广义逆矩阵及其应用【文献综述】.doc

1、毕业论文文献综述 数学与应用数学 广义逆矩阵及其应用 一、前言 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。 “ 矩阵 ” 这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将 数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个 术 语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目 的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的 概念，然而在历史上次序正好相反。 先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关

2、于这个 题 目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文矩阵论的研究报告，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵 的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。 1855 年，埃米特 (C.Hermite， 1822 1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后 来，克莱伯施 (A.Clebsch， 1831 1872)、布克

3、海姆 (A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯 (H.Taber)引入 矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论 。 在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯 (G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和 初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整 理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。 1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。 1892 年，梅茨勒 (H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和 庞加莱的著

4、作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。 矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支 矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程 论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都 有 十分广泛的应用 。 矩阵理论不但是经典数学的基础，同时又是很有实用价值的数学理仑。计算机的广泛应用为矩阵理论的应用开辟了广阔的应用前景。逆矩阵的概念在矩阵理论中占有重要位置，尤其求解方程组问题，它显得更为重要。但是，一般的逆 矩阵只是对非奇异的方阵才有意义，也就是说

5、，当方程组的个数等于未知数的个数时才可以用矩阵的逆来表示方程组的解。实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定是非奇异的，所以要考虑将逆矩阵的概念进行推广。广义逆矩阵的思想可 追溯到 19O3年瑞典数学家弗雷德霍姆的工作，他讨论了关于 积分算子的一种广义逆 (称之为伪逆 )。 1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆而任意矩阵广义逆的定义最早是由美国芝加哥的穆尔 (Moore)教授在 192O年提出来的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。由于不知其用途，该理论几乎未被注意，这一概念在以后 3O年中没有多大发展。我国数学家曾远荣在 193

6、3年、美籍匈牙利数学家冯诺伊曼和弟子默里在 1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951年 瑞典人布耶尔哈梅尔 A重新发现了穆尔 (Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。 1955年，英国数学物理学家彭罗斯 (Penrose R)以更明确的形式给出了与穆尔 (Moore)等价的广义逆矩阵定义，因此通称为Moore Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。现如今，Moore Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为

7、矩阵论的一个重要分支。 二、主题 我们 认识一个新的知识，首先从它的概念出发。文献 1、 2中给出了Moore Penros 广义逆矩阵的定义。 设 mnAC ，若有某个 mnXC ，满足 AXAA XAX X TAX AX TXA XA 中的全部或其中的一 部分，则称 X为 A的一个 Moore Penros广义逆矩阵。 按照定义，如果 X是满足第 i 个条件的广义逆矩阵，就记为 1A ，如果 X是满足第 ,ij个条件的广义逆矩阵，就记为 ,ijA 。如果 G是满足第 ,ijk 个条件的广义逆矩阵，就记为 ,ijkA ，如果 G是满足四个条件的广义逆矩阵，就记为 1,2,3,4A 。除了 1

8、,2,3,4A 是唯一确定之外，其余各类广义逆矩阵都不是唯一确定的，每一类广义逆矩阵都包含着一类矩阵，为了表示这种情况，把满足前面所述相应条件的一切 Moore Penrose广义逆矩阵分别记为 Ai ， ,Ai j ， ,Ai j k 上述共 有 15类 Moore Penrose广义逆矩阵中，应用较多的是以下 5种： (1) 1A ，其中任意一个固定广义逆矩阵记为 A ； (2) 1,2A ，其中任意一个固定广义逆矩阵记为 rA ； (3) 1,3A ，其中任意一个固定广义逆矩阵记为 mA ； (4) 1,4A ，其中任意一个固定广义逆矩阵记为 lA ； (5) 1,2,3,4AA 其中

9、A 满足全部四个条件，显然有 1AA ， 1,2AA ， 1,3AA ， 1,4AA 。 在了解了广义逆矩阵的概念之后，我们再来看它的一些性质。文献 3中给出了广义逆矩阵的一些性质及。 性质 1： A 为实 n 阶方阵，若 A 可逆。则 1A 即为 A 的广义逆矩阵。 性质 2： 若 A 有广义 逆矩阵 B ，则 B 是唯一的 (后面记 BA )。 引理： A 为 mr 阶实矩阵， A 为列满秩阵，则 TAA可逆。 (或 A 为行 满秩阵，则 TAA 可逆 )。 性质 3： H 为 mr 阶实阵， L 为 rn 阶实阵。且 r H r L r。则 1TTH H H H , 1TTL L LL

10、且 r H r L r。 推论 1： H 为 mr 阶列满秩实阵，则 rHH I 。 L 为 rn 阶行满秩实阵，则rLL I 。 推论 2： A 为 n 阶可逆实方阵，则 1AA 。 性质 4： A 为 mn 阶实矩阵 A 的广义逆矩阵，则 T TAA 。 性质 5： A 为 mn 阶实矩阵， r A r ， A 的满秩分解为 A HL ，其中 H， L分别为 mr 阶与 rn 阶秩为 r 的实矩阵，则 A 广义逆矩阵 A LH 。 性质 6： A 为 A 的广义逆矩阵，则 r A r AA r A A r A 。 性质 7： A 为 mn 阶实矩阵，则 nr I A A n r A 。 性

11、质 8： A 为 mn 阶实阵 A 的广 义逆矩阵，则矩阵方程 AX b AA b b 有 解 。 且当有解时一个解为 X Ab 。 现在，我们已经知道了广义逆矩阵的概念以及它的一些性质，接下来就来看下它的一些应用。首先是在解线性方程组中的应用。文献 2、 4都给出了矩阵的左逆和右逆，文献 2、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10还给出了与线性方程组的解关系。 1、矩阵 A 的左逆 1LA 与右逆 1RA 定义 1： 若有 nmGC ， 使得 AG I (或 GA I )，则称 G 为 A 的右逆 1RA (或左逆 1LA )，即 1RAA I (或 1LA A I )。 在一般情况下，

12、 11LRAA 若 11LRAA ，则 1A 存在，且 111LRAAA。 引理 1： 若 A 是行 (或列 )满秩， 则必存在 A 的右逆 1RA (或左逆 1LA )，且 11RA A AA (或 11LA AA A 。 2、 A 与相容方程组的解 引理 2： (相容方程组的通解 )相容方程组 AX b 的通解为 nX A b I A A Y ，其中 Y 为 nC 中的任意元素。 3、 mA 与相容方程组的极小范数解 引理 3： 设 nmGC ，使 Gb是相容方程组 AX b 的极小范数解的充要条件是， G满足 AGA A 和 GA GA 。 mA 的计算方法如下： (1)当 A 是行 (

13、或列 )满秩时，则 11mRA A A AA (或 11mLA A A A A ) (2)当 ( ) m in ,rank A r m n 时，将 A 满秩分解为 A CD ，其中 C为列满秩， D为行满秩，则 11m R LA A D C 。 (3)在一般情况下，用满秩分解来求 mA 是很麻烦的，我们可以做 mA A AA 4、 lA 与不相容方程组的最小二乘解 引理 4： 设 nmGC ， X Gb 是不相容方程组 AX b 最小二乘解的充要条件是，G满足 AGA A 和 GA GA lA 的计算方法如下： (1)当 A 是行 (或列 )满秩时，则 11lRA A A AA (或 11lL

14、A A A A A ) (2)当 ( ) m in ,rank A r m n 时，将 A 满秩分解为 A CD ，其中 C为列满秩， D为行满秩，则 11l R LA A D C 。 (3)在一般情况下，用满秩分解来求 mA 是很麻烦的，我们可以做 lA A A A 在最小二乘解、曲线拟合和多元线性回归分析中常常要计算不相容方程组的最小二乘解，广义逆矩阵的理论使求不相容方程组的最小二乘解的方法标准化、规范化了，整个求解过程归结为求 A的广义逆 lA ，无需求误差平方和的极值等一套繁琐的步骤 5、 A 与线性方程组的极小最小二乘解 引理 5： 不相容方程组 AX b 的极小最小二乘解为 X A

15、b ，其中 mlA A AA A 的计算方法如下： (1)如果 A 为满秩方阵，则 AA ； (2)如果 12( , , , ) , , 1 , 2 , ,niA d ia g d d d d C i n ，则 12( , , , )nA diag d d d ，其中 0, 01,0ii iidd dd 当 时当 时(3)如果 A 为行满秩矩阵，则 11RA A A AA ； (4)如果 A 为列满秩矩阵，则 11LA A A A A ； (5)如果 A 为降秩的 mn 矩阵，可用满秩分解求 A ，即将 A 满秩分解成A CD ，其中 ,m r r nC C D C，且 m in ,r a n

16、 k C r a n k D r r a n k A m n ， 1111,LRC C C C D D D D ，则 11RLA D C 。 下面是广义逆矩阵在解矩阵方程中的应用。文献 11、 12、 13中都提到如何利用广义逆矩阵来求矩阵方程组的解。 1、 1逆和矩阵方程 AXB D 的解 定理 1： 设 ,m n p q m qA C B C D C ，那么这个矩阵方程 AXB D (1.2.6) 是齐次的，当且仅当给定一个 1A 和 1B ，有 11AA DB B D (1.2.7) 在这个实例中，对于任意的 npYC ，一般解是 1 1 1 1X A D B Y A A Y B B 。

17、 (1.2.8) 2、 1逆和方程 Ax a 与 Bx b 的一般解 设 , , ,m n p n m pA C B C a C b C ，考虑这两个方程 ,Ax a Bx b， (1.2.11) 问题是找到一个满足方程 (1.2.11)的 nxC 。这显然等价于解决这个分块方程AaxBb (1.2.12) 首先，我们找到分块矩阵 AMB的一个 1逆。 定理 1： 设 ,m n p nA C B C，则分块矩阵 AMB的一个 1逆被给为 111 1 1 1 1MX I I A A B I A A B A I A A B I A A (1.2.13) 设 mrCC ，则分块矩阵 N AC 的一个

18、 1逆被给为 11 1 1111NA I C I AA C I AAXI AA C I AA 。 (1.2.14) 接下来这个证明给出了方程 Ax a 和 Bx b 的一般解。 定理 2： 设 , , ,m n p nA C B C a R A b R B ，以及 ax 和 bx 分别是在 (1.2.11)中的两个方程的两个特解。令 1F B I A A ，则接下来的叙述是等价的： 在 (1.2.11)中的两个方程有一个一般解； (1.2.15) aB x b R F B N A ; (1.2.16) abx x N A N B . (1.2.17) 而且，当一般解存在时，一个特解表示成 1

19、1 1 1cax I I A A F B x I A A F b (1.2.18) 所有一般解的集合被写成 11 : ncx I A A I F F h h C (1.2.19) 下面是广义逆矩阵在测量平差中应用，在文献 14中有提到。 1、条件平差 条件方程 ： ,rnnl rlAW(1) 其中权阵 P 正定，且有 , ,1rn rnR A R A W r，则 (1)式为相容方程组，平差准则为： minTV PV ， V 是参数，其最小范数解为： 11TTmPV A W P A A P A W 2、间接平差 观测方程： , , ,nl nt tlL BX(2) 其中观测向量 L 的权阵 P

20、正定，且有 , , , 1,1n t n t n tR B t n R B R B L t ，则 (2)式为不相容方程组，且 B 的秩等于 B 的 最小阶， 平差准则为： m inTB X L P B X L ， 其最小二乘解为： 1T T T TlPV B L B P B B P L B P B B P L (3) 3、附有参数的条件平差 观测方程： , , , , , 0c n n l c u u l clA B X W 将其改写为： , , clc n u n u lA B WX (4) 权阵为 PPdI，其中 10 , 0 ,d d d ，即最小二乘条件不考虑参数 X 。 因为 , ,

21、 1c n u c n uR A B R A B W c ， (4)为相容方程组， 平差准则为： m i nTT PXdI X 。 其最小范数解为： 11111 1 111 1 1TTmPT T TT T TPPAAA B W A B WX dI dIBBP A A P A B d B Wd B A P A B d B W 4、附有条件的间接平差 观测方程： , , ,nuul nlBX L条件方程： , ,Xulsu slCX W将其改写为： , ,ul Xn s u n s lLB XWC (5) 权阵为 11 , 0 , 0 ,PP d d ddI ，将 XW 视为具有无限权的观测值。

22、因为 , ,Xn s u n s u n s u lB M LBBR u n s R R u lCWCC ，则 (5)式微不相容方程组，平 差准则为： m i nTXXLLBBX P XWWCC 。 最小二乘解为： 11TTXlPLB P BX B CWC d I C 5、秩亏自由网平差 观测方程： , , ,nl nt tlL AX(6) 其中 , ntn t R A u t ， (6)为不相容方程，且 A 的秩小于 A 的最小阶。平差准则为： m in, m inTT XX P X AX L P AX L 。 (9)式的解为： 11X XXT T T TP P X XmPmPX A L A

23、 P A A P L N A P L P N N P N A P L 其中 P 为观测向量 L 的权阵， XP 为参数 X 的权阵，特别地，当 1XP 时，有： TX N NN A PL 下面是广义逆矩阵在平面四杆机构综合中的应用，在文献 15中提到。 1、函数发生器综合 函数发生器综合是综合铰链四杆机构以实现机构两连架杆之间对应的函数关系。应用运动反转法，可将输入角为 i ，输出角为 i 的实现函数的铰链四杆机构综合问题转化成前述 R R杆导引综合。 2、点位一角移量相配问题 点位一角移量相配问题是综合铰链四杆 机构以实现机构主动杆转角与连杆点对应关系。 三、总结部分 本文主要阐述了以下内容

24、：（ 1） 广义逆矩阵的历史背景及 现阶段各自研究的重点和主要成果 ； （ 2） 广义逆矩阵的基本概念及其分类； （ 3） 广义逆矩阵的一些重要性质； （ 4） 广义逆矩阵在解线性方程组中的应用 （ 5） 广义逆矩阵在解矩阵方程中的应用。 矩阵的广义逆理论在方程的求解及解的稳定性分析等问题上有着广泛的应用。其中， 1， 3)广义逆， 1， 4)广义逆常被用于求及表示线性方程组的最小二乘解和极小范数解， Bott Du伍 n广义逆则在限制系统及约束方程的研究中有重要的 作用。本文只对 Moore Penros广义逆及它的分类进行讨论，得到了它们新表达式以及若干代数性质，同时给出了它们在 线性方程组和矩阵方程 中的应用，以及在最小二乘法解和极小问题解中的应用。