1、毕业论文文献综述 数学与应用数学 无穷级数的应用 一、前言部分 无穷级数是序列的一种特殊形式 12，一方面它的特殊结构使得有关级数收敛性及其求和的问题得到深入的研究，另一方面由于作为表达函数的一种工具，具有一些明显的优势。 无穷级数又称为数项级数简称为级数是序列的一种特殊形式 ，定义如下 :给定一个序列na ，用 )( qpaqpn n 来表示 qpp aaa 1 的和，一般的就把 na 称为无穷级数 (19。由这种关系可知，级数的一些性质实际上只是序列的性质的另一种表述，然而级数这一种新的形式为理论的展开提供了特别有效的途径，比如积分的计算 19以及发散到其他领域的结论如拓扑学 10。此外在
2、函数表达上 利用比较简单的函数形式，逼近比较复杂的函数， 这一点 使得无穷级数在很多情况下是不可替代的。 二、 主题部分 一，无穷级数的历史 背景 无穷级数思想的起源可以延续到公元前，古希腊的学者芝诺的二分法涉及到把 1 分解成无穷级数 432 21212121，古代中国的 “一尺之棰，日取其半 “11也含有类似的思想，但是级数最早被发现并研究于中世纪 (14 至 16 世纪 )的 印度 的咯拉拉 学校 ，该校的 学者 马德哈瓦 (Madhava)和尼拉 坎特 哈 (Nilakantha)，之后由 造访 印度 的精通数学的耶稣会传教士 带到了欧洲，并和牛顿的微积分紧密的结合在一起 1112。随
3、着欧洲数学的不断发展，无穷级数也出 现了许多新的内容。首先应运而生的是级数收敛性质的各种判别法，从最简单的正数项级数比式判别法和根式判别法到拉贝判别法，之后在一般项级数中出现了级数不收敛的现象，又产生了一个绝对收敛的概念 19。 级数的概念产生之后，首先出现并急待解决的问题就是级数的一系列性质包括级数本身的运算 1314，而这里面比较重要的就是级数的收敛性，最普通的有级数收敛的柯西准则 :级数收敛的充要条件是，任给的一个正数 ，总存在正整数 N ，使得当 Nm 以及对任意的正整数 p ，都有 | 21 pmmm uuu 19。这是级数收敛的一般判别方法，对于正数项级数，又产生了新的收敛判断方法
4、 :达朗贝尔判别法和柯西判别法，以上又可称为比式判别法和根式判别法 19。之后 由正数项级数的特点更衍生出了一个比较简单的比较原则 :设nu 和 n 是两个正项级数，如果存在某正数 N ，对一切 Nn 都有 nnu ，则 : (i)若级数 n 收敛，则级数 nu 也收敛， (ii)若级数 nu 发散，则级数 n 也发散， 19。这个方法使得快速判断简单级数的敛散性成为可能，之后在一般项级数中出现的交错级数， 绝对收敛级数以及应运而生的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 110完善了数项级数的敛散性讨论。在把函数应用在数项级数的思想中之后，又出现了函数项级数，同样的是讨论了函数项级数的敛散性之后得出了
5、判断方法，不同的在于函数项级数出现了一个特殊的一致收敛性质 :设函数列 nf 与函数 f 定义在同一数集 D 上，若对任给的正数 ，总存在某一正整数 N ，使得当 Nn 时，对一切 Dx ，都有 |)()(| xfxfn ，则称函数列 nf 在 D上一致收敛于 f 19。一致收敛性是由于函数项级数的特殊性拥有的性质 .函数在级数中的应用在发散到特殊函数时，产生的一个新的级数称为幂级数这一过程，大大的扩展了级数的应用性，幂级数是由幂级数列 )( 0 nn xxa 所产生的函数项级数 0 0 )(nnn xxa19，幂级数的研究与其他级数的研究一样，在讨论了敛散性之后更加注重于它的应用，也是级数真
6、正开始跨领域应用的开始 :函数的幂级数展开，这一点使得级数能够以较简单的方法来表达更复杂的函数，换言之就是为函数多了一种表达方式，这使得级数在某种程度上完全和函数挂钩，使得求函数的问题转化为求级数的问题，级数在函数中的另一应用体现在特殊坐标系下的函数，如三角函数 (傅里叶级数） 19。至此，级数思想 在其他数学领域开始发挥越来越大的作用。 二，无穷级数在积分计算中的应用 无穷级数在积分中的运算主要是运用无穷求和的思想，来进一步的研究在级数下的无穷和，定积分的提出和解决就用到了级数，在曲边梯形中，用已知的直边梯形求解法已经不适用了，因此提出了 “分割，近似求和，取极限 “1的解决方法，这就是后来
7、发展出来的定积分的概念背景，首先有区间的分割，再到函数的分割，而面积就接近于顶边函数和底边函数在分割之后产生的无穷多个长方形的和，具体的定义如下 定义 1 设闭区间 , ba 上有 1n 个点，依次为 bxxxxxa nn 1210 ， 它们把 , ba 分割成 n 个小区间 nixx iii ,2,1, 1 。这些闭子区间构成 对 , ba 的一个分割，记为 , 21 nT ，小区间 i 的长度为 1 iii xxx ，并记 max|1 ini xT 为分割 T 的模 19。 区间的分割仅仅是函数分割的一个思想发源，把这种无穷分割求和的方法作用在函数中后就有了如下定义 定义 2 设 f 是定
8、义在 , ba 上的一个函数，对于 , ba 的一个分割 , 21 nT 任取点 niii ,2,1, 并作合式 ni ii xf1 )(称此式为函数 f 在 , ba 上的一个积分和，也称黎曼和 19。 这个定义为下面定积分定义的出现做了充足的铺垫 : 定义 3 设 f 是定义在 , ba 上的一个函数， J 是一个确定的实数，若对任给的正数 ，总存在某一正数 ，使得对 , ba 的任何分割 T ，以及在其上任意选取的点集 i ，只要|T ，就有 |)(| 1 Jxf ini i，则称函数 f 在区间 , ba 上可积，数 J 称为函数 f 在区间 , ba 上的定积分 19，至此，定积分的
9、抽象概念已经完整的叙述出来，由此可见定积分的几何意义就是对于在区间 , ba 上的连续函数 f ，当 ,0)( baxxf 时，定积分 J 就是该函数 f 与 x 轴所围成的所有封闭图形的面积，这里要注意一点，函数在 x 轴下的部分所围成的图形面积与实际所得的结果 J 称相反数 19。 此外由定积分这种性质推导到普通积分中，级数也有另外的作用。然而积分和的极限与函数的极限之间存在很大的差别， :在函数极限 )(lim xfax中，对每一个极限变量 x 来说， )(xf的值是唯一确定的，而对于积分和的极限而言，每一个 |T 并不唯一对应积分和的一个值，这使得积分和的极限要比通常的函数极限复杂得多
10、 19。 三，无穷级数在困难函数表达中的作用 无穷级数在困难函数的表达中主要是把所给出的复杂的函数通过级数的形式化成较简单的函数形式 ，再加以解决，这里就必须要用到无穷级数中函数的幂级数展开，而关于一个函数在一个点的展开式在导数和积分之后便有提及，对于一般函数 f 设它在点 0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构造一个 n 次多项 式 nnn xxn xfxxxfxxxfxfxT )(! )()(!2 )()(!1 )()()( 00)(200000 称为函数 f 在点 0x 处的泰勒多项式 17，而在积分的实际运算中只考虑 0x =0 的情况，因此，泰勒展开式又可以简化为 nnn xn x
11、fxxfxxfxfxT ! )(!2 )(!1 )()()( 0)(2000 又称为麦克劳林公式 17，至此，一些复杂函数积分的计算就可以得到简化，比如 )12(!)1(!)1(!)1( 1200 200 0 20 2 nxndtxndtnxdte nn nx nn nx n nnx t但是，这种方法有一个前提，即函数的级数表达式必须收敛于函数本身，而对任意的 f在点 0x 具有任意阶导数，则其在 ),( 00 rxrx 内等于其级数的和函数的充分条件是 “对一切满足不等式 rxx | 0 的 x ，有 0)(lim xRnn“1，即泰勒公式的余项要趋于 0，这就把级数在积分中的应用局限在一个
12、范围内，而对于其他范围之外的复杂函数，级数的这种表达方式就无能为力了。而由于函数的多项性，泰勒 公式在微分几何的向量函数一部分中也有很大的用处 14。 三、总结部分 无穷级数并不是近代最新出现的，作为一个有上百年历史的数学概念，它本身的研究并不是十分多，这是因为它仅仅是从数列中引申出来的一个概念，比它本身更重要的是这一种数学思想 “分割，近似求和，取极限 “这种概念是数学史上的一种创新，因为难度不大，应用广，所以比无穷级数的性质利用更多的是在它的基础上衍生出来的思想方法以及类似的问题处理方法。因此无穷级数的性质仅仅在讨论敛散性之后就少有讨论，而研究的主方向放在了这种思想方法的应用上，比如后面出
13、现 的函数项级数，包括函数项级数中又出现的一致收敛性，再后面，出现了特殊的函数项级数 :幂级数。幂级数的出现为级数的应用又打开了一扇新的大门，从函数项级数到幂级数的研究，使得函数这一复杂的数学形式得以在幂级数的形势下加以研究，这得益于函数的幂级数展开，在这基础之上，特殊坐标系下的函数也得以解放出来，比如三角坐标系中三角函数级数，之后又引申到周期函数级数以及奇偶性函数级数。而级数思想的另一体现是结合微分和积分，在这一广大领域中，发挥了很大的作用，从积分定义的产生，到利用积分求平面不规则图形的面积，还有空间图形的面积 之后发散到泛函等等领域，由此可见，级数的思想在数学中有着相当重要的地位，然而级数
14、自身的局限性，应用的条件要求使得它并不是万能的数学工具，因此级数在以上领域继续发展之后应该在特殊局限的地方还有讨论的余地，其他的数学方法在级数中的应用也能令级数散发出新的生命力，使级数与微积分学一起成为数学分析的两大支柱。 四、参考文献 1 华东师范大学数学系数学分析（第三版） M.北京：高等教育出版社， 2003 2 欧阳光中，朱学炎，金福临等 .数学分析（第三版） M.北京：高等教育出版社，2007. 3 菲 赫金哥尔茨微积分学教程（第八版） M.北京：高等教育出版社， 2006 4 朱永忠 .高等数学 M.科学出版社 ， 2009. 5 唐月红 ， 曹荣美 ， 王正盛 .高等数学 M.科
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