1、 毕业论文文献综述 数学与应用数学 线性代数原理的几个应用 一、 前言部分 线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。在计算机飞速发展并且广泛应用的今天，计算机科学、统计学 1、生物学、人口迁移模型等无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步 研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，由于计算机的发展，线性
2、化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。 线性代数课程在大学数学中占有重要的地位，学习线性代数课程，无论是对于比较全面地培养学生的数学思维、提高数学素质还是进一步学习其他课程打下基础，都有着非常重要的理论和现实意义。 而我国的线性代数课程偏重于理论的运算验证等，传统的线性代数教材追求逻辑的严密性和理论体系的完整性，重理论而轻视实践，剥离了概念、原理和范例的几何背景与现实意义，导致教学不尽如人意 2。 本 文主要利用建模思想应用线性代数知识解决实际问题，即从问题实例出发，建立数学模型 3，引入线性代数的基本知识点，回到实际应用中去。事实上用这种方式进行教学，可以培养学生的创
3、新能力，提高学生分析和解决问题的能力。实际上线性代数自身理论正是在解决离散数学问题，建立数学模型的过程中发展起来的。 通过线性代数的学习，我们发现它和实际生活有着密切的联系。因此本文的写作目的就是把线性代数的有关知识运用到解决实际问题中去。在本文中，我主要通过几个实际例子，建立相应的数学建模进行研究分析。具体方案是先采集大量有关数据，然后 运用线性代数原理等知识，借助 MATLAB4等计算机工具对数据进行处理和分析，最后得到一个最优的策划方案。 二、 主题部分 线性代数作为一个独立的 代数学 分支在 20 世纪才形成，然而它的历史却非常的久远。最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数
4、学著作九章算术方程 5中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在 18 19 世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具 ，从而推动了线性代数的发展。 向量 概念的引入，形成了向量空间的概念。凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线性变换 6，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。 线性代数作为一独立的数学分枝有着自身独特的概念 、 思想方法和处理问题的手法 ,其主要特点之一是数学观念新 ,引入了结构的思想 。它更多的是从
5、离散的角度研究客观世界的空间形式和数量关系。而线性代数课程在大学数学中占有重要的地位，它是高等院校普遍开设的一门基础性数学课程，包括矩阵与行列式、矩阵的初等变换与线性方程组、向量的 线性相关性与向量空间、特征值与矩阵对角化、二次型、线性空间与线性变换等内容。 在教材中把矩阵作为线性代数的主线展开，以后的知识都是以矩阵为线索展开讨论。行列式看成 n 阶方阵按一定规则对应的数；而行列式又用于讨论矩阵的最主要的概念“秩”。 n 维向量当然也是特殊矩阵。通过向量的线性相关性的讨论，又建立起向量组的秩与矩阵的秩的联系。线性方程组的讨论广泛地应用了有关矩阵和向量的结论，线性方程组的结果又用于研究矩阵的特征
6、值与 特征向量。 2 而国外教材的顺序 7先引入线性方程组然后是向量空间、矩阵、行列式，大体思路是通过向量，引入空间的概念，然后涉及到具体计算后才讲到矩阵，行列式等。国外的这样的顺序更容易让学生“懂”线性代数，让学生理解抽象的意义！而我们硬性引入行列式，矩阵，秩等概念，剩下的就是强调计算，学生学完了也不知到底线性代数是干什么的。这样无异于弱化学生的创造性，削弱主动思考问题的能力。因此线性代数要面向应用，满足应用的需求。 线性代数的含义随数学的发展而不断扩大， 线性代数在科学研究 、 经济 投入产出 8、 工程技术 等领域的应用越来越广泛 、 深入 。 线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分
7、支，很多实际问题的处理，最后往往归结为线性问题，它比较容易处理。比如： 线性方程组在气象预报中的应用：为了做天气和气象预报，有时往往根据诸多因素最后归结为解一个线性方程组。当然，这种线性方程组在求解时，不能手算而要在电子计算机上进行。线性方程组在国民经济中的应用：为了预测经济形势，利用投入产出经济数学模型，也往往归结为求解一个线性方程组。线性代数在“人口迁移模型 9”、“马尔可夫链”、“投入产出数学模型”、“图的邻接矩阵”等方面有着广泛 的应用。本文只举其中的一些知识点： 马尔科夫链 10 马尔可夫链，因安德烈马尔可夫得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程中，在给定当前知识或
8、信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。 马尔科夫链是生物、商业、化学、工程和物理许多科学中应用广泛的一类数学模型。这些模型常常用来描述以相同方式重复进行的实验或测量，每一次实验的结果都在事先指定的几个可能结果之列，并且每次实验的结果都只依赖上一次实验。 例如，如果每年对某城市及其郊区的人口进行测量， 则向量0 0.600.40x 就可以表明 60%的人口住在城市， 40%的人口住在郊区。 0x 中小数的和为 1，代表该整个地区人口总和。称一个含非负分量并且各分量总和为 1 的向量为概率向量，一个随机矩阵就是以概率向量为列向量的方阵。一个马尔科夫
9、链就是一个概率向量序列 0 1 2, , ,x x x ，以及随机矩阵 P ，使得 1 0 2 1 3 2, , ,x P x x P x x P x 因此马尔科夫链可以用下列 1 阶差分方程来描述： 1kkx Px ，对于 0,1,2,k 如果 nR 中向量的一个马尔科夫链描述了某个系统或者某个实验序列，则 kx 中的分量依次列出了该系统处在全部 n 个可能状态上的概率，或者该实验结果是全部 n 个可能结果 的概率，基于这一原因， kx 也常称作状态向量。 物理马尔可夫链通常用来建模排队理论和统计学中的建模，还可作为信号模型用于熵编码技术，如算术编码（著名的 LZMA 数据压缩算法就使用了马
10、尔可夫链与类似于算术编码的区间编码）。马尔可夫链也有众多的生物学应用，特别是人口过程，可以帮助模拟生物人口过程的建模。隐蔽马尔可夫模型还被用于生物信息学，用以编码区域或基因预测。马尔可夫链最近的应用是在地理统计学中。其中，马尔可夫链用在基于观察数据的二到三维离散变量的随机模拟。这一应用 类似于“克里金”地理统计学，被称为是“马尔可夫链地理统计学”。这一马尔可夫链地理统计学方法仍在发展过程中。 运筹学 11作为一门现代科学，是在第二次世界大战期间首先在英美两国发展起来的，有的学者把运筹学描述为就组织系统的各种经营作出决策的科学手段。 P.M.Morse 与G.E.Kimball 在他们的奠基作中
11、给运筹学下的定义是：“运筹学是在实行管理的领域，运用数学方法，对需要进行管理的问题统筹规划，作出决策的一门应用科学。” 4 线性规划的数学模型的标准形式： 目标函数 1 1 2 2m a x ( m i n ) nnz c x c x c x （ 1-1） 满足约束条件1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 212( , )( , )( , ), , , 0nnnnm m m n n mna x a x a x ba x a x a x ba x a x a x bx x x （ 1-2） 在线性规划的数学模型中，式（ 1-1）称为目标函数 jc 为价值系数；式
12、（ 1-2）、式（ 1-3）称为约束条件； ija 称为技术系数， ib 称为限额系数；式（ 1-3）也称为变量的非负约束 条。 满足以下三个条件： （ 1）每一个问题都用一组决策变量 12( , , , )nx x x 表示某一方案，这组决策变量的值就代表一个具体的方案。一般这些变量取值是非负且连续的。 （ 2）存在有关的数据，同决策变量构成互不矛盾的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示。 （ 3）都有一个要求达到的目标，它可以用决策变量及其有关的价值系数构成的线性函数（目标函数）来表示。按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。 用向量和矩阵符号表示为： maxz
13、 CX 0 , 1, 2 , ,njjjjP x bx j n 其中： 12, , , nC c c c 12nxxXx； 12jjjmjaaPa； 12mbbbb向量 jP 对应的决策变量是 jx 。 （ 1-3） ） 用矩阵描述时为： max0z CXAX bX其中 1 1 1 2 11212, , ,nnm m m na a aA P P Pa a a；0000A 约束条件的 mn 维系数矩阵，一般 mn ； B 资源向量； C 价值向量； X 决策变量向量。 运筹学既对各种经营进行创造性的科学研究，又涉及到组织的实际管理问题，它具有很强的实践性，最终应能向决策者提供建设性意见，并应收到
14、实效；它以整体最优为目标，从系统的观点出发， 力图以整个系统最佳的方式来解决该系统各部门之间的利害冲突。对所研究的问题求出最优解，寻求最佳的行动方案，所以它也可看成是一门优化技术，提供的是解决各类问题的优化方法。运筹学已被广泛应用于工商企业、军事部门、民政事业等研究组织内的统筹协调问题，故其应用不受行业、部门之限制。 通过对照参考的文献，不难发现在线性代数的教材的编排上，国外更注重实际例子中体现的线性代数原理，而幸运的是国内的教学也在改变，也开始注重线性代数的背景，在教材编排上也更多的引入实际的例子。而在大学生中，也开展了“中国大学生数学建模大赛” 12，在用建模思想学习并利用线性代数，从问题
15、实例出发，建立数学模型解决问题，再回到实际问题中去，给出其优化的解决方案。而随着社会的进步，科技的发展，更多的线性代数的数学模型将会应用于实际生活。 三、 总结部分 本文主要综述了线性代数的发展历史，以及代数原理的几个应用。强调了其有关的知识分支、模型及历史背景。并且比较线性代数这门学科在我国大学中的课程编排和国外的区别。国外教材的编排顺序 13与中国的线性代数授课体系是不一样的。国外的这样的顺序更容易让学生“懂”线性代数，让学生理解抽象的意义。而我们硬性引入行列 式，矩阵，秩 14等概念，剩下的就是强调计算，学生学完了也不知到底线性代数是干什么的这样无异于弱化学生的创造能力，削弱主动思考问题
16、的能力及线性代数的实际应用能力 15。阐明了本文的焦点问题：线性代数要面向应用，满足应用的需求。因此将实际问题或者日常生活中的问题，甚至一些趣味问题作为实验的例子建立数学模型 16并且结合计算机软件的使用得出结果，对于我们做综合实验是很有益的。而随着社会的进步，科技的发展，更多的线性代数的数学模型将会应用于实际生活。 四、 参考文献 1 吴翔，周彬，杨文培浙江省 3E 系统 的实证分析 J浙江统计 2005， (253)： 20-21 2 汪雷，宋向东线性代数及其应用 M北京：高等教育出版社， 2001， 7 3 姜启源 数学模型 M 北京：高等教育出版社， 2009， 5 4 周晓阳数学实验
17、与 MatlabM武汉：华中科技大学出版社， 2008， 18 5 朱家生数学史 M第 8 版北京：高等教育出版社， 2008， 5： 56-57 6 杨万才线性代数 M北京：科学出版社， 2008， 8 7 Steven J Leon Linear algebra with ApplicationsM北京：电子工业出版社， 2004， 10 8 彭雪梅，杨贵诚线性代数 M武汉：华中科技大学出版社， 2009， 2 9 刘伟俊，杨文胜，韩旭里线性代数 M北京：科学出版社， 2008， 7 10 David C Lay线性代数及其应用 M沈复兴，傅莺莺北京：人民邮电出版社， 2007， 7 11 钱颂迪运筹学 M运筹学教材组第 12 版北京：清华大学出版社， 2009， 4 12 李大潜中国大学生数学建模竞赛 M北京：高等教育出版社 13 David C Lay Linear algebra and its applicationsM北京：电子工业出版社， 2004 14 陈志杰高等代数与解析几何 (上 )M北京：高等教育出版社， 2007， 5 15 归行茂，曹冬孙，李重华线性代数的应用 M上海： 上海普及出版社， 1994 16 罗万成大学生数学建模案例精选 M成都：西南交通大学出版社， 2009， 7
