1、 I 新疆大学毕业论文 (设计 ) 题 目 : 求解热传导方程的高精度隐式差分格式 指导老师 : （讲师） 学生姓名： 所属院系： 数学与系统科学学院 专 业： 信息与计算科学 班 级： 信计 07-2 班 完成日 期： 2012 年 5 月 28 日 II 声 明 本人 郑重声明 该毕业 论文（设计） 是 本人在 老 师指导下独立完成 的，本人拥有自主知识产权，没有抄袭、剽窃他人成果，由此造成的知识产权纠纷由本人负责。 声明人（签名）： 年 月 日 同学在指导老师的指导下，按照任务书的内容，独立完成 了该毕业论文（设计），指导教师已经详细审阅该毕业论文（设计）。 指导教师（签名）： 年 月
2、日 III 新 疆 大 学 毕业论文（设计）任务书 班 级： 信计 07-2 姓 名 ： 论文（设计）题目： 求解热传导方程的高精度隐式差分格式 专 题： 毕业设计 论文（设计）来源： 教师自拟 要求完成的内容： 学习和掌握一维热传导方程已有的各种差 分格式的基础上，扩散方程对空间变量应用紧致格式离散，对时间变量应用梯形方法，构造热传导方程的精度为 24Oh 数值格式，讨论格式的稳定性，最后数值例子来验证。 发题日期： 2012 年 12 月 25 日 完成日期： 2012 年 5 月 28 日 实习实训单位： 数学学院 地点： 数 学 学 院 论文页数： 1 9 页； 图纸张数： 4 指导教
3、师 ： 老师 教研室主任 院长（系主任 ） IV 摘要 本文 首先对热传导方程经典差分格式进行复习和讨论，然后热传导方程对空间变量四阶紧致格式进行离散 ,时间变量保持不变，把一维热传导方程转化为常微分方程组的初值问题 , 再利用梯形方法构造热传导方程方程的时间二阶空间四阶精度的一种差分格式，并稳定性进行分析，数值结果与 Crank-Nicholson 格式进行比较，数值结果表明 , 该方法是有效求解热传导方程的数值计算 . 关键词 : 热传导方程 ,高精度紧 致格式 ; 梯形方法；两层隐格式 ; Crank-Nicolson 格式 ABSTRACT This paper first study
4、 on some classical finite difference for the heat conduction equation, secondely secondely we apply compact finite difference approximation of fourth order for discretizing spatial derivatives but leave the time variable Continuous. This approach results in a system of ODEs, which can then be used t
5、rapezodial formula derived fourth order in space and second order in time unconditionally stable implicit scheme .the stability and local truncation error of the obtained method are analysied. Numerical experiments shows that this method Useful, efficient method for solving diffusion equation Keywor
6、ds: Heat conduction eqution;Higher- oder compact scheme; Trapezodial formula ;Two- level implict scheme; Crank- Nicolson scheme V 目 录 引言 .1 预备知识 .2 1.扩散方程的经典差分格式 .3 1.1 显式差分格 .3 1.1.1 显式的截断误差 . .4 1.1.2 显式差分格式的稳 定性 .4 1.2 隐式差分格式 .5 1.2.1 隐式差分格式的截断误差 .5 1.2.2 隐式差分格式的稳定性 .6 1.3 Crank-Nicolson 格式 .6 1.
7、3.1 Crank-Nicolson 差分格式的截断误差 .7 1.3.2 Crank-Nicolson 差分格式的稳定性 .8 2.高精度格式的构造 .9 2.1 梯形方法 .9 2.2 本文格式的构造 .10 2.3 稳定性分析 .11 3.数值实验 .13 结论 .17 致谢 .18 参考文献 .19 1 引言 热传导方程是一类描述物理量随时间的扩散和衰减规律的抛物型微分方程自然环境、工程设备及生物机体中的许多物理现象，诸如气体的扩散、液体的渗透、热的传导、以及半导体材料中杂质的扩散等都可用热传导方程来描述由于物理问题本身的复杂性，其精确解往往不容易求得，因此研究其数值求解方法无疑具有非
8、常重要的理论意义和工程应用价值 【 1】 求解该问题的 数值方法 主要有 差分法、有限元法、边界元法等，其中有限差分方法数值求解扩散方程的应用广泛的有效地方法之一。目前求解该问题的主要的差分格式有显式格式，隐式格式， Crank-Nicolson 格式等 1,2,4。 虽然显式格式计算简单，但是稳定性有所限制，一般隐式格式和 Crank-Nicolson 格式分别为一阶和二阶精度的绝对稳定的隐式格式，还显得误差阶不够高， 得到的结果也往往不能令人满意 , 考虑到这些不足文 7中半离散方法构造 22Oh 格式结果 Crank-Nicolson 格式进行比较，在文 10待定参数法构造精度 36Oh
9、 的显式格式但是稳定性条件比较苛刻，它文的稳定性条件为2 16ar h，本文热传导方程对空间变量应用紧致格式离散，对时间变量应用梯形方法，构造热传导方程的精度为 24Oh 的绝对 稳定的隐式差分格式，并讨论了稳定性，数值值结果与经典 Crank-Nicholson 格式进行比 较，数值结果表明 ,该方法是有效求解扩散方程的数值计算 . 本文分为三 大部分，第一部分 简单介绍 热传导方程 的经典差分格式 ，第二部分主要介绍 热传导方程 的 高精度格式的构造和稳定性， 第三部分给出具体的 数值算例，结果与 Crank-Nicolson格式， 准确值进行比较 ，最后给出结论。 2 预备知识 利用下面
10、的各种数值微分公式得到不同的差分格式 111 21111 22112,2,2, 2 , ,nj n j njnj n j njnj n j njnj n j njnj n j njj n j n j nu x t u x t uOtu x t u x t uOtu x t u x t uOhhxu x t u x t uOhhxu x t u x t uOhhxu x t u x t u x t uh 22njOhx截断误差 ：一般说来，微分方程的解不会精确地满足差分方程。将差分方程中的各个项同时用微分方程的解在相应点的值代入，利用泰勒展开，就会得到一个误差项，这个误差项就是截断误差。 相容性
11、 ：若 时间步长 以及空间步长 h 同时趋于 0 ，截断误差 0njR ，就说差分格式与微分方程是相容的。一个差分格式与一个微分方程相容，则表明当0, h 时，差分算子与微分算子对任一光滑函数的作用是相同的，所以可用相容的差分格式近似相应的微分方程，而截断误差则是对这一近似程度的一个度量。 收敛性 ：考察差分格式在理论上的准确 解能否任意逼近微分方程的解。如果当时间步长 以及空间步长 h 趋于 0 时， 0),( njnjnj utxue ，我们称差分格式是收敛的，即时间步长 以及空间步长 h 趋于 0 时，差分格式的解逼近于微分方程的解。 稳定性 ：差分格式的计算是逐层计算的，计 算第 1n
12、 层上的 1nju 时，要用到第 n 层上计算出来的结果。计算 nju 时的舍入误差，必然会影响到 1nju 的值，从而就要分析这种误差传播的情况。因此，一个有实用价值的数值方法应该具有能够控制这种误差影响的性能，这就是数值方法的稳定性。 精度 ：如果一个差分格式的截断误差 )( pq hOE ， 就说差分格式对时间 t是 q 阶精度的，对空间 x 是 p 阶精度的。 Lax 等价定理 5 ： 给定一个适定的线性初值问题以及与其相容的差分 式，则差分格式的稳定性是差分格式收敛性的充分必要条件。 3 定理 1（ von Neumann条件） 微分方程的差分格式稳定的必要条件是当 0 ，Tn ,对
13、所有 Rk 有 MkGj 1),(， pj ,2,1 其中 ),( kG 为增长因子（或增长矩阵）， ),( kGj 表示 ),( kG 的特征值， M 为常数。 定理 2 如果 差分格式的增长矩阵 ),( kG 是正规矩阵，则 von Neumann 条件是差分格式稳定的必要且充分条件。 推论 2.1 当 ),( kG 为实对称矩阵，酉矩阵， Hermite矩阵时， von Neumann 条件是差分格式稳定的充分必要条件。 推论 2.2 当 1p 时，即 ),( kG 只有一个元素，则 von Neumann 条件是差分格式稳定的充要条件。 定理 3 如果存在常数 0,K 使得 KkG 1
14、),( ， 00 ， 则差分格式是稳定的。 1. 热传导方程的经典差分格式 考虑一维热传导方程的初边界问题： 22 0 , , 0( , 0 ) ( ) ,( , ) ( ) , 0( , ) ( ) , 0uu a x b ttxu x f x a x bu a t t tu b t t t 1.1 显式差分格式 我们可以对 ut 用向前差分 1, nj n j nju x t u x t u Ot 22ux用二阶差商 211 222, 2 , , nj n j n j nju x t u x t u x t u Ohhx 得到差分格式为 1 1122 0n n n n nj j j j j
15、u u u u uh (1.1.1) 4 1.1.1 显式差分格式的截断误差 证：（用 taylor展开） ( , )nj j nu u x t 1221 12( , ) ( , ) , (0 1 )2! nnnj j n j juuu u x t t u x t tt )10(!4!3!2),(),()10(!4!3!2),(),(344433322212444333222132njnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjxuhxuhxuhxuhtxutxxuuxuhxuhxuhxuhtxutxxuu把上述代入差分格式中，得截断误差为： 1 232 2 2 4 2 42 2 4 4( ,
16、 ) 2 2 4 2 4nn n n n nj j j j j ju u u h u h uk x t t t x x x )1,0().(24232,12444422222321 hoxuxuhtuxutu njnjnjnjnj 从上述可知，截断误差为 2( , ) ( )njk x t o h，它对空间方向为一阶截断误差而对时间方向为二阶截断误差。 1.1.2 显式差分格式的稳定性 证：先把差分格式公式 (1.1.1)改写为： 1 11( 2 )n n n n nj j j j ju u u u u 其中 2h 利用稳定性的 Fourier 方法，令 n n ikjhju v e ，并将它
17、代入上式就得到 1 ( 2 )n ik jh n ik jh ik j ik j nv e v e e e v 消去共因子有 1 1 ( 2 ) n ik j ik j nv e e v 由此得到增长因子 ( , ) 1 ( 2 ) ( 1 2 ) ( )( 1 2 ) 2 c o s 1 2 ( 1 c o s )ik j ik j ik j ik jG k e e e ek h k h 22s i n4012s i n4111|2s i n41|)c o s1(21|),(222khhkkhkhkG5 因为 k0,h0且 0 ，所以必然左边成立，则右边为 211212s i n12s i
18、n2 22 khkh 且 显然这个格式是相容的。它在 21 时稳定的，因为按照 Lax 定理可知；它是条件收敛的（收敛条件 21 ）。 1.2 隐式差分格式 我们可以对 ut 用向后差分， 22ux用二阶差商，得到差分格式为： 1 1122* 0n n n n nj j j j ju u u u uh (1.2.1) 1.2.1 隐式差分格式的截断误差 证：（用 taylor展开） ( , )nj j nu u x t 1221 12( , ) ( , ) , (0 1 )2! nnnj j n j juuu u x t t u x t tt 232 2 3 3 4 41 2 3 422 2
19、3 3 4 41 2 3 43( , ) ( , ) 2 ! 3 ! 4 !( 0 1 )( , ) ( , ) 2 ! 3 ! 4 !( 0 1 )n n n n nj j n j j j jn n n n nj j n j j j ju h u h u h uu u x x t u x t hx x x xu h u h u h uu u x x t u x t hx x x x 把上述代入差分格式中，得截断误差为： 1 232 2 2 4 2 42 2 4 4( , ) 2 2 4 2 4nn n n n nj j j j j ju u u h u h uk x t t t x x x )1,0().(24232,12444422222321 hoxuxuhtuxutu njnjnjnjnj从上述可知，截断误差为 2( , ) ( )njk x t o h，它对时间方向为一阶截断误差， 而对空间为二阶截断误差 。
