1、毕业论文文献综述 数学与应用数学 矩阵特征值、特征向量的研究 一、前言部分 数学作为 一种研究问题的工具， 大部分同学 并未真正感受到它的实用价值，往往低估了数学对于学习知识及其解决问题的重要作用，或不会灵活运用数学这一工具去理解、解决问题 许多理论、规律、计算等若能灵活而有效地借助数学方法去剖析、推演，往往会有意外的收获 1 。 矩阵就是数学中的一小部分， 英文名 Matrix（ SAMND 矩阵）本意是 子宫 、控制中心的母体、孕育生命的地方，同时，在数学名词中，矩阵用来表示统计 数据等方面的各种有关联的数据。这个定义很好地解释了 Matrix 代码制造世界的数学逻辑基础。在科学技术和工程
2、应用中，矩阵理论的重要性和应用的广泛性是众所周知的，尤其是有了矩阵特征值、特征向量的各种求解及计算机的广泛使用和 MATLAB 等数学计算软件的迅猛普及为矩阵提供了更为广阔的发展和应用前景。矩阵特征值、特征向量运用非常的广泛，在很多方面都有涉及。本文将先从各种矩阵的特征值、特征向量求解方法和矩阵历史入手，从几个方面综述矩阵特征值、特征向量的应用 2 。 那什么是矩阵特征值、特征向量呢？定义：设 A 是 N 阶矩阵，如果数 X 和 N 维非零列向量 x，使关系式 Ax=Xx 成立，那么，这样的数 X 就称为方阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 的对应于特征值 X 的特征向量。 求特征值 描
3、述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式：说 是 A 的特征值等价于说线性系统 (A i ) v = 0 (其中 I 是恒等矩阵 )有非零解 (一个特征向量 )，因此等价于行列式 det(A i )=0。 函数 p() = det(A i )是 的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和。 这就是 A 的特征多项式：矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点 3 。 一个矩阵 A 的特征值可以通过求解方程 Ap () = 0 来得到。 若 A 是一个 nn矩阵，则 Ap 为 n 次多项式，因而 A 最多有 n 个特征 值。 反过来，代数基本定理说这个方程刚好有 n 个根，如果重根也计算在内的话。所有奇
4、数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数 n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的 n，非实数特征值成共轭对出现。 求特征向量 3 一旦找到特征值 ，相应的特征值可以通过求解方程 组 (A i ) v = 0 得到 。 没有实特征值的一个矩阵的例子 ： 实 平面 顺时针 90 度旋转 ， 其特征多项式是12 ，因此其特征值成复共轭对出现： i, -i。相应的特征向量也是非实数的。 特征值与特征向量的性质 4 性质 1 设 A 为 N 阶方阵， 1 ， 2 , n 为 A 的 n 个特征值，则 A = 1 n。 性质 2 方阵 A 为可逆 A 的 n 个特征值都不为零。
5、 性质 3 设 为方阵 A 的特征值， A 为 A 的多项式，则 为 A 的特征值。 性质 4 不为方阵 A 的特征值 EA 0 第一： 运用 MATLAB 求解矩阵特征值、特征向量。首先，我用下面的例子，来引导我们认识 MATLAB 在求解矩阵特征值、特征向量上的运用。 例 1：对亏损矩阵进行 Jordan 分解 5 。 A=gallery(5) %MATLAB 设置的特殊矩阵，它具有五重特征值。 VJ,DJ=jordan(A); % 求出准确的特征值，使 A*VJ=VJ*D 成立。 V,D,c_eig=condeig(A);c_equ=cond(A); DJ,D,c_eig,c_equ A
6、 = -9 11 -21 63 -252 70 -69 141 -421 1684 -575 575 -1149 3451 -13801 3891 -3891 7782 -23345 93365 1024 -1024 2048 -6144 24572 DJ = 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 D = Columns 1 through 4 -0.0328 + 0.0243i 0 0 0 0 -0.0328 - 0.0243i 0 0 0 0 0.0130 + 0.0379i 0 0 0 0 0.0130 - 0.0379i 0
7、 0 0 0 Column 5 0 0 0 0 0.0396 c_eig = 1.0e+010 * 2.1016 2.1016 2.0251 2.0251 1.9796 c_equ = 5.2133e+017 从以上的例子可以看出， MATLAB 可以很好的解决在求解矩阵特征值、特征向量中存在的问题，更加方便我们的求解。 第二： 单位矩阵特征值、特征向量 6 。 单位矩阵的特征值是 1， 然后我们验证一下：特征值的和 =积 的和 ， 特征值的积 =E 的行列式 ， 特征向量是任意 n 个线性无关的向量。以 n 阶为例 ， （ 11111.1） x1+X2.+Xn=0 解这个方程就可以了 。 也
8、就是 1R =（ 1， 000 -1）， 2R =（ 1， 0000 -1，0），依次类推。 第三： 伴随矩阵特征值、特征向量求解 7 那什 么是伴随矩阵呢？ 如果 0 是矩阵 A 的一个特征值，则 0 也是伴随矩阵 A*的一个特征值；如果 k 是矩阵 A 的一个非零特征值，则存在非零向量 a: Aa=ka 则 AAa=kAa |A|a=kAa Aa=(|A|/k)a 可见 |A|/k 是 A*的一个特征值。 这就是伴随矩阵特征值、特征向量求解。 第四： 上三角矩阵特征值、特征向量求解 8 设 n 阶上三角方阵 A,其特征值为 ， 根据矩阵的特征值的计算公式有 |A-E|=0。 则有 : |a
9、11- a12 a13 a1n| | a22- a23 a24 a2n| | a33- a3n|=0 | | | an- | =(a11-)*(a22-)*(a33-)*(an -)=0 =i=aii =上三角矩阵的特征值是对角线元素 下三角矩阵亦同。 第五： 幂零矩阵特征值、特征向量求解 9 设 Am=0,特征值为 c，则有 Ax=cx,A2x=c2x,以此类推有 Amx=cmx,由 Am=0有 cm=0,因此 c=0,即 A 的特征值是 0。 第六： 转置矩阵特征值、特征向量 10 先看一个例子， 若矩阵 A 的特征值是 b，那么 A 的转置的特征值是多少呢？|bE-A|=|(bE-A)|
10、=|bE-A| 所以 A 与 A特征值相同 第七： 新方法 11 一般的教科书介绍的求矩阵 A 的特征值的方法是求一个特征方程的跟，而求相应的特征向量。这里介绍一种新的方法，只用一种运算 矩阵运算，即在求矩阵 A 的特征值时，对特征矩阵（ A- E ）进行 矩阵的初等行变换，在求相应的特征向量时用矩阵运算。 二、主题部分 矩阵概念产生于 19世纪 50年代，是为了解线性方程组的需要而产生的。然而，在公元前我国就已经有了矩阵的萌芽。在我国的九章算术一书中已经有所描述，只是没有将它作为一个独立的概念加以研究，而仅用它解决实际问题，所以没能形成独立的矩阵理论 12 。 1850年，英 国数学家西尔维
11、斯特 (SylveSter， 1814-1897)在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了矩阵的概念13 。 1855年，英国数学家凯莱 (Caylag， 1821-1895)在研究线性变换下的不变量时，为了简洁、方便，引入了矩阵的概念。在矩阵论的研究报告中，定义了两个矩阵相等、相加以及数与矩阵的数乘等运算和算律，同时，定义了零矩阵、单位阵等特殊矩阵，更重要的是在该文中他给出了矩阵相乘、矩阵可逆等概念，以及利 用伴随阵求逆阵的方法，证明了有关的算律，如矩阵乘法有结合律，没有交换律，两个非零阵乘积可以为零矩阵等结论，定义了转置阵、对称阵、反对称阵等概念
12、14 。 1855年，埃米特 (C.Hermite， 1822 1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch， 1831 1872)、布克海姆 (A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯 (H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些 有关的结论。 1878年，德国数学家弗罗伯纽斯 (Frobeniws， 1849一 1917)在他的论文中引入了 矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子等概念，证明了两个 矩阵等价当且仅当它们有相同的不变因子和初等因子，同时给出了正交矩阵的定义 ,1879年，
13、他又在自己的论文中引进矩阵秩的概念 . 矩阵的理论发展非常迅速，到 19世纪末，矩阵理论体系已基本形成。到 20世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。目前，它己经发展成为在物理、控制 论、机器人学、生物学、经济学等学科有大量应用的数学分支 矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支 矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。 以矩阵特征值、特征向量为工具，线性方程组等理论有了长足的发展。矩阵可以说是一个复合的对
14、象，在它里面有很多元素，但是用一个字母来表示这些元素的集合给矩阵论带来了简便，这充分反映了 符号体系的矩阵代数在表达复杂关系式中的工具作用。对于二元线性方程组和三元线性方程组，如果系数行列式不等于零，在解的唯一性的讨论中，高斯等数学家们借助矩阵的排列形式进行了研究。 到了 19 世纪末，群论成为数学研究的主流之一，借助矩阵理论数学家们发现了群的理论。 1849 年，凯莱在文章中引进了抽象群的概念，将矩阵应用于群的研究。 1978年， Jordan 将线性变换引入置换群中，并给出抽象群的矩阵表示。 1986 年，弗罗伯纳斯推广了群特征标的概念，应用矩阵建立了特征函数的概念，特征标函数后来又被弗罗
15、伯纳斯应用到了无限群上 14 。 18世纪，数学与力学紧密结合。进入 20世纪，随着物理科学的发展，数学相继应用于相对论、量子力学等方面。从 1904年到 1910年， Hilbert连续在文章中应用矩阵来研究积分方程，然后又将积分方程应用到数学物理问题中 14 。 1925年，海森堡 (wemer Heisenberg)的无穷矩阵理论被应用到量子论上，矩阵力学形成。 1927年，希尔伯特等人开始用积分方程等分析工具研究量子理论，在抽象希尔伯特空间中研究量子力学特征值 等问题。 20世纪 40年代，由于电子计算机的应用，数学向其它科学领域广泛渗透。现代数学在向外渗透的过程中，数学的核心领域越来
16、越抽象，许多高度抽象的理论被证实是其它科学和生产实践普遍使用的工具。作为工具的矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面 15 。 1947年，诺依曼与戈德斯坦发表论文高阶矩阵数值求逆，处理了高阶矩阵的求逆问题。 20世纪 50、 60年代，随着现代数字计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。如利用矩阵借助于 计算机实现了线性代数方程组的近似求解问题。于是作为处理实际问题的矩阵代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础16 。 而 在实践中，大型矩阵的特征值无法通过特征多项式计算。计算该多项式本身相当费资源，而精确的 “ 符号式 ”
17、的根对于高次的多项式来说很难计算和表达：阿贝尔鲁费尼定理显示高次（ 5 次或更高）多项式的根无法用 n 次方根来简单表达。对于估算多项式的根的有效算法是有的，但特征值中的小误差可以导致特征向量的巨 大误差。因此，寻找特征多项式和特征值的一般算法，是迭代法。 三、总结部分 作为数学的一个重要分支，矩阵特征值、特征向量理论有着悠久的发展历史和极其丰富的内容。作为一种基本的工具，矩阵特征值、特征向量在数学学科与其它科学技术领域都有广泛的应用。现代科学技术的发展为矩阵特征值、特征向量的应用开辟了更广阔的前景。研究矩阵的历史发展及其完整的思想背景具有重要的理论意义与应用价值。本文从几个方面进行了矩阵特征
18、值、特征向量求解的实际应用的探讨，从这几个方面我们浅谈了矩阵特征值、特征向量求解方法在社会发展中的重要作用，让 大家更好的看到矩阵的发展前景。 从发展现状来看，矩阵的应用非常广泛，例如：信息科学，经济学，工程，物流，网络等。所以我认为对于在社会发展过程中了解矩阵的实际应用是必不可少的，它会帮助我们更好的发展。 四、参考文献 1 施劲松 ,刘剑平 .矩阵特征值、特征向量的确定 J.大学数学 .2003.12,19（ 6）： 123-126. 2 李迪 .中国数学史简编 M.沈阳 :辽宁人民出版社 .1984,9.124-125 3 刘国琪 .利用矩阵的初等行变换达到矩阵的特征值与特征向量的同步求
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