1、毕业论文文献综述 数学与应用数学 投资组合有效边界的实证应用分析 一、前言部分 随着我国社会主义市场经济的确立与发展，各种各样的投资手段正以前所未有的速度出现，投资组合作为筹集社会闲散资金、调节社会资本分配的一种有效方式和直接融资的一种手段，必将在社会经济生活中占据日益重要的地位 1。在进行投资时，投资者最关心的就是收益和风险。投资者在市场经济的客观经济环境中面临着许多不能预测、经常变动的因素。 这些因素的变动，往往使投资者的原有决策受到冲击，从而导致一些意外损益的发生。这就要求投资者在投资过程中 预先估计这些可能发生的变动，从而减少风险 2。 风险是存在于社会经济生活中的普遍现象。在金融投资
2、领域，对于风险的探讨一直是一个热点和难点问题。现在风险的概念在经济学，尤其是金融经济学中是一个非常有影响力的词语。一般认为风险是某一事件出现的实际情况与预期状况有背离，从而产生一种损失，这种损失表现为实际值的减少或机会的损失，而且这种差异的出现是不确定的 ,以一定的概率随机发生，不能事先准确预计 3。 在复杂而又充满风险的投资活动中，投资者总是十分谨慎地决策，以回避风险，追求满意的收益。风险可以分为两大类，即可 分散风险和不可分散风险。前者与整个市场并无系统的联系，是仅存在于个别企业和个别行业的风险。后者则是由同时影响所有公司的因素引起的，如利率风险，市场风险，购买力风险。 在长期的投资实践活
3、动中 ,人们发现 ,投资者手中持有多种不同风险的资产 ,可以减轻所遇风险带来的损失。对于投资若干种不同风险与收益的资产形成的资产组则称为投资组合。所以 精明的投资者不会将投资选择局限在一种资产上，他会在各种资产之间分散其投资资金，以避免不良决策带来的灾难性损失。将投资资金分配在各种适宜资产的分散化策略，是西方投资者的一项基本原则。成功地 分散化可以降低组合投资报酬的不稳定性，减少高于或低于预期报酬的可能性 4-5。 为此我们从均值 -方差理论出发，通过对有效边界数学模型的研究，讨论了包含多项资产的投资组合在不同资产比例分配下的收益和方差，从而根据分析达到使收益尽量高而风险尽量低的目的。 在本文
4、献中还涉及了其他的概念、定义及符号，现说明如下： 投资组合的期望收益： 其所包含的各种资产的预期收益的加权平均值，权重是各种资产在总投资中所占的比例，权重总和为 1，是一个描述中心趋向性的指标。 投资组合的风险： 通常是指对未来收益率的不确定性，是指预测收益 率与实际收益率之间的偏差。该风险不仅取决于资产组合中各资产的风险大小，而且取决于这些资产收益率之间的相关程度，是一个描述风险或围绕中心偏差的指标 111222。 相关系数是反映两个随机变量之间共同变动程度的相关关系数量的表示。对投资组合来说，相关系数可以反映一组资产中每两组资产之间的期望收益作同方向运动或反方向运动的程度 5。 可行集：如
5、果以预期风险 为横坐标，预期收益 R 为纵坐标，则任一可行的组合资产唯一地确定了 R 平面上的一点，而所有可行的组合资产则确定了 R 平面上的一个区域为可行集。 有效投资组合：理性的投资者总是希望在已知风险条件下，获得最大期望收益，或者在已知期望收益下，使投资风险达到极小，具有上述性质的组合证券投资则称为有效投资组合。 有效边界：所有有效投资组合 在 R 平面上确定了一段弧线，该弧线实际上是可行集D 的边界的部分，常称为有效边界 111。 超额收益：股票期望收益与诸如国库券利率的无风险利率之差。 截止率：选择多少只股票取决于特定的截止率，在单指数模型中，所有超额收益对贝塔或风险的利率高于截止率
6、的股票都被纳入最优投资组合，所有超额收益对贝塔或风险的利率低于截止率的股票都被排除在最优投资组合 22。 ）（ Pp RER ：组合投资的期望收益； ii RER ：资产 i的期望收益； 2P ：投资组合的方差； 2i ：资产 i的方差； ij :资产 i与资产 j之间的协方差； niXi ,.,1， ：投资于资产 i的比重，且满足 11 ni iX； jX :投资于资产 j的比重； 12 ：资产 1与资产 2之间的协方差； 12 为资产 1与资产 2之间的相关系数； FR ：无风险资产的收益； 解 i ：市场收益变动 1%时股票 i收益的期望变动率22。 二、 主题部分 1952 年， Ma
7、rkowitz 首先提出了投资者在不确定条件下配置金融资产的理论，即投资组合的均值 -方差模型。他提出的投资组合选择理论奠定了现代组合投资理论的基础，带 动了金融市场理论的创新，并被誉为金融领域的一场革命 6-8。在此基础上， 1964 年， Sharpe 建立了资本资产定价模型（ CAPM）。该模型给出了资产的收益、风险以及两者之间的精确描述。投资组合理论的模型均是在其间接前提假设和直接均衡条件下推导出来的。 Markowitz 的均值 -方差模型是根据投资者力求收益最大和风险最小这两个相互制约的目标达到平衡的条件而建立的，从而得出有效组合，或者说，在有相同风险水平的可行投资组合中，期望收益
8、最大的组合集构成投资组合的有效边界，即有相同收益水平的可行投资组合中，风险最小的 组合集的上半部分构成投资组合的有效边界 9。 投资组合理论是探讨在风险条件下如何进行分散投资，使投资总体结构达到最优，从而获得可能的最高收益的理论。投资组合理论，尤其是现代投资组合理论的出现，无疑为投资者进行投资决策提供了有力的工具，使投资方案的优劣有了明确的度量方法。投资组合理论中的绝大部分都隐含着信息完全对称的假设，而我国市场目前仍然处于发展初期，信息的完整性、均匀分布性、完全实用性较差，这必然为投资组合理论的应用带来了障碍，但是我们应该看到投资组合理论对投资的指导意义是不容置疑的 2。 投资组合理论研究的是
9、投资者在权衡收益与风险的基础上最大化自身效用的方法以及由此对资本市场产生的影响。这一理论自产生之日起就一直处于当代金融与投资理论的前沿。它的魅力不仅源于其理论上的严谨，也同样出自其实用价值。在金融机构的资产管理中，在证券公司的投资策略中，在个人财富持有方式的选择过程中，以及每一个需要对收益和风险进行权衡的场合，现代投资组合理论都具有广阔的应用前景。但是，这一理论在中国市场的研究目前还基本上处于起步阶段。出现这一现象的一个重要原因是很多人认为中国目前的市场还不规范，存在着过度炒作和投机的问 题，因此运用现代投资组合理论来降低投资风险的潜力比较有限。但是，发达国家的资本市场同样存在着有效性的问题，
10、我们没有必要也不可能等到中国的市场规范后在研究现代投资组合理论的适用性问题。何况根据证券市场的效率理论，应用现代投资组合理论也是提高中国证券市场的定价效率的一个重要前提。 目前，我国市场的一个特点是价格波动幅度大，系统风险较大，当投资者进行投资时应该针对各资产之间的相关性对其进行分组 , 使每组内资产的相关性尽量大，而使每组资产之间的相关性尽量小。以股票为例，在进行组合投资时，投资者可以从不同组中 各选取一支或若干支股票组成投资组合，由此可以更有效地规避系统风险 10。 在文献 1中，我们 为了抽象说明马科维茨投资组合理论的本质，对于其收益和风险关系作出如下假设：第一，假设投资市场是有效的，投
11、资者能得知证券收益和风险变动及其原因；第二，假设投资者都是风险厌恶者，都愿意得到较高的收益率，如果要他们承受较大风险则必须以得到较高的预期收益作为补偿；第三，假设投资者根据资产的预期收益和风险选择资产组合，则此种组合具有较高预期收益率或较低的风险；第四，假定多种资产之间的的收益都是相关的，如果得知每种资 产之间的相关系数，就有可能降低最低风险的资产组合。 文献 11和文献 12在文献 1的前提下通过引入 投资组合的期望收益和风险， 对均值 -方差模型期望收益和风险进行了讨论，在 Markowitz理论中具体阐述了其基本思想是在于把投资组合的收益率看作随机变量，引入了描述收益的两个常用指标分别是
12、期望收益和标准差或方差， 于是该收益率的期望值就是该资产的期望收益，其标准差则可看作资产投资风险的一种度量。为了减少投资风险并取得适当的投资收益，投资者往往采用组合证券的投资方式，即把一笔资金同时投资于许多不同的资产。而投 资者对其投资行为最关心的问题有两个：一个是预期收益的高低，二是预期风险的大小。 由于资产收益率之间的相关程度是影响投资组合风险的因素之一，因此文献 5在文献11的基础上进一步研究了相关系数对其的影响。相关系数的绝对值小于等于 1，即11 。我们将相关系数分三个部分即正相关、负相关和不相关进行分析得出在多种资产中要选几种资产进行组合投资时，应选相关程度较低的资产组这一结论，使
13、投资者能更好地进行投资选择。 根据上述文献 的讨论，文献 13首先在对文献 14的充分理解后后介绍了收益、方差和相关系数的公式。即 ini ip RXR 1， 211221222221211221222221212 22 XXXXXXXXp ，211212 。其次在收益达到一定水平以及其他的约束条件下使投资组合的风险最小，建立了相应的模型，表示如下： 1.m in111 12niiniiiPniijnjjiXREXREtsXX 另外在文献 1的基础上通过两方面进一步对马科维茨资产投资过程进行了完善。一方面，通过引入可行集、有效组合、有效边界等概念，并在对理性的投资者总是希望在已知风险条件下获得
14、最大期望收益，或者在已知期望收益条件下，使投资风险达到极小的充分而透彻的理解下，对图形中各个点进行了有效地剖析，从而从有效资产的集合中来选择自己最理想的资产组合，这一过程就是有效组合的决定。另一方面，以无差异曲线的各种形态为导向，在图形中分析了最优投资组合的选择。 证券组合投资有效集及有效边界是确定合理投资结构的关键，因此在 文献 15中研究了证券组合投资风险函数及有效边界的凹性，提出了将求最小风险的为此规划问题转化为线性规划问题，并根据其最优基及其灵敏度分析，分段确定有效边界（有效集）的方法。这种方法使各段有效边界可直接由相应的数学表达式求得，从而达到计算量大大减少的目的。 文献 16和文献
15、 17在文献 14的基础上，通过对四种特殊情况的相关系数讨论，即完全正相关（ 1 ），完全负相关（ 0.1 ），资产收益不相关（ 0 ）和中间风险（ 5.0 ），分别给出了收益和方差的公式，并画出在不同相关系数下的期望收益和标准差的关系，求出最小方差组合，最后我们还得到了在收益期望 -标准差空间中，两个投资组合的风险不可能超过连接两种资产的直线所代表的风险等结论，从而更好地了解两只证券的组合或投资组合，为有效边界图形的确定打下基础 。 文献 18中分别应用图解法和规划法给出了存在无风险资产时投资者的有效边界，特别是存在无风险资产情况下用规划法确定有效边界的推导过程，给出了由图解法和规划法得出的
16、相关结论，从而弥补了许多文献对规划法确定有效边界的不足，可以指导投资者按照结果进行实际的投资操作，强化了投资组合理论的实际可行性。 文献 19、 20根据组合证券投资决策模型，研究了不允许卖空的组合证券投资的有效边界及其性质，并给出了不允许卖空情况下组合证券投资决策方法。 文献 21提出了求解高维组合证券投资模型的一种新算法，该方法将带约 束的二次规划问题转化为无约束的线性最小二乘问题，能快速求出其最优解，并取得了较好的数值结果。 文献 22通过对文献 16、 17的理解后，具体阐述了几下几个方面的内容：首先结合文献 23、 24中我们详细讨论并分析了在不允许卖空、允许卖空和无风险借贷下这三种
17、条件下的有效边界，根据在上述文献中得出的结论和找到具有如下特征的投资组合集合，即在相同风险下能提供更高收益或在相同收益下能提供更小风险，观察图形后逐步找到相应的相应的有效边界。通过分析我们发现在不允许卖空条件下有效边界在期望收益 -标准差 空间中是凹函数，它从最小方差组合开始延伸至最大收益组合。在允许卖空条件下与不允许卖空交易不同的是上界无限。 其次，在对有效边界图形进行了一定的讨论后，在文献 25、 26的基础上给出了几种条件下的有效边界的计算方法，包括 :第一，利用导数法则和链式法则推导出在允许卖空且存在无风险借贷条件下求解投资于每个资产的比重，从而求解出投资组合的收益期望和收益方差，继而
18、用 matlab等软件画出有效边界的方法。此外，也可采用拉格朗日乘数法来求解这一问题。若以方程的形式来表示，则最大目标函数为pFp RR ，约束条件为 11 ni iX。第二，通过假设存在一个无风险利率找到相应最优化投资组合，然后假设存在另一个无风险利率，又找到一个与之相对应的最优化投资组合，持续改变无风险利率，直到确定允许卖空但不存在无风险借贷下的有效边界。第三，在存在无风险借贷但不允许卖空交易的情况下，我们可把问题归为二次规划问题，可以表示为最大限度pFp RR 且约束为（ 1） 11 ni iX（ 2） 0iX ，全部 i。第四，在既不允许卖空也不允许无风险借贷情况下，通过在某一收益水平
19、和一定限制条件下找到对应的最小方差，从而得到有效边界上的一个点。相当于求解以下这个二次规划问题，表示为最大限度最大限度 ninijjijjini iiXXX1 1122 ， 约束条件为 （ 1） 11 ni iX，（ 2） pni ii RRX 1，（ 3） niX i ,.,10 ， 。第五，考虑了投资于任何一个行业的资金比例限定一个上界或者可以纳入关于投资组着换手率的约束条件等额外约束。此外可以在计算收益率是考虑交易成本，从而使本文更具实际意义。 最后在分析了文献 27后又介绍了确定有效边界的简单技术，包括以下两个方面。一方面，在单指数模型中首先引入了股票排序的指标“超额收益对贝塔的比率”
20、，即 i/RR Fi 和截止率等概念，其次具体介绍了最优组合的形成，给出了是否纳入最优投资组合的规则。最后分别在允许卖空和不允许卖空的条件下详细阐述如何设定和计算截止率及如何构建最优投资组合。另一方面，与单指数模型相比较，不同的是不变相关模型下假设所有资产间的相关性是相同的，并且引入标准差代替贝塔作为风险的衡量指标，即 i/RR Fi 。 文献 28从均值 -理论的角度出发，通过投资组合有效边界的数学模型，讨论仅含 3项资产的投资组合在不同资产比例分配下的期望收益和方差，得出不同情形下等收益率线和等方差线的切点连线（临界线）的不同图形表示，从而确定投资组合有效边界在 E-V平面图上为一系列相连
21、的抛物线段，从等方差线上所有投资组合的总风险小于单个投资的风险而得出风险分散的结论。 文献 29中包括两个方面的内容：一方面，在经典的组合投资均值 -方差模型的基础上，考虑融资因素对组合投资优化的影响，引入资本结构摩擦因子，研究七 对组合投资有效边界的影响。另一方面，给出了含资本结构摩擦因子作用的组合投资有效边界解析式，以及该有效边界根据资本结构因子取值而移动、变化的性质。 投资组合理论表明在成熟的资本市场上风险与收益之间应该有一种正相关的关系，资产的多样化可以分散甚至完全消除非系统风险。因此，投资者在投资时应尽可能地分散投资。虽然，分散投资的效果在中国目前的投资市场上还不是很明显，但是，随着
22、我国市场日趋成熟、资产数量的增加、投资机会的不断涌现，投资组合理论将显示出其广阔的应用前景，越来越多的投资者会运用这个规则进行投资。随着我国市场 的不断规范，将从客观上为投资组合理论应用带来良好的外部环境；同时，针对我国市场的特点，可以通过对现有的投资组合模型进行修正，使其更加符合我国市场的条件。因此，我们应该本着在应用中研究在研究中发展的思想，探索出适合我国市场的投资组合模型，使投资组合理论在我国具有更大的应用价值 2。 四、总结部分 本文在马科维茨对投资组合收益和风险的四种假设下，一方面，从均值 -方差理论的角度出发，讨论了包含多项资产的投资组合在不同比例分配下的期望收益和方差，并分析了其
23、相关系数对投资组合风险的影响以得到应选择相关系数较低的资产 组这一结论。另一方面，通过对可行集、有效边界的理解，以在收益达到一定水平以及其他的约束下使投资组合的风险达到最小这一依据为导向，学会如何分析无差异曲线以得到最优投资组合，并在几种不同的条件下建立了相应的模型，我们可采用不同的方法及相应的软件求出投资组合的有效边界和最小方差组合的 期望收益及风险 ，从而 给投资者提供一定的参考依据。此外，本文 并给出了有效投资组合等的相关概念以便更好的理解。 本文的投资组合问题最终会转变为一个组合优化问题，并且考虑若干现实问题，如交易费用，最小交易单位，基数的约束等，采用传统 的优化方法求解仍存在很大的
24、困难。此外，本文所提出的投资组合模型都是静态的投资组合模型，而实际的投资过程却是动态的。并且目前的多阶段投资组合问题的研究仍有很多不合理的假设而与现实偏离。因此，设计良好的启发式算法求解大规模投资组合问题和多阶段的投资组合问题是今后的一个重要的研究方向，从而使投资策略更加符合现实。 四、 参考文献 1 葛静 .数学规划在证券投资选择中的应用 J.合肥工业大学学报 (社会科学版 ),1998,12,(3):43-45. 2 胡 天 彤 , 徐 永 龙 .证 券 投 资 中 投 资 组 合 的 应 用 研 究 J.天 津 师 范 大 学 学 报 (自 然 科 学版 ),2002,12,22(4):
25、11-15. 3 王辉 ,陈立文 ,杨艳芳 .投资组合风险的分散化研究 J.数理统计与管理， 2004,11,23（ 1）： 53-54. 4 孙一啸 ,张立 .投资组合模型及其算法研究 J.工业技术经济 ,1994,(1):45-46. 5 周晓玲 .证券投资组合的原理及其应用 J.数理统计与管理 ,1999,1,18(2):27-30. 6 Markowitz H.Portfolio SelectionJ.Journal of Finance,1952,(4):77-91. 7 王一鸣 .数理金融经济学 M.北京 :北京大学出版社 ,2000,6:6-48. 8 蒋殿春 .现代金融理论 M
26、.上海：上海人民出版社 ,2001,11:5-28. 9 Cheng-Few Lee,Alice C.Lee,John Lee.Handbook of Quantitative Finance and Risk Management M.USA:Springer,2009,12:259-266. 10 姚海祥 .均值 -方差模型下证券投资 选择的进一步研究 D.华南 :华南师范大学 ,2005. 11 贺炎炎 .现代投资组合理论及实证研究 D.湖南 :湖南大学 ,2004. 12 刘琨，刘明辉 .浅谈关于组合证券投资的风险与收益 J.锦州师范学院学报 ,2000,3,21(1):63. 13
27、Hiroshi Konno,Hiroaki Yamazaki.Mean-Absolute Deviation Portfolio Optimization Model and Its Applications to Tokyo Stock MarketJ.Management Science,1991,5,37(5):519-531. 14 钱艳英 .组合证券投资的进一步探讨 -限制卖空时最优投资权重的一种新解法 J.中山大学学报论丛 ,2001,2,21(1):289. 15 杨利红 ,徐凡 .均值 -方差模型在个人理财中的应用及优化 J.财会月刊 ,2009,10:54-55. 16 茆诗
28、松 ,程依明 ,濮晓龙 .概率论与数理统计教程 M.北京 :高等教育出版社 ,2004,7:75-84. 17 陈收 ,赵禹骅 .证 券组 合 投 资 有 效 集 及 有 效 边界 的 确 定 的方法的研究 J.管理工程学报 ,1997,6,11(2):82-88. 18 Cass,David,Stiglitz,Joseph.The Structure of Investor Preferences and Asset Returns,and Separability in Portfolio Allocation:A Contribution to the Pure Theory of Mu
29、tual FundsJ.Journal of Economic Theory,1970,6,2(2):122-160. 19 Dalal,Ardeshir J.On the Use of a Covariance Function in a Portfolio ModelJ.Journal of Financial and Quantitative Analysis,1983,6,XVIII(2):223-228. 20 高文涛 , 叶健华 . 含 无 风 险 资 产 时 投 资 组 合 的 有 效 边 界 J. 黑龙江工程学院学报 ,2002,3,16(1):61-63. 21 杨桂元 ,唐
30、小我 .不允许卖空的组合证券投资决策 方法研究 J.运筹与管理 ,1998,12,7(4):19-25. 22 唐小我 , 潘景铭 . 不 允 许 卖 空 条 件 下 组 合 证 券 投 资 有 效 边 界 的 确 定 方 法 J. 预测 ,1995,5,14(5):53-56. 23 杨柳，刘树人 .允许卖空条件下组合证券投资模型的一个新算法 J.湘潭大学自然科学学报 ,2004,3,26(1):9-12. 24 埃德温 J.埃尔顿 ,马丁 J.格鲁伯，斯蒂芬 J.布朗，威廉 J.戈茨曼 .现代投资组合理论与投资组合 (原书第 7 版 )M.北京：机械工业出版社 ,2008,1:28-137
31、. 25 Buser,Stephen.A Simplified Expression for the Efficient Frontier in Mean-Variance Portfolio AnalysisJ.Management Science,1977,4,23:901-903. 26 Merton,Robert.An Analytic Derivation of the Efficient Portfolio FrontierJ.Journal of Financial and Quantitative Analysis,1972,9,VII(4):1851-1872. 27 Ber
32、tsekas,Dimitris.Necessary and Sufficient Conditions for Existence of an Optimal PortfolioJ.Journal of Economic Theory,1974,6,8(2):235-247. 28 Jacob,Nancy.An Limited-Diversification Portfolio Selection Model for the Small InvestorJ. Journal of Finance,1974,6,XXIX(3):847-856. 29 Kwan,Clarence C.Y.Portfolio Analysis Using Single Index,Multi-Index,and Constant Correlation Model:A Unified TreatmentJ.The Journal of Finance,1984,12,39(5):1469-1484. 30 姚 远 .投资组合有效边界的图解分析 J.西南交通大学学报 ,2003,8,38(4):459-462. 31 陈收 ,邓小 铁 ,汪寿阳 ,刘 卫国 .资本 结构 变化 对组 合投 资有 效地 影响 J.中国 管理科学 ,2001,2,9(1):6-11.
