一些不等式的证明及推广【文献综述】.doc

1、毕业论文文献综述 数学与应用数学 一些不等式的证明及推广 一、前言部分 （说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点） 不等式是数学的基本内容之一 , 它是研究许多数学分支的重要工具 , 在数学中有着重要的地位。数学家们给我们留下了一些经典的不等式 , 这些不等式在学习中经常遇见。 本课题的主要任务是 : 在查阅文献的基础上 , 总结一些重要不等式 ( 如 柯西 不等式、 赫尔德 不等式等 )的证明方法以及它们的推广形式。 首先，我们介绍这些重要的不等式。 柯西 不等式 1： 设有两组实数 naaa , 21 和 12,nb b b ，则 2 221 1 1n n ni

2、i i ii i ia b a b ， 当且仅当 1212nnaaab b b时，等号成立。 赫尔德 不等式 2： 设有两组实数 naaa , 21 和 12,nb b b ， 1p ， 111 qp，则 111 1 1n n npqpqi i i ii i ia b a b ， 当且仅当 1212nnaaab b b时，等号成立。 当 2p 时， 赫尔德 不等式即为柯西不等式。 反向 赫尔德 不等式 3： 设有两组实数 naaa , 21 和 12,nb b b ， 1p 且 0p ，111 qp ，则 111 1 1n n npqpqi i i ii i ia b a b 。 闵可夫斯基

3、不等式 3： 设有两组正数 naaa , 21 和 12,nb b b ， 1p ，则 1 1 11 1 1n n np p pp ppi i i ii i ia b a b ， 当且仅当 1212nnaaab b b时，等号成立。 反向 闵可夫斯基 不等式 3： 设有两组正数 naaa , 21 和 12,nb b b ， 1p 且 0p ，则 1 1 11 1 1n n np p pp ppi i i ii i ia b a b 。 二、 主题部分 （阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述） 柯西不等式是著名的不等式之一， 且 不失为至善至美的重要不等式。它不仅是数学

4、分析的重 要工具，还和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间、赋范空间有着密切的联系。 柯西不等式是由大数学家柯西 （ Cauchy） 在研究数学分析中的 “ 流数 ” 问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为 Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西不等式非常重要， 适当、巧妙地引入柯西不等式，可以简化解题过程，起到事半功倍 的作用。因此柯西不等式 在初等数学、微分方程和泛函分析等领域都有重要的应用， 再加上 本身有着优美的对称形式 、简洁的统一证法和命题间的内在联系，关于它的研

5、究一直受到人们的关注。由此促使我们 进一步了解柯西不等式的各种形式及它的应用。 闵可夫斯基不等式是由闵可夫斯基 （ Minkowski） 于 1896 年证明的，它的出现对于促进泛函空间理论的飞速发展起到了至关重要的作用 。 闵可夫斯基的主要工作在数论、代数和数学物理上。在数论 方面 ，他对 二次型 进行了重要的研究。在 1881 年法国大奖中，闵可夫斯基深入钻研了 高斯 、 狄利克雷 和 爱因斯坦 等人的论著。因为 高斯 曾在研究把一个整数分解为三个平方数之和时用了二元二次型的性质，闵可夫斯基 根据 前人的 工作 发现： 把一个整数分解为五个平方数之和的方法与四元二次型有关。由此，他深入研究

6、了 n 元二次型，建立了完整的理论体系。这样一来， 上述问题 就很容易从更一般的理论中得出，闵可夫斯基交给法国科学院的论文长达 140 页，远远超出了原题的范围。闵可夫斯基此后继续研究 n 元二次型的理论。他透过三个不变量刻画了有理系数二次型有理系数 线性变换 下的等价性，完成了实系数正定二次型的约化理论，现称 “ Minkowski 约化理论 ” 。当闵可夫斯基用几何方法研究n 元二次型的约化问题时， 他 获得了十分精彩而清晰的结果。他把用这种方法建立起来的关于 数的理论 称 为 “ 数的几何 ” ，其中包括著名的闵克夫斯基原理。由这里又引导出他在 “ 凸体几何 ” 方面的研究，这项研究的副

7、产品就是著名的闵克夫斯基不等式 。 Young 不等式及与之相关的赫尔德不等式 、 闵克夫斯基不等式都是非常重要的不等式，在分析数学中有着广泛的应用，对现代数学的发展起到了非常重要的作用。 通过 Young 不等式 我们 可以 证明 赫尔德不等式，进而 证明 闵克夫斯基不等式。虽然赫尔德于 1889 年便在其著作中证明了赫尔德不等式，但是现在的绝大部分书籍 都采 用 Young 不等式做为引理来证明它。在数学分析、调和函数、泛函分析和偏 微分方程等学科中上述三个不等式的身影处处可见，是使用得最为频繁，最为广泛的知识工具 。 本文的目的是 ： 通过对 Young 不等式 、赫尔德不等式 、 闵克

8、夫斯基不等式及它们的逆不等式的相关内容的归纳整理，使人们能够更加清楚的认识到它们的重要作用。 在文献 4， 5， 6， 7中，作者 讲述了柯西不等式及它的若干证明方法，主要有：（ 1）利用一元二次不等式；（ 2） 配方法；（ 3）判别式法；（ 4）参数法；（ 5）凸函数法；（ 6）归纳法；（ 7）利用 Jensen 总和不等式（ 8）利用行列式；（ 9）利用向量的内积；（ 10）利用二次型的正定性。我 们在这里列出几种证明方法： 配方法 22 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 11 22n n n n n n n n ni i i i i i i i i i i ii i i

9、i i i i i ia b a b a b a b a b a b ni inj jnj jjni iinj jni i babababa 1212111212 221 ninj jinj jjiinj ji abbababa1 1221122 221 ninj jijjiiji abbababa1 12222 221 ninj ijji baba1 12 021 。 利用 Jensen 总和不等式 考察 2 ,0x x x 。 x 是 ,0 上的凸函数，由 Jensen总和不 等式可得 nk kknk knk kk xppxp 1 2121 ， 其中 0, 1, 2,kp k n 。取kk

10、kkk baxbp ,2 ，则 2 221 1 1n n nk k k kk k ka b b a 。 利用向量的内积 设 1 2 1 2, , , , ,nna a a b b b，则由向量的数量积定义： c o s , 以及 cos , 1 ，可知： 。 又因为1niii ab ， 1221nii a ， 1221nii b 。故 2221 1 1n n ni i i ii i ia b a b 。 在文献 5中，作者还给出了柯西不等式的一个简捷证明方法： 记 ni iaA 12 ， ni ibB 1 2 ， ni icC 1 2 ，则 22111222121 222 niiiniiini

11、inii CbaBbC BaBbC BaCAB ， 即 2CAB 。 在文 献 8， 9中， 作者给出了柯西不等式的应用，主要有：（ 1）应用柯西不等式证明其它不等式；（ 2）应用柯西不等式求函数的最值；（ 3）应用柯西不等式求解方程组。 例如 设 ia ， 1, 2 , ,ib i n ，则 22111niniini iiiaab b ， 当且仅当 nikba ii ,2,1 等号成立。 证明 由柯西不等式可得 22 221 1 1 1n n n niii i ii i i iaab b abb ， 化简整理得 niiniini iibaba12112。 例如 在实数集内求解方程组 2 2

12、2 948 6 24 39x y zx y y 解：由柯西不等式，得 2 2 22 2 2 28 6 2 4 8 6 2 4x y z x y y 。 (1) 因为 222 2 2 28 6 2 4x y z 29 6 4 3 6 4 1 4 4 3 94 及 2 28 6 24 39x y y ， 故 2 2 22 2 2 28 6 2 4 8 6 2 4x y z x y z ， 即不等式（ 1）中只有等号成立 由柯西不等式中等号成立的条件，得 8 6 24x y z。它与 8 6 24 39x y y 联立，可得 613x ， 926y ， 1813z 。 在文献 10， 11中， 作者

13、用柯西不等式解释样本 线性相关系数：在线性回归中，有样本相关系数 12211()()niiinniiiix x y yx x y yr= ，并指出 1r 且 r 越接近于 1，相关程度越大，r 越接近于 0，相关程度越小。 记 iia x x， iib y y，则 12211niiinniiiiababr= 。 由柯西不等式有 ， 1r 。当 1r 时， 2 221 1 1n n ni i i ii i ia b a b 。 此时， i iiiyy b kx x a ， k 为常数。点 ,iixy ni 2,1 均在直线 y y k x x 上。当 1r 时， 2 221 1 1n n ni

14、i i ii i ia b a b ， 即 2 221 1 1 0n n ni i i ii i ia b a b 。而 22 221 1 1 1n n ni i i i i j j ii i i i j na b a b a b a b 因此 21 0i j j ii j n a b a b ，即 0i j j iab a b。从而 ,iib kka 为常数。此时， i iiiyy b kx x a ， 其中 k 为常数。点 ,iixy 均在直线 y y k x x 附近，所以 r 越接近于 1，相关程度越大。 当 0r 时， ,iiab 不具备上述特征。从而找不到合适的常数 k ，使得点

15、,iixy 都在直线 y y k x x 附近。所以， r 越接近于 0，则相关程度越小。 在文献 12中， 作者主要讲述了柯西不等式在欧氏空间的推广形式：设 V 是欧氏空间，, V ，则 , 2 ， 当且仅当 , 线性相关时等号成立。 在文献 13中，作者总结了柯西不等式的证明方法及相关的一些不等式的证明。 在文献 14中，作者给出了柯西不等式的一般证明。柯西不等式的标准证明是用内积的齐次性质，然而，一般证明采用了内积的可加性代替齐次性。 在文献 15， 16， 17中， 作者介绍了 Young 不等式及它的证明方 法，主要有：（ 1）导数求极值法；（ 2）凸函数法；（ 3）利用中值定理。最

16、后，作者应用凸函数的理论将 Young 不等式推广到 n 个正数的情形。 Young 不等式 设 ,0ab ， ,1pq ，且 111 qp ，则 11pqab a bpq， 当且仅当 ba 时等式成立。 在文献 18， 19中， 作者主要讲述了积分形式的 Young 不等式及它的证明方法，主要有：（ 1）面积法；（ 2）分析法；（ 3）利用定积分的定义。 Young 不等式（积分形式） 设 fx是严格单调增加的连续函数 0x ， 00f ，gx为 fx的反函数，则对于任意的 0a ， 0b ，有 00aba b f x d x g x d x， 当且仅当 b f a 时等号成立。 面积法证明

17、 根据函数 xfy 和其反函数 ygyfx 1 的图形特性，及曲线与x 轴和 y 轴所围面积， a dxxfS 01 ， bb dxxgdyygS 002 ， 比较矩形面积与 21 SS ，便知 ba dxxgdxxfSSab0021。 在文献 20中， 作者结合数学分析和不等式理论证明了 Young 不等式多元情形的逆向不等式，并以大量经典不等式的逆向不等式为例展示了其广泛的应用。 在文献 21中， 作者给出了 Young 不等式的一些证明方法、 Young 逆不等式的证明方法以及它们的应用。另外，作者给出了 赫尔德 逆不等式和 闵克夫斯基 逆不等式的一种证明方法。 在文献 22中， 作者总

18、结了 赫尔德 积分不等式的五种证明方法。 在文献 23中， 作者给出了 赫尔德 不等式在 n 维及无穷序列空间的离 散形式的推广及其在任意测度空间 ,X 上的积分形式推广。 在文献 24中， 作者将 赫尔德 不等式与 闵克夫斯基 不等式从两个方向上进行推广：（ 1）从二元组推广到任意有限元组；（ 2）将不等式推广到级数形式。通过这些推广，作者揭示不等式之间的内在关系。 三、总结部分 （将全文主题进行扼要总结，提出自己的见解并对进一步的发展方向做出预测） 柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 它 在证明不等式 、 解三角 形 、 求函数最值 、

19、解方程等方面 有着广泛的 应用。 Young不等式、 赫尔德 不等式和 闵克夫斯基 不等式之间可以相互推导。这些重要不等式在数学分析、调和分析、泛函分析、偏微分方程等学科的研究中发挥了重要作用，使用的技巧灵活多样，得到的结果极为深刻。然而，在数学知识体系中 赫尔德 不等式的证明出现较晚，限制了它的早期传播和实用的可能性。文献给出了 Young 不等式和 Young 逆不等式的初等证明方法及这两个不等式的等价性，进而给出了 赫尔德 不等式的初等证明。本课题首先 总结柯西不等式、Young 不等式和 赫尔德 不等式的证明方法，在此基 础上，总结并探讨这些不等式的相关推广。 四、参考文献 （根据文中

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