1、毕业论文文献综述 数学与应用数学 几类可化为伯努力方程求解的一阶微分方程 一、前言部分 众所周知， 数学分析中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分如果函数未知，但知道变量与函数的代数关系式，便组成代数方程，通过求解代数方程解出未知函数同样，如果知道自变量、未知函数及函数的导数组成的关系式，得到的便是 微分方程如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程 常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置 我们所研究的函数，是反映 客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系，但在大量的实际问题中遇到稍微复杂的一些运动过程时，反映运动规律的
2、量与量之间的关系却往往不能直接表达出来，而比较容易的建立这些变量和它们的导数间的关系式就是 常 微分方程。科学家 塞蒙斯 (Simmons)曾如此评价微分方程在数学中的地位： “ 300 年来分析是数学里首要的分支，而微分方程又是分析的心脏这是初等微积分的天然后继课，不仅是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它所产生的较深的问题中，它又是高等分析里大部分思想和理论的根源” 现在，常微分方程在很多学科领域内有着 重要的应用，例如： 自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可 化为求常微分 解 的问题 。 这就说明研究微分
3、方程的求解仍是具有实际意义的。所谓 Bernoulli 方程就是形如如下方程的表达式 ( ) ( ) ndy P x y Q x ydx ， （ 1） 这里 xP 、 xQ 为 x 的连续函数， n 是整数且 1,0n 。 但是 ,在我们的生活中 ,已经发现的能用初等解法求解的微分方程是很有限的，例如形式上很简单的黎卡提方程就没有一般的初等解法。但是在数学理论上，黎卡提方程在已知特解的情况下就可以转化为 Bernoulli 方程求解。这就使得继续研究可以转化为 Bernoulli 方程求解的相关微分方程有一定的理论意义，另外，很多实际问题的微分方程模型往往是比（ 1）形式更为复杂的Bernou
4、lli 方程。所以将更多形式下的微分方程转化为 Bernoulli 方程来求解的研究是一项很重要的工作。同时，对这一课题的研究，不仅可以加深我们对数学分析、常微分方程等所学课程内1 容的理解，而且能帮助我们更深刻掌握其理论的应用，更好地培养我们的创新思维。由于日常生活中的实际问题往往可以归结为求微分方程解的数学问题，这就使得研究微分方程的求解变 成研究微分方程的主要内容之一。 对于具有广泛应用背景的 Bernoulli 方程的求解一直是人们十分关心的课题。因此进一步研究可以转化为 Bernoulli 方程求解的常微分方程的可解类型是一项重要而又有意义的工作。 二、主题部分 对于 Bernoul
5、li 方程求解的一阶微分方程进行研究，已经有一段历史了。它成为解微分方程的一种重要数学方法，人们利用这个求解方法，解出微分方程，然后把结果应用到日常实际生活当中去。在 自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性等 领域都有广泛 的应用，许多数学家已经做了许多的课题和论文。经阅读大量的资料，对他们的主要成果进行了阐述： 江磊在几类应用变量代换求界的常微分方程 1中分析了几类简单的 Riccati 方程化为Bernoulli 方程的形式，并给出了一定的结论和总结。 王高雄在常微分方程 2一文中强调了 Bernoulli 方程解法的多样性，并给出了一
6、些方法的具体解法和过程 。 汤光宋在几类可化为常微分方程求解的积分方程 3中论述了若干可化为一阶、 n 阶常微分方程求解的积分方程的类型，并给出了解的表达式，应用其公式，可简化求相应方 程解的演算过程，并对有关问题做了总结和推广。 李鸿祥在一阶常微分方程的求解 4一文中给出了一阶常微分方程的几种解法，其中就包括了 Bernoulli 方程的几种解法，而且对几种解法进行了分析、比较和概括。 刘志伟在 Bernoulli 方程的新解法中给出了一种新的解法 5。 胡劲松在用“积分因子”求解 Bernoulli 方程一文中给了 Bernoulli 方程求解的一些方法 6。 王玮在其所写的一阶线性微分方
7、程与贝努力方程的解法 7一文中提到我们一般所使用的教材都是通过变量代换、常数变易、变量回代 的常规式方法来求解微分方程，即通过变换将原方程化为一阶线性方程，然后利用常数变易法求出一阶线性方程的解，再将变量回代，作者根据这2 个原理给出了一种新的方法来解方程，省去变量回代的过程。 冯变英在试论 Bernoulli 方程的几种解法 8中叙述了一些 Bernoulli 方程的几种特殊解法，给出了相应的结果和总结。 朱熹平在常微分方程中也给出了对几类可化 Bernoulli 方程求解的一阶微分方程的具体解法和主要结论，并得出了一些有用的结论 9。 同时， Tom.M.A.Postol 也在 Mathe
8、matical AnalusisinChina 10中也阐述了相同的观点，并得到了几种 Bernoulli 方程的新解法。 徐士河在一类简单黎卡体方程的求解 、 11一文中给出了 Riccati 方程： 2( ) ( ) ( )dy P x y Q x y e xdx 其中 xP 、 xQ 、 xe 是 x 的连续函数。 而像这种形式上很简单的 Riccati 方程一般没有初等解法，但是 Riccati 方程在已知一特解的情况下可转化为 Bernoulli 方程求解 12 13 14 15。文献 12、 13、 14、 15在此思想的启发下，积极探求几类 Riccati 方程更为广泛的一阶微分
9、方程的求解方法。 方法 1 设 xP 、 xQ 是两个可积函数，则伯努力方程 ( ) ( ) y P x y Q x y的通解是()x P x dxy ue 其中 xU 是方程 (1 ) ( )1 () n P x dxx du Q x e dxu 的通解。 方法 2 对 xCpxQ 时的特殊情况 , Bernoulli 方程也可以用分离变量法来求解 ( ) ( ) y P x y cP x y. 可将其变形为 : )( yycxpy , 分离变量得 : ()dy P x dxcy y , 3 两边积分即可求得其解。 方法 3 用积分因子法求解 Bernoulli 方程 ,对如下方程 : (
10、) ( ) ( 0 , 1 )ndy P x y Q x y ndx , 或 1 ( ) ( ) 0nnP x y Q x d x y d y . 最后得通解 : ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )1 ( 1 ) ( ) n P x d x n P x d xny n e Q x e d x c . 对于上述的 Riccati 方程我们也可化为 Bernoulli 方程进行求解 ,从而得到一些有用的定理 . 定理 1 若 ( ) ( ) ( )Q x P x F x , ( ) ( ) 0F x R x,则 方程 2( ) ( ) ( )dy P x y Q x y e xdx 可转化为伯
11、努力方程 ,从而可解。 定理 2 若 ( ) ( ) ( )Q x P x F x ， 2( ) ( ) ( ) 0P x F x F x，则方程 2( ) ( ) ( )dy P x y Q x y e xdx 可转化为伯努力方程，从而可解。 定理 3 若 2( ) ( ) ( )R x P x F x ， ( ) ( ) ( ) 0F x Q x F x，则方程 2( ) ( ) ( )dy P x y Q x y e xdx 可转化为伯努力方程，从而可解。 对于以上三个定理，又可以得到如下三个有用的推论： 推论 1 若 ( ) 1Px ，且 ( ) ( ) 0Q x R x，则上述方程可
12、转化为伯努力方程，从而可解。 推论 2 若 ( ) 1Px ，且 2( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) 0R x Q x F x F x F x ， 则上述方程可转化为伯努力4 方程，从而可解。 推论 3 若 ( ) 1Px ， 2( ) ( )R x F x 且 ( ) ( ) ( ) 0F x Q x F x， 则上述方程可转化为伯努力方程，从而 可解。 经过上述的总结 ,知道了对于一些一阶微分方程求解 ,首先要找到它的特解 ,在特解满足一定条件下再进行变量替换 ,将方程转化为伯努力方程 ,然后进行求解 .虽然能用这种方法求解的类型是很有限的 ,但是它们却反映了求解微分方程所用到的
13、方法与技巧 ,因此研究这种类型方程的解法有着巨大的实际意义 ,同时也该把这种理论应用到实践当中 ,去发挥它们应有的作用。 三、总结部分 总结研究伯努力方程求解的方法，以及已有文献关于可转化为伯努力方程求解的基本类型，希望对几种类型的一阶微分方程分别给出具体的变量替换，使得不能直接求解的微分方 程化为伯努力方程，从而利用伯努力方程的解法解出一阶微分方程。一般的解法是先求出对应齐次方程的通解，然后应用常系数变易法解之；或直接利用由常系数变易法得出的通解公式求解，而Bernoulli 方程却利用变量代换法来解。而把一阶线性非齐次方程作为 Bernoulli 方程的特例的好处在于原来三种烦琐的方法可转
14、化为一种简单方法来求解，起到删繁就简的作用 。 四、参考文献 1 江磊 ,几类应用变量代换求解的常微分方程 J.成都 :纺织高等专科学报 ,2005:3-4. 2 王高雄 ,常微分方程 M.北京 :高等教育出版 社 ,1982:32-36. 3 汤光宋 ,一阶方程的求解公式 J.湖北 :沙洋师范高等专科学校学报 ,2004:6-8. 4 李鸿祥 ,一阶常微分方程的求解 M.北京 :高等教育出版社 ,1983:96-98. 5 刘志伟 , Bernoulli 方程的新解法 J.广西梧州师专学校学报 ,2000:75-77. 6 胡劲松 , 用“积分因子”求解 Bernoulli 方程 J.四川理
15、工学院学报 ,2005:45-48. 7 王伟 ,一阶线性微分方程与贝努力方程的解法 J.焦作大学学报 ,1994:11-15. 8 冯变英 ,试论 Bernoulli 方程的几种解法 J.太原师范学院学报 ,2003:22-24. 9朱熹平 ,常微分方程 M.北京 :人民教育出版社 ,1978:13-15. 10Tom.M.A.Postol,Mathematical AnalusisMin China: Machine Press Beijing ,2003:56-58. 5 11 徐士河 ,一类简单黎卡体方程的求解 M.湖南科学出版社 ,2000:74-78. 12Conti,R.Limitazioni in ampiezza delle soluzioni di un sistema di equazioni applicazioni(I).Boll. Un. Mat. Ital. ,(3) 11 (1956):344 349. 13 Bellman, R., 微分方程解的稳定性理论 M.北京 :科学出版社 ,1958:59-62. 14贺建勋 ,王志成 .常微分方程 (上册 )M.长沙 :湖南科学技术出版社 ,1979:128-129. 15魏俊杰 ,潘家齐 ,蒋达清 .常微分方程 M.北京 :高等教育出版社 ,2002:105-107.6
