1、毕业论文文献综述 数学与应用数学 控制系统中 Lyapunov 函数构造的研究 一、 前言部分： 自从 1948 年诺伯特维纳发表了著名的控制论 关于在动物和机中控制和通讯的科学一书以来，控制论的思想和方法已经渗透到了几乎有的自然科学和社会科学领域。维纳把控控制论制论看作是一门研究机器、生命社会中控制和通讯的一般规律的科学，是研究动态系统在变的环境条件下如何保持平衡状态或稳定状态的科学。 控制论的主要特征有： 1、要有一个预定的稳定状态或平衡状态。例如在速度控制系统中，速度的给定值就是预定的稳定状态。 2、从 外部环境到系统内部有一种信息的传递。例如，在速度控制系统中，转速的变化引起的离心力的
2、变化，就是一种从外部传递到系统内部的信息。 3、这种系统具有一种专门设计用来校正行动的装置。例如速度控制系统中通过调速器旋转杆张开的角度控制蒸汽机的进汽阀门升降装置。 4、这种系统为了在不断变化的环境中维持自身的稳定，内部都具有自动调节的机制，换言之，控制系统都是一种动态系统。 在此，我主要研究控制论的第一个特征：系统的稳定性。 由俄国著名科学家 Lyapunov 在十九世纪九十年代开创的运动稳定性理论 , 在物理科学和工程技 术等各个领域都获得了广泛的应用 . 运动稳定性理论应用的核心问题之一是 Lyapunov 函数的构造 , 很多科学家和力学家在这方面都做了大量的工作 . 二、主题部分：
3、 2.1稳定理论的发展 在 廖晓昕 的 稳定性的理论方法与应用 一书中 , 对稳定性理论的产生与发展有如下介绍 1:稳定性概念的出现 , 已经有非常悠久的历史了 , 早在 17 世纪就出现过托里斯利原理 , 即物体仅受重力作用 ,当重心位置最低时其平衡是稳定的 , 反之是不稳定 . 但在动力学方面 , 对应于稳定运动的严格的解的选择原理却未建立 . 稳定性概念也早被拉普拉斯 、拉格朗日、马克斯威尔、汤姆逊和德特、庞加莱等采用过 , 但都没有精确的数学定义 . 达郎培尔、拉格朗日、马克斯威尔、魏施涅格特斯基、茹科夫斯基即斯图多等采用过一次近似方法研究稳定性 , 但未从数学上严格证明其合理性 .
4、因此 , 可以说 , 在这之前 , 稳定性的一般理论 , 迟迟没有形成 . 1892 年 , 俄国数学力学家李雅普诺夫的博士论文 “ 运动稳定性的一般问题 ” 才给出了运动稳定性严格、精确的数学定义和一般方法 , 从而奠定了稳定性理论的基础 . 但人们对李雅普诺夫理论的了解、欣赏、继承和发展 , 也有一个漫长的过程 . 1952 年 , 苏联著名数学家马尔金的专著运动稳定性及 1955 年苏联著名控制论专家列托夫的专著非线性调节系统的稳定性同时在序言中提到 2 “ 现代自动调节理论 , 不论它以何种体系出现 , 总是发轫于一个唯一牢固的基础李雅普诺夫运程稳定性学说 .” 1976年美国布朗大学
5、著名数学家 LaSalle教授在动力系统稳定性的序言 3中写到 : “ 在某种程度上可以说 , 李雅普诺夫的直接法在西方重新发现时五十年代中期的事 . 那时至少在非线性控制系统的设计中已广泛低承认了它的重要性 . 我对于李雅普诺夫理论的理解和赏识始 于 1959 年 ” 稳定性的重要意义 , 可想而知 , 小到一个具体的控制系统 , 大至一个社会系统、金融系统、生态系统 , 总是在各种偶然的过持续的干扰下运行的 . 承受这种干扰之后 , 能否保持预定的运行或工作状态 , 而不致于失控 , 摇摆不定 , 至关重要 . 近十多年来 , 人工神经网络的理论和应用的研究 , 形成了世界性的热潮 , 其
6、中稳定性扮演重要的角色 , 利用动力系统的吸引子和电子电路的实现来完成某些智能优化计算、联想记忆、学习算法 . 从而对稳定性理论感兴趣的已远远不止于数学、力学、自动控制专业的学者 . 2.2 Lyapunov 函数稳定性的基本概念 2.2.1 常 Lyapunov 函数稳定性定义 首先考虑如下的常 Lyapunov 函数初值问题 ),( xtfx , 00()xt x , (1.1) 这里 nRBIf : 是连续的 , B 为 nR 中的某个开区域 , ), I . 又设),( xtf 满足李普希茨条件 , 即存在正常数 L 使得对于任意的 11( , ), ( , )t x t x I B,
7、 函数 (, )f t x 满足不等式 1 2 1 2| ( , ) ( , ) | | |f t x f t x L x x . 设 Lyapunov 函数 (1.1)总有零解 , 即 ( ,0) 0ft . 用 00( ; , )xt x t 表示初值问题(1.1)于 0 , )t 上的唯一解 . 下面给出 Lyapunov 函数 (1.1)零解的稳定性定义 . 定义 1.1 如果对于任意的 :0 , 及对于任意的 0tI , 存在0( , ) 0t , 使得对于任意的 00:xx 及任意的 0tt , 有 ),;( 00 xttx 成立 , 则称 (1.1)的零解 0x 是稳定的 . 定
8、义 1.2 如果对于任意的 0tI , 存在 0( ) 0t , 使得对于任意的 00:xx , ),;( 00 xttx 对于所有的 0tt 有定义 , 且当 t 时 , 0),;( 00 xttx , 则称 (1.1)的零解 0x 是吸引的 . 定义 1.3 如果 (1.1)的零解 0x 是稳定的 , 并且是吸引的 , 则系统称 (1.1)的零解 0x 是渐近稳定的 . 上面的稳定性指的是 Lyapunov 所建立的未被扰动运动的稳定性 , 是针对局部小范围而言的 . 换句话说 , 是在初始扰动很小的情况下讨论系统的稳定性 (即局部稳定性 ). 而对于初始扰动为任意大的情形 , 有如下的全
9、局渐近稳定性定义 . 定义 1.4 (1.1)的零解 0x 称为是全局渐近稳定的 , 如果它是稳定的 , 并且(1.1)的所有其它解 )(tx 都具有性质 lim ( ) 0.x xt 2.2.2 时滞 Lyapunov 函数稳定性定义 类似于 Lyapunov 函数 (1.1), 下面给出时滞 Lyapunov 函数零解的稳定性定义 . 设 D R C , : nf D R 为给定的连 续泛函 , 考虑有界滞量的滞后型时滞Lyapunov 函数 ( ) ( , )tx t f x , (1.2) 其中 (0, )B 表示 C 中半径为 的球形邻域 . 设 ( ,0) 0ft 对一切 tR 成
10、立 , 即方程 (1.2)总有零解 0x , 则有如下的稳定性定义 . 定义 1.5 (1.1) 的零解 0x 称之为稳定的 , 如果对任何 R , 0 , 存在( , ) 0 , 使得对一切 t , 当 (0, )B时 , 有 ( , ) (0, )txB . 系统 (1.2) 的零解 0x 称之为渐近稳定的 , 如果它是稳定的 , 并且存在0b 0()b 0 , 使得对一切 0(0, )Bb , 当 t 时 , 有 ()xt 0 . 系统 (1.2) 的零解 0x 称之为一致稳定的 , 如果它是稳定的 , 而且数 与 无关 . 系统 (1.2) 的零解 0x 称为一致渐近稳定的 , 如果它
11、是一致稳定的 , 且存在0 0b ,使得对每一个 0 存在 0()t , 对一切 R , 只要 0(0, )Bb , 当t 0()t 时 , 就有 ( , ) (0, )txB . 系统 (1.1) 的零解 0x 称之为全局渐近稳定的 , 如果它是稳定的 , 并且对于任意的 , 当 t 时 , 有 ()xt 0 . 2.3稳定性理论研究综述 Lyapunov 是运动稳定性理论的创立者 , 1892 年 , 他的博士论文 “运动稳定性的一般问题” 给出了运动稳定性严格、精确的数学定义和一般方法 , 从而奠定了稳定性 理论的基础 . 就常系数线性系统而言 , Lyapunov函数的构造原理早被 L
12、yapunov本人所解决 . 对线性系统的研究在运动稳定性理论提出之后很快被研究和发展 , 并得出了很多基础性的结论 . 但是针对一般的非线性系统 , 如何构造其 Lyapunov 函数仍没有通用而有效的方法 . 稳定性理论的研究主要分为线性系统的稳定性与非线性系统的稳定性 . 针对具体的 n阶常系数线性系统 : ,.11 ninii xaxadtdx ),.,2,1( ni , 当它的特征方程 0)( EaD et nnij 的所有根都具有负实部时 , 即当 Re 0i ),.,2,1( ni 时 , 怎样通过系数 ija将所要求的 Lyapunov 函数用显明和简洁的形式写出来 . 这一工
13、作尽管在 2n 时 , 由马尔金 3给出 . 而对一般 n的情形 , 直到 1959年由我国的蔡燧林借助于复杂的矩阵理论 4所给出 . 后来 , 俄国数学家巴尔巴辛同样研究了 n阶常系数线性系统的Lyapunov 函数构造 , 给出了一个具体计算 Lyapunov 函数的形式公式 . 与此同时 , 李森林就分离变量情形下的非线性系统的全局渐近稳定性 , 构造了一类非常特殊的Lyapunov 函数 5. 需要指出的是李森林构造的 Lyapunov 函数不仅形式简单 , 而且具有明显的几何意义 , 得到了国内数学界的高度重视 . 针对线性系统： 史忠科 6给 出了稳定性的判据，分别概述了线性定常系
14、统和线性事变系统的稳定性判据 . 姜长生，吴庆宪等 7 讨论了李雅普诺夫意义下稳定性的基本概念，在此基础上，研究系统的内部稳定性、外部稳定性、各种稳定性之间的关系和稳定性的判据 .同时，还将讨论利用李雅普诺夫直接法进行系统综合的问题 . 王枞 8给出了李雅普诺夫关于稳定性的定义，并介绍了李雅普诺夫第一法及李雅普诺夫第二法，并针对一些线性系统和非线性系统进行了简单的应用 . 王显正，莫锦秋等 9给出了劳斯 -赫尔维茨稳定判据及奈奎斯特稳定性 -判据 .以此文献我想与李雅普诺夫稳定 性判定，来给出李雅普诺夫函数的方便性和先进性 . 孙亮，于建均 10，龚道雄在对李雅普诺夫稳定性的分析当中，给出了李
15、雅普诺夫稳定性的定义和理论，并对线性系统稳定性与非线性系统稳定性进行了分析，并给出了李雅普诺夫第二法的其他应用 . 胡刚，楚天广 11利用比较的方法，获得了线性时滞系统实用稳定性的一个简单判定定理 针对非线性系统： 沃尔等 12提出了一种构造一般非线性系统 Lyapunov 函数的能量函数法 , 沃尔等提出的上述方法给常 Lyapunov函数 Lyapunov函数构造提供了一般性的 参考方法 , 一些具体的应用可参考文献等 . 上世纪 70 年代 , 中国科学院数学研究所王联和王慕秋等老一辈数学家开始对于一些三阶非线性系统的全局渐近稳定性研究中取得了一系列突出成就 . 特别是对于三阶线性系统的
16、 Lyapunov 函数进行了极其深入的研究 , 归纳出数十种不同类型的 Lyapunov 函数 . 然后 , 采用类比法构造了一些三阶非线性系统的 Lyapunov 函数 , 并给出了相应的判别准则 . 目前仍然比较难以解决是对变系数线性系统的稳定性研究中 Lyapunov 函数的构造问题 , 至今尚未解决 . 对于一般非驻定 非线性系统的 Lyapunov 函数构造问题 , 更是困难重重 . 1983 年 , 王联和王慕秋 13采取了通过寻求三阶常系数非时滞 Lyapunov 函数各种形式的 Lyapunov 方程 , 然后采用类比的方法 , 来统一解决一些非线性三阶系统的全局稳定性问题
17、. 同时文中给出了大量的针对不同的等价系统 , 不同的负定方阵的 Lyapunov 函数 . 该文献中所给出的 Lyapunov 函数直到现在仍被广泛应用 . 并推广到了时滞 Lyapunov 函数的研究中 . 需要指出的是王联和王慕秋归纳出的这些Lyapunov 函数至今对于相关问题 的研究起着极其重要的作用 . 1999 年 , 赵杰民和 黄克累 14借助于 Lyapunov 第二方法获得了一类二阶时滞系统的若干定理 .同年 , 冯春华 15在文献中研究一类二阶非线性时滞系统解的性态 , 并给出了系统零解渐近稳定的一个充要条件 . 2001年 , 彭奇林 16讨论了一类较为一般的具有时滞的
18、二阶非线性系统的定性状态 , 并给出了该系统的零解稳定性 , 解的有界性 , 周期解的存在性和平稳振荡的存在唯一性相关方面的四个定理 . 对一些低阶系统 , 如二阶、三阶、四阶非线性系统全局渐近稳定性之 Lyapunov函数的 构造 , 自上世纪 70 年代以来 , 取得了丰硕的成果 . 特别是类比法广泛地得到应用 . 类比法的基本思想主要是 : 借助于线性系统的 Lyapunov 函数 , 类比地构造出非线性系统的 Lyapunov 函数 . 实践证明类比法在一些二阶非线性系统的全局渐近稳定性研究中起到了极为重要的作用 . 对于更为复杂的三阶和四阶非线性系统 , 尽管系统阶数较高 , 但类比
19、法同样被成功地应用于系统全局渐近稳定性的研究 . 但是 , 采用类比法构造三阶以及三阶以上非线性系统的 Lyapunov 函数显然要更加困难的多 , 相应的结果也远比二阶系统少的多 . 2001 年 , 梁建秀、陈斯养 17利用定性分析方法和代数理论中代数方程根的性质 , 研究了三阶时滞 Lyapunov 函数的无条件稳定性 . 得到了三阶线性时滞 Lyapunov 函数无条件稳定性的充要条件及三次函数无正零点和在 -1,1上无零点判定的充要条件 . 2003 年 , 刘俊和王铎 18利用 Lyapunov 函数法讨论了一类比较一般的四阶非时滞非线性系统 . 并给出了全局渐近稳定的条件 . 2
20、005 年 , 吴勇 19运用类比法，构造了一类三阶非线性时滞微分系统的 Lyapunov函数，给出了该系统零解的全 局渐近稳定性的充分条件 , 但是其条件比较复杂 . 同年 , 康慧燕和张丽娟 20运用类比法 , 构造了一类三阶非线性时滞系统的李雅普诺夫函数 , 从而推出了这类系统的零解全局渐近稳定的充分条件 . 同时也给出了一些具有一般意义的三阶非线性系统推广而成的时滞系统零解全局渐近稳定的结果 . 该结论条件比较简洁 , 此后许多研究此类问题的文献大部分都简化为与此类似的条件 . 2008 年 , 姚洪兴与孟伟业 21讨论了一类三阶时滞 Lyapunov 函数 , 该方程的二阶导数对应
21、( )gx 形式 , 其中给出的判别条件中有如下条件 : 2sgn ay z za . 这一判别条件是难以实现的 . 而本论文所得结论具有如下特点 : 若所讨论的方程退化为无时滞常系数线性系统 0x ax bx cx 时 , 对应的判别条件与 Roth-Hurwitz 条件一致 . 若退化为有时滞的常系数线性系统 ( ) 0 ( 0 )x a x b x c x t , 则由本文给出的判别条件可以得到时滞 的具体统计 . 三、总结 部分： 本文首先比较全面的综述了线性系统中判断稳定性的李雅普诺夫函数构造，并对实际问题中的一些线性系统进行了一些简单应用，在此基础上运用类比法在控制系统中 Lyap
22、unov 函数构造零解全局渐近稳定性研究中应用 . 然后，提出了一类三阶非线性时 Lyapunov 函数 , 并分析其零解的全局渐近稳定性，利用对称矩阵的定号性给出了该微分方程的稳定性判别条件，利用这些条件对非线性系统进行简单的应用 . 这些判别条件具有如下特点 : 若所讨论的方程退化为无时滞常系数线性系统 0x ax bx cx 时 , 对应的判别条件与 Roth-Hurwitz 条件一致 . 若退化为有时滞的常系数线性系统 ( ) 0 ( 0 )x a x b x c x t , 则由本文给出的判别条件可以得到时滞 的具体统计 . 四、主要参考文献： 1廖晓昕 .稳定性的理论方法与应用 M
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