1、毕业论文文献综述 数学与应用数学 连续时不变线性控制系统能控性研究 一、前言部分 在目前快速发展的科学技术中，控制论科学正处在数学、计算机科学和工程学交叉学科发展的前沿。控制理论已把强有力的理论成果带到现代技术中；作为控制理论的理论基础，它正处在以自动化、计算机和机器人为代表的新技术革命的核心。控制理论的成果在美国Apollo 登月计划实施中起过实质性的作用。科学技术是第一生产力。自动化技术是最能体现第一生产力作用的技术，而控制理论正是自动化的理论基础。 人类从诞生之日起，就开始逐步认识世界，并在获得认识的基 础上利用和改造客观世界，以达到改善生活条件的目的，对于客观世界的改造就是一种 “控制
2、 ”，从观念上讲，控制可描述为影响动态系统行为的过程。控制问题是基于可以利用的数据，去确定系统的输入，已达到设定的目的。 数学在控制论科学研究中有两重作用，一是利用数学建立合理的数学模型以精确地描述控制问题；二是在建立数学模型后，利用数学理论解决所提出的控制问题，并期望提出新的数学问题 1。 今天，控制装置与系统已成为现代社会中必不可少的部分。诸如太空穿梭、月球登陆、飞机驾驶、船舶航行、交通管制、环境保护、医疗卫生、邮电通信， 以及各种工业生产、各种军事武器、各种家用电器，几乎处处都由控制技术扮演着重要的角色。控制理论是伴随着工业技术的发展成长起来的，但它有着更为广阔的应用范围。目前，自动控制
3、的概念及分析方法正在向其他领域渗透。政治、经济领域中的各种体系、社会生活中的各种现象、人体的各项功能、自然界中的各种生物学系统，都可以认为是一种自动控制系统，可以运用自动控制理论，对它们进行研究。虽然目前我们对这些系统的认识还不够深入，但随着计算机在控制领域中的广泛应用，随着控制理论的发展进展。随着系统的自适应、自学习能力的不断增强，人类对自 然界及社会上各种系统的控制能力也将日益提高。 随着现代控制理论的不断发展及其日益广泛的应用 ,系统能控性引起控制论学者的普遍关注 ,并作了较为深入的研究。 除了用定义判定一个线性系统是否能控之外，经过中外数学家的不懈努力，还研究出了时不变线性系统能控性的
4、其他各种判别条件，包括充分条件，必1 要条件和充要条件。通过本课题的研究，旨在全面总结时不变线性系统能控性的判定，性质以及其在实践生活中的诸多应用。 参考国内外相关文献，就时不变线性控制系统能控性的 历史背景、相关应用和研究相关问题的方法进行综述 2。 二、主题部分 系统是由若干个相互关联又相互作用的事物组合而成的，具有某种或某些特定功能的整体。如通信系统、雷达系统等。系统的概念不仅适用于自然科学的各个领域，而且还适用于社会科学。如政治结构、经济组织等。系统可以小到一个电阻或一个细胞，甚至基本粒子，也可大或复杂到诸如人体、全球通信网，乃到整个宇宙，它们可以是自然的系统，也可以是人为的系统。但是
5、，众多领域各不相同的系统也都有一个共同点，即所有的系统总是对施加于它的信号 (即系统的输入信号，也可称激励 )作出响应，产生出另外的信号 (即系统的输出信号，也可称响应 )。系统的功能就体 现在什么样的输入信号产生怎样的输出信号。 为了给系统分类和解决某些具体信号通过系统的分析问题提供方便，更为了给推导一般系统分析方法提供基本的理论依据，有必要研究一下系统的基本特征，主要包括线性、时不变性、因果性、和稳定性等。 接下来我们具体来看下时不变性。参数不随时间变化的系统称为时不变系统。一个时不变系统，由于参数不随时间变化，故系统的输入输出关系也不会随时间变化。 时不变系统的输入移位会导致输出相同的移
6、位。在理想情况下 ,大多数模拟电子系统 ,都是时不变系统。但硬件中电子元件会老化 ,因此所有的模拟电子系统 又都是时变的。热敏效应也是时变系统产生的重要原因之一 ,随着温度升高 ,导体内的电子热运动加剧 ,电阻变大。所以从严格的意义上讲 ,实际电子系统的时变是绝对的 ,时不变是相对的。时不变系统只是一种理想的情况 ,是对许多实际系统的合理简化。 依据输入输出解析关系来判断系统的时不变性是一个难点。可以将系统的输入输出解析关系抽象为三类函数 ,并且分析这些系统的时不变性 ,从而使学生能够快速有效地判别系统的时不变性。下面我们逐一讨论这三类函数。讨论中我们约定 ,信号的值为复数 , ()xt 一
7、般为系统的输入信号 , ()yt 一般为系统的输出信号。讨论以连续时间与系统为例 ,但对于离散时间与系统也是适用的。 （ 1） ( ) ( )y t F x t 的形式 ,其中 F cc ， 即 F 为一个从复数域映射到复数域的函数。这类函数的例子有 : ( ) sin ( )y t x t ， cos2 y n x n ， ( ) ( )y t ex t 等。2 这 类函数特点是 ()yt 为 ()xt 的函数值的函数。我们可以这样考虑 ,在输入信号 ()xt 和 ()zt 的激励下 ,系统的输出分别为 ()Fxt 和 ()Fzt ， 即 ( ) ( )x t vF x t 和 ( ) (
8、)z t vF z t 。 如果令信号 ()zt = 0()xt t ， 并将其代入 ()Fzt 得 ()Fzt = 0 ( )F x t t 。 这说明系统在输入信号0()xt t 的激励下的输出为 0 ( )F x t t ， 也就是说 ,当输入信号产生一个时间移位 0t ,成为0()xt t 时 ,输出信号变成了 0 ( )F x t t 。 而通过输入输出解析式 ,得 0 ( )F x t t = 0()yt t ， 即 00( ) ( )x t t vy t t。 这就说明 , 输入信号产生一个时间移位 ,导致输出信号也产生了一个相同的时间移位。因此 ,这是一个时不变系统。 (2)
9、( ) ( )y t F x g t 的形式 ,其中有,F CC g RR， 且 g 不为恒等函数 ,R 为实数域。这类函数的例子包括 : ( ) (2 )y t x x ，( ) cos ( / 2)y t x t ， ( ) ( / 2)y t x t , y n x n等。这类函数的特点就是对 ()xt 的自变量 t 进行了一个变换。可以这样考虑 ,在输入信号 ()xt 和 ()zt 的激励下 ,系统的输出分别为 ( )F x g t 和 ( )F z g t ,即 ( ) ( )x t vF x g t 和 ( ) ( )z t vF z g t 。 (3) ( ) ( ), y t
10、F x t t 的形式 , 而 , F C R C , ()yt 是 ()xt 和 t 的函数。这类函数的例子有 : y n nx n , ( ) (sin ) ( )y t t x t , ( ) ( ) ( )y t p t x t 等 ,它们是乘法器、热敏元件等。这类函数的特点就是 ()yt 不但是 ()xt 值的函数 ,还是时间 t 的函数。可以这样考虑 ,在输入信号 ()xt 和()zt 的激励下 ,系统的输出分别为 ( ), F xt t 和 ( ), F z t t ,即得到 ( ) ( ), x t vF x t t和( ) ( ), z t vF z t t 。 根据系统运动
11、过程的物理或化学规律所写出的，描述系统动态和静态行为 的数学表达式，称为系统的数学描述或数学模型。然而，现实系统的数学模型往往是非线性的，为了研究的方便，在系统某个运行点附近将其看成是线性的，也就是说，在该点对系统的非线性数学模型进行线性处理，这对于解决实际工程问题是足够准确的。称线性化处理以后的数学模型为线性模型，由线性模型描述的一类系统称为线性系统 3-5。 对于线性系统，通常还可以进一步细分为线性时不变系统和线性时变系统两类。 线性时不变系统也称为线性定常系统或线性常系数系统。其特点是，描述系统动态过程的线性微分方程或差分方程中，每个系统都是不随时间变 化的函数。从实际的观点而言，线3
12、性时不变系统也是实际系统的一种理想化模型，实质上是对实际系统经过近似化性和工程化处理后导出的一类理想化系统。但是，由于线性时不变系统在研究上的简便性和基础性，并且为数很多的实际系统都可以在一定范围内足够精确地用线性时不变系统来代表，因此自然地成为线性系统理论中的主要研究对象 6。 考虑系统的状态空间描述，其中输入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量。所谓可控性就是研究系统内部状态是否可以由输入变量加以控制和影响。如果系统的每一个状态变量均可以由输入变量来影响和 控制，并且能由状态空间的任意始点回到原点，那么就称系统是状态可控的，否则就称系统是状态不完全可控的。 设系统的状态方程为
13、utBxtAx )()( ， t 10,tt （ 1） 式中， x 为 n 维状态向量。 u 为 p 维输入向量， A（ t）和 B（ t）分别为 n n 和 n p 时变矩阵，其元 为 t 10,tt 的连续或分段连续函数，一旦矩阵 A,B 给定，系统（ 1）也就给定了。 下面，从定义一个状态的能控性和能达性入手，在此基础上推广导出一个系统的能控性和能达性定义。系统的能控性和能达性是等价的。 定义 2-1 对于对于式（ 1）的线性时变系统，如果给定初始时刻 0t 的一个初始状态0()xt ，存在有限时刻 t 0t 和一个容许控制 ()ut ， t 10,tt ，能使状态 0()xt 转移到(
14、) 0xt ，则称状态 0()xt 在 0t 时刻是可控的， 0()xt 称为可控状态。 如果状态空间中所有非零状态在 0t 时刻都是可控的，则称系统（ 1）在 0t 时刻是完全可控的。 定义 2-2 对于式（ 1）的线性时变系统，给定初始时刻 0t ，如果状态空间中存在或一些非零状态，在 0t 时刻是不可控的，则称系统（ 1）在 0t 时刻是不完全可控的，相应的状态称为不可 控状态。 如果状态空间中所有非零状态在 0t 时刻均不可控，则称系统（ 1）在 0t 时刻是完全不可控的 7-9。 考虑线性定常系统的状态方程 0, ( 0 ) , 0x A x B u x x t （ 2-18） 式中
15、， 1 nRx 为状态向量， 1 pRu 为输入向量， ,n n n pRR 为常数矩阵，现在给出根据矩阵 A,B 确定系统（ 2-18）的可控性判据。 4 判据 1 线性定常系统（ 2-18）对于 0 0, )t 完全可控的充要条件是下列条件中的任何一个成立： （ 1） 矩阵 AteB 或 AteB的行在 0, )上线性独立； （ 2） 对于任何 0t 0 和 10tt ，如下定义的格兰姆矩阵非奇异： 1000( ) ( )01( , ) Tt A t A tTc tW t t e B B e d （ 3） 1 , , , nr a n k B A B A B n ； （ 4）矩阵 1()s
16、I A B 的行线性独立。 （ 2-19） 判断 2 （ PBH 秩判据） 线性定常系统（ 2-18）为完全可控的充分必要条件是，对矩阵 A 的所有特征值 i （ i=1,2， ， n），均有 , , 1 , 2 , ,ir a n k I A B n i n （ 2-20） 或等价地表示为 , ,rank sI A B n sC （ 2-21） 也即 sI A 和 B 是左互质。 判决 3 （ PBH 特征向量判决）线性定常系统（ 2-18）完全可控的充分必要条件是， A不能有与 B 的所以列正交的非零左特征向量。也即对 A 的任一特征值 i 能同时满足 TTiA ， 0TB （ 2-22）
17、 的特征向量 0 。 应当指出，判据 3 主要用于理论分析中，特别是线性系统的复频域分析中。 线性定常系统的可控性指数 对于式（ 2-18）的线性定常系统，定义 1 , , , nU B A B A B （ 2-23） 为 np 常数矩阵，其中 为正整数。若系统完全可控，则当 =n 时， U 即为可控性矩阵 nU ，且 nrankU n 。由式 (2-23)可见，其中每增加一个子快 iAB,U 的秩至少增加 1，直至使 rankU =n。 5 定义 2-6 使得式（ 2-23）的 rankU =rank 1U 成立的最小正整数 称为系统（ 2-18）的可控性指数。 现估计可控性指数 的关系式。
18、令 rankB=r p，则必成立 1n nrp （ 2-24） 考虑到 U 为 np 矩阵，欲使 rankU =n，其必要的前提是，矩阵 U 的列数必大于等于它的行数，也即应成立 pn 。由此，就导出了式（ 2-24）的左 不等式。另外，由于 rankB r ，而 21, , ,AB A B A B至少有 1 个独立列向量与 B 的 r 个独立列向量线性无关，因此有1r n 。于是，式（ 2-24）的右不等式得证。 进一步，从式（ 2-24）出发，对可控性指数作如下讨论： （ 1） 对于单输入系统，也即 p=1，系统的可控性指数 n 。 （ 2） 对于线性定常系统（ 2-18），可导出简化的可
19、控性判据为：系统完全可控的充要条件是 1 , , , nrnrr a n k U B A B A B n (2-25) （ 3） 令 n 为 A 的最小多项式的次数，且必有 nn ，则可控性指数 的估计不等式（ 2-24）可进而表示为 m in ( , 1)n n n rp (2-26) 由最小多项式的定义和 Cayley-Hamilton 定理知 111 0nn nnA a A a A a I 从而可知，若线性定常系统完全可控，则必有 1 , , , nr a n k U r a n k B A B A B n 根据可控性指数的定义知， n 。因此，式（ 2-26）成立。 （ 4） 将 U
20、表示成 1 1 11 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , p p pU b b b A b A b A b A b A b A b （ 2-27） 对上式依次从左至右顺序选择 n 个线性无关的列向量。若某个列不能表示成它的左方已选各列的线性组合，则为线性独立向量，列为入选的 n 个线性无关列向量之一。否则，6 便是相关，不予列选。考虑到 B 的秩为 r，故将上述 n 个入选的独立列向量重新排列为 121 1 11 1 1 2 2 2 , , , ; , , , ; , , , rr r rb A b A b b A b A b b A b A b （ 2-28） 对于完全可
21、控系统显然有 12 r n （ 2-29） 对于可控性指数满足 12m a x , , , r （ 2-30） 通常称 12 , , , r 为系统（ A,B）的可控性指数集，亦称为系统（ A,B）的 Kronecker不变量。 （ 5） 可以证明，系统的可控性指数 和可控性指数集 12 , , , r 在相似变换下保持不变。读者可自行证得 10-15。 三、总结部分 本文主要阐述了以下内容： （ 1）控制论在现代社会中的应用及其研究意义（ 2）线性系统的意义及性质（时不变性），判断时不变性的简单方法（ 3） 线性系统的状态方程及其能控性的判定依据（ 4） 线性定常系统的可控 性指数 系统控制
22、理论中，能控性是一个重要的概念，是卡尔曼在 1960 年首先提出的，他是最有控制和最优估计的设计基础。能控性与状态空间表达式对系统分段内部描述相对应得，是状态空间描述系统所带来的新概念。事实上，能控性通常决定了最优控制问题解得存在性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的存在性将由系统的能控性决定。本文运用归纳总结的方式介绍了线性系统的能控性概念、标准形以及他的判据。从而可以让我们对线性系统的能控性的知识体系有一个比较全面的了解。在介绍判据内容时我们归纳了一些比较实用的判断方法，特别是对于矩阵的秩比 较大时，用一般的方法计算就会复杂，而用上面的方法则会使计算简洁。事物总是发展向前的，随着人们更深入
23、的研究，笔者相信 连续时不变线性控制系统能控性的研究 素材将更广，理论和方法将更趋完善，应用效果也将更加满意。 四、参考文献 1李训经 ,雍炯敏 ,周渊 .控制理论基础 M.高等教育出版社 ,2002. 2王士宏 ,周思永 ,控制理论基础 M.北京理工大学出版社 ,2002. 7 3吕幼新 ,张明友 .信号与系统分析 M.电子工业出版社 ,2004. 4程耕国 .信号与系统（下册） M.机械工业出版社 ,2009. 5邱徳润 ,陈日新 ,曾喆昭 等 .信号、系统与控制理（下册） M.北京大学出版社 ,2004. 6 郑大钟 .线性系统理论 M.清华大学出版社 ,2002. 7 段广仁 .线性系
24、统理论 M.哈尔滨工业大学出版社 ,2004. 8 李俊民 ,李靖 ,杜彩霞 .线性控制系统理论与方法 M.西安电子科技大学出版社 ,2009. 9 孙亮 ,于建均 ,龚道雄 .线性系统理论基础 M.北京工业大学出版社 ,2006. 10 王显正 ,莫锦秋 ,王旭永 .控制理论基础 M.科学出版社 ,2007. 11 李培芳 ,孙晖 ,李 江 .信号与系统分析基础 M.清华大学出版社 ,2006. 12 涂生 .线性控制系统的分析与设计 (状态空间方法 )G.南开大学控制理论教研室 .南自控 8001(讲义 )C.天津 :南开大学出版社 ,1980. 13 武敬磊 .线性系统的能控性 J.内江科技 ,2009,8:10-15. 14 John J.Dazzo,constantine H.HoupisM:linear control system analysis and design:Fourth editionM：清华大学出版社， 2000. 15 V.U.Bakshi U.A.Bakshi， Linear Control SystemsM:2007.
