1、 毕业论文文献综述 数学与应用数学 实数完备理论简史 一、前言部分 （说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点） 许文超在漫谈数系的发展一文中指出：无理数的发现向人们揭示了有理数系的缺陷 , 即有理数虽然处处稠密 , 但有理数与有理数之间还存在有“孔隙” , 后来人们又知这种“孔隙”简直是多得不可胜数。正因为如此 , 有理数系对极限运算不是封闭的。为了克服有理数系的这种缺陷 ,迅速发展极其有用的变量数学 ,在有理数的基础上 ,承认上述所说有理数与有理数之间的那种“孔隙 ”被一种叫做“无理数”的数占据着。因为有理数由无限循环小数组成 (按照某一规则有限小数均可写成无限循环
2、小数 ), 所以无理数由无限不循环小数组成。有理数与无理数一起构成了实数系。虽然如我们所看到的 :有理数集合 Q对四则运算 (除数不为零 )封闭 ,又在 R 中处处稠密 ,有着无理数集 RQ所不可比拟的地位 , 但也如前面我们已经指出的 ,Q也有着很大的缺陷 ,在 Q上无法研究数学分析。实数系的建立成功地克服了有理数系的缺陷。实数系的性 质非常优良 ,一方面 ,实数系是连续的 ,也就是说在实数与实数之间不再有“孔隙”存在 , 换言之 , 实数可以与数轴上的点成一一对应的关系。这样一来 , 我们可以通过建立坐标系 , 用代数的方法去研究几何问题；另一方面 ,有了实数的连续性之后 , 实数系关于极
3、限运算是封闭的 ,微积分从此有了坚实可靠的理论基础。 实数系基本定理是数学分析中重要组成部分 ， 是分析引论中极限理论的基础 ， 也称为实数系的连续性定理或实数的完备性定理。实数域的完备性是人类结果漫长的历史发展过程逐步总结认识的，它是所有函数分析理论的本质基础，由此而建立了极限 论、微积分等许多重要的数学成果。我们将从数系发展开始深入研究实数完备性的七个命题的逻辑关系。 定义 设 0,1,.,9ka ， k 是正整数，并且不管 N 多大，都存在 kN 使得 9ka 。设 p 是整数。称记号 1 2 30. .p a a a 为实数，称 p 为它的整数部分。全体实数所成的集合记作足 R 。 描
4、述实数连续性基本定理 : 定理 1( 确界定理 ) 任何非空数集 ER , 若它有上 ( 下 ) 界 , 则必有上( 下 ) 确界。 定理 2( 单调有界原理 ) 单调有界数列必有极限。 定理 3( 柯西收敛原理 ) nx 收敛 0, 0N, 当 ,mn N 时 , 有mnxx。 定理 4( 魏尔斯特拉斯定理 ) 任一有界数列必有收敛子列。 定理 5( 聚点定理 ) 任何有界的无限点集至少有一个聚点。 定理 6( 闭区间套定理 ) 若闭区间套 ,nnab 满足下列性质 1 1 2 2, , . . . , . . .nna b a b a b limnnn b -a（ ） =0则存在惟一 (
5、1, 2 , . .)kka b k 且 lim limnnnnab 。 定理 7( 有限覆盖定理 ) 若开区间集 E 覆盖一个闭区间 ,ab ,则必可从 E 中选出有限个开区间覆盖 ,ab 1。 这七个定理是 数学分析的最基本的定理 , 由这些定理可以得出数学分析中许多重要的结论 , 因此这七个定理是数学分析的理论基础。然而我们可以证明在实数系中 , 这七个命题是相互等价的。 连续性是实数集的许多重要特性之一。从有理数集扩充到实数集的方法很多 , 故对实数连续性的叙述也多种多样 ,但彼此等价 ,因此可用等价命题互相代替。本文结合实数完备性的背景、实数完备性七个等价命题的证明方法及其应用 ,对
6、实数完备性的证明进行梳理、归纳，并举例进行说明。 二、主题部分 （阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述） （一）历 史背景 17世纪，微积分被牛顿和莱布尼茨各自独立发明，推动了科学技术的前进。然而，它在开创之初自身就存在着逻辑矛盾。直至 19世纪，才由法国著名数学家柯西在分析基础严密化的工作上迈出了第一大步。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。 1823年，柯西给出了“柯西收敛定理”。而早在 1817年，波尔察诺就确切地陈述了有界实数集的最小上界 (即上确界 )的定义。利用他的思想，魏尔斯特拉斯在 19世纪 60年代证明了“致密性定理”。海涅于 1872年提出，波莱
7、尔于 1895年完善并证明了“有限覆盖定理”。 1872年，戴德金、康托 (Cantor)、梅雷 (Meray)和海涅几乎同时发表了他们的实数构造法。在这以前，魏尔斯特拉斯在柏林大学的演讲中已经给出了一种构造法。戴德金和康托的构造法是现在通常采用的方法。 1892年，巴赫曼提出了建立实数理论的一个重要原理 区间套定理。可以说，实数系的构造是 19世纪后 30年间分析学算术化的重要一步 2。 （二）现状和发展方向 实数完备性作为数学分析中的一个重要组成部分，目前已经有了丰富的研究成果，其中包括对实数完备性各个等价命题的证明及互推的研究。成果主要有：盖盈用完全覆盖法证明区间套定理、确界 定理等其他
8、实数完备性基本定理 ,并探究它的优越性究竟体现在何处，对此进行了一次尝试性剖析 3；邹斌以戴德金分划说为基础来研究实数的连续性 ,对于实数连续性的九个等价性命题 : 确界定理、戴德金定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则以及 Botsko定理 ,采用循环论证 ,从命题 1出发 ,依次证明下一命题 ,最后由命题 9证明命题 1,从而组成一个环路 ,证明了它们的等价性 4；杨芳将实数连续性定理进行一对一的互推 ,给出了用定理 1( 确界定理 )分别推出后六个定理 , 从而证得 6（单调有界 原理、柯西收敛原理、威尔斯特拉斯定理、聚点定理、闭区间套定理、有限
9、覆盖定理）个命题 1；刘永建、唐国吉给出了实数完备性定理七个命题等价性的一个较简洁的循环证明 ,也提出了教学中的一些注记 ,论述了实数完备性定理在数学分析中的重要地位 , 对数学分析中实数完备性定理的教学有一定的参考价值 5；孙忠民把古朴的阿基米德性质与重要的戴德金连续性定理引入实数完备性基本定理的等价性循环论证中来 , 通过致密性定理证明阿基米德性质 , 而后由阿基米德性质推证戴德金连续性定理 , 再根据已有的戴德金连续性定理对确界原理的证明 , 给 常见的实数完备性定理等价循环圈中补充两个新的成员 , 使人们对实教完冬性定理的认识更详尽明瞭 6；刘利刚综合地给出了实数系六个基本定理的等价性
10、的完全互证方法 , 并归纳了各种证明方法的规律 , 并把抽象的证明转化为容易掌握的基本方法 7；庄陵、唐贤伦、王东、张金荣在柯西收敛准则的基础上 , 链式论证了实数系的其他 6个基本定理 , 并最终形成一个完美的论证 /环 O, 体现了数学论证之美，并指出了有理数集不具有完备性 8；关金玉、徐永春、祁建芳利用闭区间上的完全覆盖定理来证明实数系中的柯西收敛准则和聚点定理。由于有限 覆盖定理的传统的证明都过于繁琐，于是通过对完全覆盖的分析，给出了有限覆盖定理巧妙而简洁的证明 9；张静以十进制小数表示作为出发点，给出实数定义，并以此为基础证明了单调收敛定理。总结了描述实数系连续性和完备性的若干等价定
11、理，即：单调收敛定理，上 (下 )确界定理，边界点定理，戴德金分割定理，辛钦定理，区间套定理，聚点原理，有限覆盖定理，致密性定理，柯西收敛准则 10。 （三）研究内容 实数完备性定理的循环推证 : 定理 1（确界定理 )：有上 (下 )界的非空数集必有属于 R 的最小上界 (最大下界 )。即有有限的上 (下 )确界。 定理 2(单调有界定理 )：单调增 (减 )有上 (下 )界的数列必收敛。 定理 3(闭区间套定理 )：设递降闭区间序列 1 1 2 2, , . . . , . . .nna b a b a b 其长度 ()nnb a n ，则存在唯一的 n1 ,nnab。 定理 4(有限覆盖
12、定理 )： ,ab 的任何开覆盖必有有限子覆盖。 定理 5(聚点定理 )：有界无限数集 A 必有聚点 R 。 定理 6(致密性定理 )：有界数列必有收敛子列。 定理 7( 数 列 的 Cauchy 收 敛 准 则 ) ： 数 列 na 收 敛 的 充 要 条 件 是0 , , ,N N m n N ，总有 mnaa。 确界定理，单调有界定理，闭区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理，致密性定理，数列的 Cauchy收敛准则（仅指充分性 )等七个命题都是从不同的角 度来刻划实数完备性。 定理 l 定理 2：设数列 na 单调增有上界，由定理 l知，它有有限的上确界 sup nnN a 下面利用上确界
13、及数列收敛的定义证明 lim =nn a 。 定理 2 定理 3：由已知得到两个单调有界数列 1 2 1. .nb b b a ， 1a 21. na a b，由定理 2知，数列 na 与 nb 都收敛，且收敛与同一个数 ，下面证明 就是所要求的公共点。 定理 3 定理 4： (反证 )设区间 ,ab 不能被中有限个开集所覆盖 (以下想办法找出矛盾 )，第一步，从 ,ab 开始用二分法构造一个闭区问套 ,nnab，由定理 3知 ,nnab确定唯一公共点 ，第二步由于 , ab ，因此 U ，使U ，再结合 lim = limnnnnab 知，取充分大的 n ，有 ,nna b U ，一方面 ,
14、nnab 没有有限覆盖，另一方面只需一个就覆盖了 U 就覆盖了 ,nnab ，矛盾。 定理 4 定理 5： (反证 )设 A 为有界集，即 ,A ab ，设 A 无聚点，则 ,x ab ， x 不为 A 的聚点，故必有开区间 (当然是开集 )xI 使 xxI 且 xI 中最多只含有 A 的一个点 x ，这样开区间族 |,xI x a b 覆盖了 ,ab ，由定理 4知， ,.mxIx I ，使 1, kn xKa b I，当然1 kn xK I也覆盖 A ，再由 kxI 的构造知1 kn xK I至多只含有 A 的有限个点，因此 A 为有限集，这与 A 是无限集矛盾。 定理 5 定理 6：设数
15、列 na 有界，即 na a b， nN 。若 |na n N 为有限集，则数列 na 必有无限项相同，这些相同项依下标从小到大排列得到 na的一个收敛子列；若 |nA a n N为无限集由定理 5，这个无限集 A 必有一个聚点 ，通过聚点的定义可构造 na 的一个子列 kna，它收敛于 。 定理 6 定理 7：设 na 为 Cauchy列，第一步，先证 na 有界，这样由定理 6知 na 有一个收敛子列 kna，设 limknk a ，第二步，用数列收敛的定义证明lim nn a 。 定理 7 定理 1：设非空数集 A 有上界 M 。若 MA ，则显然 supMA ；若 MA ，则在 A 中
16、任取一个数 M ，这时 ,mM 有 A 中之数，以下用二分法可得到闭区间列 ,nnab满足： (1) nb n N 都为 A 的上界，（ 2) ,nna b n N都有 A 中之数，由 (3) 2nn nMmb a n N ， (4)1 11 ,2nn n nnMma a b b 12nMmnN。可证 ,nnab均为 Cauchy列，由定理 7的充分性知 ,nnab均收敛，由 (3)知它们收敛于同一个数，设为 ，再利用上确界定义证明即为的上确界 5。 实数集是连续的 , 这是实数集有别于有理数的重要特征。实数的连续性是极限理论的基础，而描述实数性的方式很多 , 实数连续性定理为其中的几种表达形
17、式 , 同时又是构筑极限理论的重要基础。关于实数连续性几个定理的证明实数完备性的七个命题的证明有各个命题的循环证明，完全覆盖法证明其他命题，用戴德金分划定理证明实数完备性的几个定理等 ，分别加以证明。 三、总结部分 （将全文主题进行扼要总结，提出自己的见解并对进一步的发展方向做出预测） 实数完备性定理的七个定理是从不同角度来刻划实数的连续性 , 其中有些视角在研究某些抽象空间的性质时是很有启迪意义的 , 如有限覆盖定理实际上表明了在实数空间中 ,有界闭区间是紧致的；聚点定理实际上表明了在实数空间中 , 有界无限数集是一个列集；柯西收敛准则 (充分性 ) 实际上表明了实数空间(按通常的距离 )是
18、一个完备距离空间。紧致性，列紧性 , 完备性都是刻画抽象空间的基本概念。确切地说 , 完备性定理应是指柯西收敛准则 (充分性 ),只是因为在实数域内其余六个命题都与柯西收敛准则 (充分性 ) 等价 , 我们才把上述七个命题统称为实数完备性定理。 实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学坚实的理论基础。人们可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性， 所以实数完备性有多个基本定理。 实数的完备性在数学学科本身中有着广泛的应用 ,特别是在求极限中起着至关重要的作用 ,因此研究实数完备性是数学分析的重要环节，对未来数学研究的发展具有深远的意义。本文介绍了研究实数完备性的历史背景、现状，归纳
19、梳理实数完备性的定义、性质、各命题的证明方法 ，结合例子说明实数完备性的应用。随着科学技术的发展，实数完备性作为数学分析中的一项重要内容，会在更多的领域拥有广泛的应用，对其的研究也将更加的深入、透彻。 四、参考文献 （根据文中参阅和引用的先后次序按序编排） 1 杨芳 .实数连续性定理的互推 J.内蒙古科技与经济 ,2009,(3):256-258. 2 Edwards C H Jr.The historical development ofthe calculusM.New Y0rk:Springer,2007. 3 盖盈 .关于实数完备性 基本定理的统一处理方法 J.天津师大学报 ,1999
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