1、 毕业论文文献综述 数学与应用数学 有关中值命题中辅助函数构造的一般方法研究 一、前言部分 微积分学是数学分析中的核心内容，其命题十分的抽象复杂。因此，在微积分中常见命题的解决时，通常会遇到这样的问题：对于与命题相关的定理与知识所熟悉，但不知如何通过题设，运用定理来解题。这时，单凭对定理的一般运用是无法解决问题的，而是需要构造出一个既能运用题设条件又能应用相关定理得辅助函数，将抽象的关系通过具体的函数表达出来，转化为比较直观的，易于解决的问题。 辅助函数构造法在数学领域中广泛地被采用着，它们所起的作用 是桥梁式的作用，甚至有些是起着无法替代的作用。通过查阅现有的大量资料发现，现在国内外对微积分
2、学中辅助函数构造法的研究比较多，其中有一部分研究的是辅助函数构造法的思路，但大部分研究的是辅助函数的构造在微积分学解题中的应用。在本文，将在微分中值命题的证明这个领域中分别讨论构造函数法的运用，将会解决构造函数法在这个领域中运用的一些思路和如何构造辅助函数的方法。 通过构造辅助函数，可以解决数学分析中众多难题，尤其是在微积分学证明题中应用颇广，且可达到事半功倍的效果。 二、主题部分 一、构造函数 法在微积分中值定理证明中的应用分析 微分中值的定理证明代表着构造函数法的一个重要的思路，这个思路是当构造一个辅助函数时，其辅助函数的构造的条件必须满足现有某个已证定理的条件，进而解决问题。具体的来说罗
3、尔定理证明中是构造出了满足 Fermat引理的函数，进而推导出了结果；而 Lagrange中值定理和 Cauchy 定理则都是构造出了满足罗尔定理条件的辅助函数，来推导出了最终的结果。构造函数法的思想是十分发散的，所以其在微分中值定理的证明中的辅助函数的构造也是多种多样的，这种多态化的思想启发出，在使用构造函数 法时，我们可以使用各种所学知识，根据命题条件，构造出满足题意的辅助函数来。 微分中值定理的证明实现了函数与导数之前的沟通，是利用导数的局部性质研究函数整体性质的重要工具。以微分中值定理为基础的各种中值问题，成为数学分析中的重要内容。这类问题的常见形式是：设函数 )(xf 在 , ba
4、上连续，在 ),( ba 上可导，且满足某些附加条件，求证存在一点 ),( baz 使得某个含有 z 的等式成立。 处理这类问题，关键在于如何构造出能够满足罗尔， Lagrange 定理和 Cauchy 定理条件的辅助函数。通常采用的构造函数方法大多限于几个初等的试探方法，比如，利用函数的几何图像，借助于行列式等。用这些方法构造函数往往需要很高的技巧，实际处理具体问题不好运用和掌握。如果考虑到 Lagrange 中值定理和 Cauchy 中值定理是罗尔中值定理的推广形式，罗尔中值定理的结论为一个导数形式，那么构造辅助函数其实就是要寻找一个能够满足罗尔中值定理条件的原函数， 这样，我们可以利用微
5、分运算的逆过程 积分运算，来构造辅助函数，以解决有关微分中值的问题。 1.1 辅助函数在罗尔 (Rolle)定理证明中的应用 微分中值定理中的罗尔定理是高等数学中的一个重要内容，因为它的应用非常广泛，而构造辅助函数是解决罗尔定理问题的最主要的方法。若辅助函数构造的合理巧妙，满足定理的三个条件，则问题很快就能迎刃而解。 1.1.1 罗尔 (Rolle)定理 若函数 f 满足如下条件： (1)f 在闭区间 , ab 上连续； (2)f 在开区间 (, )ab 内可导； (3) ( ) ( )f a f b ， 则在 (, )ab 内至少存在一点 ，使得 ( ) 0f . 1.1.2 推广的 罗尔
6、(Rolle)定理 设函数 fx满足条件： (1)函数 fx在开区间 ,ab 内可微； (2) lim limx a x bf x f x； 则在 ,ab 内至少存在一点 ，使 0f 证明： 不妨设 lim limx a x bc f x f x，作 辅助函数 , , ,f x x a bFx c x a b l i m l i mx a x aF x f x c F a ， l i m l i mx b x bF x f x c F b ， 所以由 Fx的构造可知， Fx在 ,ab 上连续，从而 Fx满足罗尔定理的条件： (1) Fx在闭区间 ,ab 上连续； (2) Fx在开区间 ,ab
7、内可导； (3) F a F b ； 则在 ,ab 内至少存在一点 ，使得 ( ) 0Ff 1.2 辅助函数在拉格朗日中值定理证明中的应用 1.2.1 拉格朗日中值定理 若函数 fx满足如下条件： (1) fx在闭区间 ,ab 上连续； (2) fx在开区间 ,ab 内可导； 则在 ,ab 内至少存在一点 ，使得 f b f af ba 证明 ：令 f b f a kba ，则 f b kb f a ka 作 辅助函数 F x f x kx，则显然有 F a F b 又因为 fx在闭区间 ,ab 上连续，在开区间 ,ab 内可导， 所以显然有 Fx满足罗尔定理的条件： (1) Fx在闭区间 ,
8、ab 上连续； (2) Fx在开区间 ,ab 内可导； (3) F a F b ； 所以在 ,ab 内至少存在一点 ，使得 0F ，即 0fk 从而 f b f af ba 1.3 辅助函数在柯西中值 定理证明中的应用 1.3.1 柯西中值定理 设函数 fx和 gx满足： (1)在 ,ab 上都连续； (2)在 ,ab 上都可导； (3) fx 和 gx 不同时为零； (4) g a g b ； 则存在 ,ab ，使得 f f b f ag g b g a 证明 ：作 辅助函数 f b f aF x f x f a g x g ag b g a 易见 Fx在 ,ab 上满足罗尔定理的条件，故存
9、在 ,ab ，使得 0f b f aF f gg b g a 因为 0g ，所以有 f f b f ag g b g a 二、构造辅助函数法结合微分中值命题证明分析 在众多等式命题的证明中，结合微分中值定理的命题证明占据着一个非常重要的地位，其证明的方法也是多种多样的，我们通过辅助函数构造法在一些经典例题的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路。 2.1 原函数法 其实是一种逆向思维的方法，在结合微分中值定理求解介值定理（或者零点）问题时，要证明的结论往往是一个函数的导函数的零点，这时可通过不定积分反求出原函数构造出辅助函数，这
10、个证明的步 骤： 1.将结论通过恒等变换，化为容易积分的函数形式，在结论积分不是很复杂的情况下一般常用的变换方法是移项将等式一端变换为常数 0； 2.用替换变换后等式中的变量； 3.求出原函数，则原函数即为所要构造的辅助函数； 4.最后结合微分中值定理，推导出结论来。 2.2 常数 k 值法 此法就是将含有区间端点值及端点函数值的式子记为 k ，构造辅助函数的步骤分为以下四步： （ 1）将结论变形，使常数部分分离出来并令为 k ； （ 2）恒等变形使等式一端为 a 及 ()fa构成的代数式，另一端为 b 及 ()fb构成的代数式； （ 3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式。若是，则把其中一
11、个端点设为 x ，相应的函数值改为 ()fx； (4) 端点换变量 x 的表达式即为辅助函数 ()Fx。 2.3 积分构造法 在应用微分中值定理时，结论常会出现与 ()f 或者 ()f 等有关的等式。我们将所要证明问题的结论中的 换成 x 后，移项使等式右端为 0 ，经过适当很等变形，通常等式左端即为所要构造函数 ()Fx的导函数 ()Fx 。在很多情况下我们对等式左端进行表达式积分就可以将函数 ()Fx还原出来。然后利用 ()Fx就能构造出适当的辅助函数。我们再验证辅助函数是否满足微分中值定理的条件，若满足就可以运用微分中值定理证明，这就是积分法。 2.4 待定系数法 在一些问题中，有时难以
12、用积分法直接构造出符合题设要求且满足中值定理条件的辅助函数。这时我们可以构造出含有待定系数 ()Px的辅助函数 ()Fx，然后根据其他已知条件求出待定系数 ()Px。这样就得到了符合要求的辅助函数 ()Fx，这种方法就叫做待定系数法。 2.5 观察联想法 下面我们给出一些常见的函数导数公式： (1) 1( ( ) ) ( ) ( )k k kx f x k x f x x f x； (2)2( ) ( ) ( )f x f x x f xxx ； (3)2( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )f x f x g x f x g xg x g x ； (4) ( ) ( ) ( )
13、xxe f x e f x f x ； (5) ( ) ( ) ( )xxe f x e f x f x ； 当我们通过积分法和待定系数法不容易构造出辅助函数 ()Fx时，我们可以观察所要证等式的结论形式，看它是否与我们常见的函数导数公式相似或相同。当两者相似或相同时，我们立即联想到导数公式左端括号内的函数就是我们所要构造的辅助函数 ()Fx，这就是观察联想法。 2.6 几何直观法 通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，利用拉格朗日中值定理找出适当的辅助区间，利用罗尔中值定理建立适当的辅助函数。 2.7 行列式法 在一些微积分等式命题的证明中，构造辅助函数可以利用行列式的性质及行列式
14、函数的求导公式的特点来构造辅助函数。首先将结论等式变换，使得等式一端不含有 ( ), ( )ff 等导数形式，再利用行列式构造出辅助函数例如 221 ( )( ) 1 ( )1 ( )x f xF x a f ab f b 的形式，然后对 ()Fx求导，在结合微分中值定理，继而得出结论。 因为在运用行列式构造辅助函数时，经常会利用到行列式的求导公式，所以先了解下行列式函数的求导公式。 行列式函数求导公式：设有行列式表示的函数 1 1 1 2 12 1 2 2 21 1 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( )nnn n na t a t a ta t a t a
15、 tDta t a t a t ， 其中 ( )( , 1, 2,., )ija t i j n 的导函数 ()ijat 都存在，则 11 12 121 22 21 1 2 312( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )nnnk k k kn n nna t a t a ta t a t a tdD ta t a t a tdta t a t a t 。 2.8 一般构造法 对于一般例如“ ( ) ( ) ( ) ( ) 0f P f Q 、 ( , ( ), ( ) 0ff ” 等形式，我们主要从以下的两个命题建立了证明中值问题时构造辅助函
16、数的一般构造法。 命题 1： 设 ( ) ( )( ) ( ) ( )P x d x P x d xF x f x e Q x e d x ，且满足 ()Fx在 , ab 上连续，在 (, )ab内可导， ( ) ( )F a F b ，则至少存在一点 ( , )ab ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) 0f P f Q 。 注： （ 1） ()Fx中的积分只取一个原函数； （ 2）命题中若取 ( ) ( ) 0P x Q x，即为 Rolle 定理； （ 3）命题中若取 ( ) ( )( ) 0 , ( ) f b f aP x Q x ba ，即为 Lagrange 定理； （ 4）命
17、题中若取 1 ( ) ( )( ) ( ( ) ) , ( ) 0 , ( )( ) ( )A b A af x A B x P x Q x B b B a ，即为 Cauchy定理。 命题 2： 设 ( ) ( , ( )F x G x f x ，且满足 ()Fx 在 , ab 上连续 ,在 (, )ab 内可导，( ) ( )F a F b ，则至少存在一点 ( , )ab ，使得 ( , ( ), ( ) 0ff 。 其中 ()Fx 如 下 方 式 确 定 ： 从 方 程 ( , ( ), ( ) 0x f x f x 中 求 出 通 解( , ( ), ) 0x f x C ，并解出
18、( , ( )C G x f x ，取 ( ) ( , ( )F x G x f x 。 注： 命题 2 是命题 1 的推广，因而命题 2 证明中值命题的范围更加宽广，进一步说明，我们指出，命题 1、命题 2 均可推广到二阶以及二阶以上的导数形式。 三、总结部分 本文通过辅助函数构造法在一些经典例题的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出针对有关中值定理中辅助函数构造的一些思路。 从以上的归纳中，我们了解到，辅助函数构造在解决实际的问题上起着很大的作用。根据对各种问题的 探讨，辅助函数构造法的中心思路是根据命题的条件及结论，引入适当的辅助函数，并考
19、虑在相应的区间上构造出的函数满足条件，最后选用相应的定理，推导出其结论来。当然也有些命题存在着明显的几何意义，这时只要根据其几何的表达，显然我们也会方便快捷并且一目了然的构造出辅助函数来。 辅助函数构造法在数学的发展过程中，有着非常重要的地位，许多经典的定理和公式都是运用到了辅助函数构造法再得以完美的解决，所以对辅助函数构造法的研究也应该运用到更为广泛的领域当中，它可以将未知的问题化为现有的简单的问题。本文只是着重探讨了微积分领域 中的一些辅助函数构造法的思路，现在已经有很多学者在更为广泛的数学问题中研究运用辅助函数构造法。相信辅助函数构造法的思想会继续推动着数学领域更好的发展。 四、参考文献
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