1、毕业论文文献综述 数学与应用数学 凸集的性质及其应用 一、前言部分 凸性理论是数学的一个分支，随着数学规划，对策论，数理经济学和最优控制理论等学科发展的需要，特别是在优化领域中发现了凸集的许多应用之后，凸集理论日益受到人们的重视 1. 而凸集的产生与分析学有着密切的联系 .分析学包括微分方程、无穷级数、微分几何、函数论、积分方程、变分法、泛函分析等数学分支，这些学科的总称也常常叫做数学分析，有时被用作是微积分的同义语 .可以说， 17 世纪到 19 世纪上半叶的数学史，几乎就是数学分析的历史 .17 世纪由牛 顿和莱布尼茨创立的微积分，为数学的研究提供了强有力的工具，此后的大部分数学家的注意力
2、，都被这有着无限发展前途的学科所吸引，开始谋求用微积分这一有力的工具去解决愈来愈多的物理问题，但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题，这类问题不能通过简单的积分解决，要解决这类问题需要专门的技术，这样，微分方程这门学科就应运而生了 .作为对一门新的数学分支的探索，伯努利家族的贡献尤为突出 .在 1691 年到 1692 年之间他们先后解决了悬挂着的变密度非弹性软绳、等厚度的弹性绳以及在每一点上的作用力都指向一个固定中心的细绳所成 形状的问题。在解决这些问题的过程中，他们总结出了解微分方程的变量分离法，还提出了著名的伯努利方程()( ) ( ) ndy P x Q x ydx .到了 1
3、8 世纪，欧拉在前人的基础上做了大量的工作，从而使微分方程形成自身独特的理论体系 .之后法国数学家达朗贝尔将其方法加以整理，给出了求非其次线性微分方程的通解的一般方法；另一位法国数学家拉格朗日则又得出了通过变易常数求变系数常微分方程特解的方法，这些方法都是现今求微分方程的有效方法 .18 世纪后期不断出现的特殊的微分方程的求解问题，使数学家逐渐招架不住了，于是 转向对解的存在性问题的思考，即给定一个微分方程，它在给定的初始条件和边界条件下是否有解？在这个过程中，许多著名的数学家、力学家开展了大量的研究工作，如柯西、利普西茨、皮卡、施图姆、刘维尔等人 .特别是法国数学家庞加莱使微分方程与函数论建
4、立了密切的联系，从而产生了微分方程的解析理论 .虽然 18 世纪数学分析的发展已经达到空前灿烂的程度，然而数学家们在运用微积分方法的过程中并没能使无穷小这一概念的本质得到澄清，这就导致了微积分学理论缺乏严密的理论基础 .进入 19 世纪，捷克数学家波尔查诺、法国数学家柯西、德国数学家魏尔斯 特拉斯等人为完善分析学的基础理论做出了卓越的贡献 . 直到二十世纪六十年代中期，由于数学规划、对策论、数理经济学、变分学、最优控制理论等多方面的需要，诞生了一门新的数学分支 凸分析 .这一分支由于基本内容相当初等，而应用又十分广泛，因此许多结果很快就成为广大数学工作者手中的有力工具 .凸分析的基本研究对象是
5、凸集和凸函数，基本工具是凸集分离定理 .在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸集 凸集有许多等价的定义和性质，这些定义和性质在分析学中有着广泛的应用不仅如此，在很多的科学领域中，凸集理论也能得到很好的 应用 . 20 世纪 60 年代以后凸集的概念通过不同的途径被推广，提出了吸收凸集、对称凸集、严格凸集、一致凸集、强凸集等概念 .1961 年， L.Santal研究了平面凸集的完备不等式系统，并根据 W.Blaschke 的方法提出了一个从紧凸集类到单位正方形 20,1 0,1 E的映射 ， 的值域为 0,1 0,1 的紧子集，并将它称为 Santal图 2.一般线性空间中的凸集概念是
6、从平面凸集的特征性质中抽象出来的，而这个性质并不要求空间具有拓扑结构，所以这个概念可以扩充到一般的线性空间 3.本文主要讨论的就是一般线性空间中的凸集 .凸集在近代数学中占有极重要的地位，本文给出了凸集的几个等价命题和他们之间的推导，及凸集的有关性质和它在分析中的一些应用 . 定义 34【 5】 ：设 X 是线性空间， EX ，称 E 为一凸集，如果 (1 )x y E （ , , 0 1x y E ） . 提到凸集的等价定义、性质和应用，不得不提的是它的几何意义：如果对于点击 M 中任意两点 A ， B ，线段 AB 上的没一点都属于 M ，那么就称 M 为凸集 .显然，线段、直线、元、半平
7、面、球和四面体等都是凸集 . 对欧氏空间，直观上，凸集就是凸的 .在一维空间中，凸集是单点或一条不间断的线（包括直线、射线、线段）；二、三维空间中的凸集就是直观上凸的图形 . 在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸集，例如在泛函分析、概率论、统计决策论和信息论等当中 本文试就 凸集的等价定义、性质和应用等问题作初步的探讨 . 二、主题部分 关于凸集的性质及其应用，许多学者进行了较为深入的研究，并已取得大 量的较为丰富的结果，现将已有文献的研究结果综述如下： 文献 1研究了凸集的一些基本性质 .给出了集合的边界点的支持方向的新概念 .利用支持方向证明了凸集的一些特征性质，获得了凸集分离定
8、理及其它一些特征性质的新方法和途径 . 文献 2通过在给定平面凸集 K 的外径 R 和内径 r 的条件下， 凸集的面积 A 和周长 p 的下界的一组不等式，并且证明了当凸集 K 为双帽体时不等式取得等号 . 文献 345给出了凸集的定义、性质，在此基础上介绍了它在一些方面的应用 . 文献 6给出了线性空间中凸集的六个等价形式，并在一定的约束条件下给出了凸集的两个充要条件 . 文献 7给出了一个闭集 nAE 是凸集的几个等价充分条件，并对结果进行了证明 . 文献 8在讨论了有关文献中强凸集的定义的基 础上，引入了广义强凸概念及标准强凸函数，并对其性质和分类问题进行了初步探讨 . 文献 9建立了凸
9、集范畴与 K 模范畴的基本代数联系，定义了凸集上一种广义度量dist，并给出其拓扑性质及 dist 与熵的关系 . 文献 10主要讨论了具有非空内部的紧凸集与其重心之间的关系，并进而给出了紧凸集的广义重心以及关于函数的重心与紧凸集的关系 . 文献 11讨论了凸集的性质、凸集与李普希兹函数类、凸函数间的关系，给出了凸集在赋范线性空间、希尔伯特空间最佳逼近中的应用 . 文献 12利用 Ben Tal 广义代数运算定义了广义凸集，并且讨论了广义凸集的一些性质 .最后给出了一个定义在广义凸集上的函数为 ( , )h 凸函数的充要条件 . 文献 13借助可分空间的共轭空间中有界闭球的弱星序列紧性，证明了
10、在无穷维数列空间l 中有限个闭球之并的凸包仍为闭集 . 文献 14给出了凸集与吸收集的一种推广定义 准半凸集，并在此基础上定义了局部准半凸空间；其次讨论了准半凸 集与其他凸集推广定义的关系，以及准半凸集的充要条件；最后给出与准半凸集有关的运算性质及局部准半凸空间的一个充要条件 . 文献 15讨论了线性拓扑空间中的凸集和它的端点集之间的关系，给出了局部凸空间一个凸集为严格凸集的充要条件 . 通过总结，我们可以得到一般线性空间中凸集具有的一些性质： 性质 1 设 X 是线性空间， C 是 X 上含有 的凸子集，若 P 为 C 的 Minkowski 泛函，则 P 具有下列性质： （ 1） ( )
11、0, Px， ( ) 0P ； （ 2） ( ) ( )P x P x （ xX ， 0）（正齐次性） （ 3） ( ) ( ) ( )P x y P x P y （ ,x y X）（次可加性） 性质 2 设 X 是一个 *B 空间， C 是一个含有 点的闭凸集 .如果 ()Px 是 C 的Minkowski 泛函，那么 ()Px 下半连续，且有 | ( ) 1C x X P x . 和它的一个推论： 性质 3 若 C 是 nR 中的一个紧凸子集，则必存在正整数 mn ，使得 C 同胚于 mR 中的单位球 . 凸集的性质在各方面都有广泛的应用，例如： （ 1）凸集在证明常微分方程初值问题的解的
12、存在性定理中的应用 . （ 2）对较为复杂的平面几何问题，熟练掌握、灵活应用凸集的定义及其基本性质，能使一些相关的问题得到巧妙简捷的解决 . （ 3）利用凸集分离定理得出一类新的凸规划问题等价条件，给出一种解这类问题的新方法 . 三、总结部分 本文主要通过对泛函分析中一类特殊的集合 -凸集的多种等价定义的描述，各种定义之间的相互推导，以及凸集的各种性质和利用性质在不同领域的应用，突显凸 集的特殊地位和意义应用凸集的性质能使一些较复杂的常微分方程初值问题的存在性问题迎刃而解在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸集 .一般线性空间中的凸集概念是从平面凸集的特征中抽象出来的，它有很多重要的性
13、质，在函数论及数学的其他分支中均有广泛的应用 利用 凸集的定义及其基本性质，能使一些较为复杂的平面几何问题 转化为比较容易简单的问题，从而 得到巧妙简捷的解决 凸集的应用领域非常广泛，运用它解题显得巧妙、简练 除此之外，还可以将凸集的性质应用在数学规划上，以及相对应的一些实际问题上，帮助人们利 用数学模型解决生活中一些复杂的问题虽然在实际中我们常常遇到非凸集，但此时可以引进伪凸、拟凸等广义凸集的概念，并说明它们可保留凸集的某些主要性质，从而使其他领域中用这些凸集性质得到的结果，可拓广到广义凸集上来 . 四、参考文献 1 肖艳，李寿贵，李满满 .凸集的一个新概念及其一些特征性质 J.数学杂志，
14、2008,2：233. 2 阮正谦，熊革 . 关于平面凸集的一组基本不等式 J. 上海大学学报， 2006， 1： 31. 3 张恭庆，林源渠泛函分析讲义 M 北京 ：北京大学出版社 , 1987.3. 4 Jean-Baptiste Hiriart-Urruty Claude Lemar chal.Fundamentals Of Convex AnalysisM.Beijing:Springer,2004,4. 5 R.TYRRELL ROCKAFELLAR.Convex AnalysisM.Princeton university press,1970. 6 查志明 .凸集的若干等价命题
15、J.2004， 3:10-11. 7 罗能 . 关于闭集是凸集的几个等价充分条件 J. 1999， 3： 19-21. 8 谢琳，吕延方 . 关于强凸集的概念及其推广 J.2003， 4： 337-340. 9 孟晓青 .凸集和它的度量 J.1996,1： 1-6. 10 唐风军，刘广彦，李晓楠 .关于凸集的一些性质 J.2006,1： 25-27. 11 马英源 .凸集及在分析中的应用 J.1996,4:7-11. 12 李建峰，常胜伟 .一类广义凸集及其性质 J.2001,2:9-11. 13 刘世伟 .凸集的若干几何性质 J.1984， 3:31-34. 14 樊增平，苏雅拉图 .准半凸集及其性质 J.2009,2:143-150. 15 张治田，凸集的几个性质 J.1986,4:33-35.
