间 a x b 内 ,且有已知的到 n 阶的各阶导数 ,使得 , , , , 0nF x x x x 在 a x b内成立 ,则称函 数 yx 为方程（ 1.1）的 解 . 一般的 ,如果常微分方程的解中含有的独立的任意常数的个数与方程的阶数相等 ,则称这样的解为常微分方程的 通解
4、 .满足初值条件的解称为 特解 . 定义 61 :常系数线性微分方程是线性微分方程中的一个概念。 n 阶线性微分方程 )()(t)()( 1111 tfxtadtdxadt xdtadt xd nnnnnn （ 1.3） 其中 ( )( 1, 2,., )ia t i n 及 )(tf 都是区间 a t b 上的连续函数。如果 0)( tf 则方程（ 1.3）变成0)()()( 1111 xtadtdxtadt xdtadt xd nnnnnn (1.4) 我们称它为 n 阶齐次线性微分方程 ，简称 齐次线性微分方程 ，而称一般的方程（ 1.3）为 n 阶非齐次线性微分方程， 简称 非齐次线性
5、微分方程。 定义 71 ：设齐次线性微分 方程中所有系数都 是常数，即方程有如下形状 0 1111 xadtdxadt xdadt xdxL nnnnnn （ 1.5） 其中 12, ,., na a a 为常数。我们称（ 1.5）为 n 阶常系数齐次线性微分方程； 若 )( 1111 tfxadtdxadt xdadt xdxL nnnnnn (1.6) 其中 12, ,., na a a 为常数 ,而 )(tf 为连续函数。我们称（ 1.6）为 n 阶常系数非齐次线性微分方程。 定义 81 ：已知 n 阶常系数齐次线性微分方程 0)( 111 xtadt xdadt xdxL nnnnn
6、， （ 1.7） 我们把 tex 代入（ 1.7）得 0)( 11 tnnnt eaaeL 因此 , te 为方程的解的关系条件是 : 是代数方程 0)( 11 nnn aaF （ 1.8） 的根 ,方程称为方程（ 1.8）的 特征方程 ,它的根为方程 (1.7)的 特征根 。 二、主题部分 常微分方程是伴随着微积分的产生和发展而成长起来的一门历史悠久的学科。从诞生之日起很快就显示出 这门课程不仅在数学科学领域起着重要的作用，而且在物理、经济、工程等领域也是 它在应用上的重要作用。特别是作为 Newton 力学的得力助手 ， 在天体力学和其它机械力学领域内显示了巨大的功能。 Sir I New
7、tont 通过解微分方程证实了地球绕太阳的运动轨道是一个椭圆，从理论上得到了行星运动的规律。海王星的存在是天文学家 U Le Verrier 和 J Adams 先通过微分方程的方法推算出来，然后才实际观测到的，这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大能量。随着科学技术的发展和社会的进步，常微分方程的应用不断扩大和深入。时至今日，可以说常微分方程在所有自然科学领域和众多社会科学领域都有着广泛的应用，在数学学科内部的许多分支中，常微分方程是最常用的重要工具之一，也是整个数学课程体系中的重要组成部分，常微分 方程每一步进展都离不开其他数学分支的支援 如复变函数、李群、组合拓扑学
8、等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。 反过来，常微分进一步发展的需要，也推动着其他数学分支的发展。现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的 现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 2 微分方程的首要问题是如何求一个给定方程的通解或特解。到目前为止，人们
9、已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。 4 通过大量阅读相关的参考文献 ,发现许多作者重点研究了常数变易法、比较系数法等。下面就对这些文献进行综述： 王高雄、周之铭、朱思明在文献 1中介绍了常微分方程的发展历史 ,基本概念、相关的一些理论依据、解的定义以及求解 的方法。 时宝和黄朝炎在文献 2中介绍了微分方程的产生 ,用具体例子说明微分方程的建立过程；并介绍了微分方程的概念以及它的解等相关的概念；还介绍了线性微分方程的一般理论和常系数方程的解法 ,同时还举了一些简单的例子 ,以便于读者更好地理解。 丁同仁、李承治在文献 3中介绍了微分方程及其解的定义以及几何解释 ,并介绍了一些求解方法。 周
10、义仓 ,靳祯 ,秦军林 在文献 4中介绍了常微分方程及其应用。作者利用建模、应用和计算机等特点形成理论、方法、建模、应用、计算机互相渗透与补充的新体系。既讲述求解各类微分方程解析解、数 值解的方法，又介绍了用计算机分析求解的过程。 Han Bo, Cao Li 在文献 5中介绍了非线性方程的一类半隐式方法，作者 基于求解常微分方程刚性问题的 A-稳定 Rosenbrock 方法，引入一类求解非线性方程的半隐式迭代法，给出了收敛阶的分析。通过几个困难的方程求解问题，与 Newton 法、光滑与阻尼方法进行了数值比较。 G.Zill,Michael R.Cullen 在文献 6中介绍了 常系数线性
11、微分方程的解法。他采用的是先找出方程的辅助方程的根，接着求出辅助方程的根，最后得到原方程的通解。这种方法最主要 的环节是求解辅助方程的根，对于高阶方程，其辅助方程的根较难求得，因此作者还介绍了计算机的使用。 钱祥征、黄立宏编在文献 7中介绍了实际生活中的一些常微分方程 ,以及与常微分方程相关的一些基本概念和求解方法 . 杨国梁、周周、杨志勇等在文献 8中介绍了求解形如 Y P Y Q Y f x 的一些微分方程的特解的一种新方法 ,并给出了 fx为多项式时的特解 ,即 : 设方程为 121 2 1 0mmmmY P Y Q Y f x a x a x a x a x a ,分别对方程的两边 对
12、x 求 m 次导 ,得到 121 2 112mmmmY P Y Q Y a m x a m x a x a 4 23121 1 2 2mmmmY P Y Q Y a m m x a m m x a 11 1! 1 !m m m mmY P Y Q Y a m x a m 21 !m m m mY P Y Q Y a m 此时 ,令 !m nQY a m ,即可得到 !m mamYQ,显然此时 210mmYY.将 1 0mY 和 !m mamY Q 代入倒数第二个式子 ,可得 1mY ,由此逐步推到原方程 ,即可得到它的一个特解。 莫里斯 克莱因在文献 9中介绍了一些古今的数学思想 ,而有关于微
13、分方程的相关内容主要介绍了 18 世纪的常微分方程 . 熊灿，谢建新在文献 10中给出了二阶常系数齐次线性微分方程通解的三角函数形式或双曲函数形式，同时得出了利用位移定理，结 合待定系数法解几类特殊的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法，简化了此类微分方程的求解过程。 陈文胜在文献 11中将常数变易法应用于二阶常系数线性微分方程求解，得到一种学生易于掌握的方法。其优点是无需求特解，无需求基本解组，但可求通解。 米翠兰在文献 12中用解一阶微分方程的常数变易法求解三阶常系数非齐次线性微分方程 ( )y py qy sy f x ，其优点是无需求特解，无需求基本解组但可求通解，并且给出了一个通用的公
14、式。 朱广荣、王述超在文献 13中介绍了两种求常系数非齐次线性微分 方程特解的简便方法 , 并且给出了一些实例 , 从而避免了一般教材介绍的利用待定系数法求特解所带来的繁琐计算。 1、降阶法 定理 113 ： 若 ( )y py qy f x 对应的齐次方程的特征根为 12,rr, 则方程的通解为 1 2 1 2() ( ) r x r r x r xy e e f x e dx dx 我们可以利用该通解式 , 令积分常数均为 0,即得原方程的一个特解 0y 。 这种解法不仅推广了自由项的形式 , 而且可避免待定系数法之繁锁。 定理 213 ： 若 ( )y py qy f x 对应的齐次方程
15、的特征根为 12,rr。 （ 1）当 12rr 时，原方程的特解为2 2 1 10211 ( ) ( ) r x r x r x r xy e f x e d x e e f x d xrr （积分常数为 0），特别地， 12rr ，且为共轭复数 abi 时，有 0 s i n ( ) c o s c o s ( ) s i n ax a x a xey b x e f x b x d x b x e f x b x d xb 。 (2)当 12r r r 时 , 原方程的特解为 0 ( ) ( ) r x r x r xy e x f x e d x x e f x d x。 2、升阶法 我
16、们先考虑 ( ) ( )f x p x 为多项式的情况 , 可设 11 1 0( ) . . .nnnnp x a x a x a x a ，现在求 ( )y py qy f x 的一个特解。对 ( )y py qy f x 两端连续做 n 次求导 , ( 3) 1 1 .nny p y q y a n x a . ( 2 ) ( 1 ) ( ) !n n n ny p y q y a n 从上面一系列式子中的最后一个 , 可令 () 1 !nny a nq，此时 ( 2) ( 1) 0nnyy，这样由 ( ) ( 1),nnyy 通过最后第二个式子可得 ( 1)ny , 如此往上推 , 一直
17、到 ( )y py qy f x , 可得一个特解 y ，我们称这个方法为升阶法。 张金战在文献 14中介绍了求二阶常系数线性齐次微分方程的特解的方法 .他是在已知二阶常系数齐次微分方程 0y Py Qy 的一个特解的条件下 ,讨论求二阶常系数线性非齐次微分方程 y Py Q y f x 的一个特解的方法的 ,并根据齐次方程的特征根的不同情形给出了非齐次微分方程的通解 ,同时还给出了两个定理 : 定理 314 ：若二阶常系数齐次微分方程有两个不相等的实特征根 12,则非齐次二阶常系数方程的通解为 211 2 1 212 xx x x xy C e C e e e e f x d x d x ,
18、其中 12,CC为任意常数 . 定理 414 ：若二阶常系数齐次微分方程有两个相等的实特征根 12 ,则二阶常系数非齐次微分方程的通解 为 12 x x xy C C x e e e f x d x d x ,其中 12,CC为任意常数 . 殷华敏和霍锦霞在文献 15中介绍了用待定系数 -叠加法求常系数非齐次线性微分方程 11 1 01nnnnd y d y d ya x a x a x a y g xd x d x d x 的解的方法 ,提出要求得此解必须做两件事： 1、求余函数 cy ； 2、求方程的任一特解 py .由此求得方程在区间 I 的通解 ,为 cpy y y. 通常情况下求特解
19、 py 的方法是待定系数法 ,这种方法的基本思想是猜 py 的形式 ,其中 py 受gx的影响 .这种方法只能适用于两个条件的非齐次线性微分方程： 1、 0,1, ,ia i n 都是常数； 2、 gx是常数 k ,或多项式 ,或指数函数的有限和、有限积 . 三、总结部分 本文先介绍了关于微分方程的一些历史背景和一些相关的概念， 并对所阅读的参考文献进行综述，最后对整篇文章进行总结。 常系数线性微分方程的解法有很多种，但是每种方法都有各自的优缺点。比如，常数变易法应用于二阶常系数线性微分方程时，得到一种学生易于掌握的方法，它的优点是无需求特解，无需求基本解组就可求通解。 11 认识到 解微分方
20、程方法的适用性就可以大大提高解微分方程的效率和可操作性。解微分方程可以加深对数学概念及方法的理解 .通过对解题的分析评价，可以领略数学的严谨、推理的美妙。 总之，微分方程是一门十分有用又十分有魅力的学科，自 1693年微分方程概念的提出到动力系统的长足发展，常微分方程经历漫长而又迅速的发展，极大丰富了数学家园的内容。随着社会技术的发展和需求，微分方程会有更大的发展，可以预测：随着依赖数学为基础的其他学科的发展，微分方程还会继续扩展。 四、参考文献 1王高雄 ,周之铭 ,朱思铭等 .常微分方程 M.第三 版 .北京 :高等教育出版社 . 2006:16-17,120-121,136-144. 2
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