1、 目 录 摘 要 .1 关键词 . .1 Abstract . 1 Keywords . .1 0 前 言 . .1 1 预备知识 . .1 1. 1 变量分离 方程 .2 1. 2 恰当微分方程 .2 1. 3 积分因子 . 2 2 基本方法 . .2 2. 1 一般变量分离 .3 2. 2 齐次微分方程 .3 2. 2 .1 齐次微分方程类型一 .3 2. 2. 2 齐次微分方程类型二 . . 4 2. 3 常数变易法 . . 5 2.3.1 常数变易法一 . 5 2.3.2 常数变易法二 . . .6 2.4 积分因子求解法 . 7 2.5 恰当微分方 程求解法 . 8 3 基本方法的应
2、用 . 8 3. 1 一般变量分离方程应用 . 8 3.1.1 应用举例 . 9 3.1.2 应用举例 . . 9 3. 2 齐次微分方程应用 . 10 3.2.1 类型一应用举例 . 10 3.2.2类型一应用举例 11 3.2.3类型二应用举例 11 3.2.4 类型二应用举例 . 12 3.3 常数变易法应用 13 3.3.1 常数变易法应用举例 . . 13 3.3.2 伯努利微分方程应用举例 . 14 3. 4 利用积分因子求解 . . . 1 4 3. 5 利用 恰当微分方程 求解 . . 1 5参考文献 . . 16 一阶常微分方程初等解法 摘 要 : 本文对一阶微分方程的初等解
3、法进行归纳与总结 ,同时 简要分析了变量分离 ,积分因子 ,恰当微分方程 等各类初等解法 .并且结合例题演 示了如何把常微分方程的求解问题化为积分问题 ,进行求解 . 关键词 : 一阶常微分方程 ;变量 分离 ;恰当微分方程 ;积分因子 The Fundamental methods of the first-order ordinary differential equation Abstract: In this thesis, we summarize the fundamental methods of the first-order ordinary differential equ
4、ation. At the same time, we analysis the various types of fundamental methods such as the separation of variables, integrating factor and the exact differential equation. Combined with examples, we show how the ordinary differential equations solve problems by transforming them into the problems of
5、integration. Key Words: first-order ordinary differential equation; separation of variables; exact differential equation; integrating factor 0 前言 常微分方程在微积分概念出现后即已出现 ,对常微分方程的研究也可分为几个阶段 .发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解 ,属于 “求通解 ”时代 .莱布尼茨曾专门研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题 ,而欧拉则试图用积分因子处理 .但是求解热潮最终被刘维尔证明里卡蒂方程不存在一般
6、初等解而中断 .加上柯西初值问题的提出 ,常微分方程从 “求通解 ”转向 “求定解 ”时代 .在 20世纪六七十年代以后 ,常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期 ,从求 “求所有解 ”转入 “求特殊解 ”时代 ,发现了具有新性质的特殊的 解和方程 ,如混沌（解）、奇异吸引子及孤立子等 . 常微分方程的研究还与其他学科或领域的结合而出现各种新的分支 ,如控制论、种群分析、种群生态学、分支理论、泛函微分方程、脉冲微分方程等 . 总之 ,常微分方程属于数学分析的一支 ,是数学中与应用密切相关的基础学科 ,其自身也在不 断发展中 ,学好常微分方程基本理论和实际应用均非常重要 .因此本文对一阶常
7、微分方程的初等解法进行了简要的分析 ,同时结合例题 ,展示了初等解法在解题过程中的应用 . 1 预备知识 1. 1 变量分离方程 形如 ( ) ( )dy f x ydx , (1. ) 的方程 ,称为变量分离方程 , ()fx, ()y 分别是 x ,y 的连续函数 .这是一类最简单的一阶函数 . 如果 ( ) 0y ,我们可将 (1 )改写成 ()()dy f x dxy ,这样变量就分离开来了 .两边积分 ,得到 ()()dy f x dx cy , c 为任意常数 .由该式所确定的函数关系式 ( , )y y xc 就是常微分方程 (1)的解 . 1.2 恰当微分方程 将方程 ),(
8、yxfdxdy , 写成微分的形式 ,得到 0),( dydxyxf , 或把 x ,y 平等看待 ,写成下面具有对称形式的一阶微分方程 0),(),( dyyxNdxyxM , (1.2) 如果方程 )2( 的左端恰好是某个二元函数 ),( yxu 的全微分 ,即 , , , uuM x y d x N x y d y d u x y d x d yxy , 则称方程 )2( 就是恰当微分方程 . 1.3 积分因子 如果存在连续可微函数 ,0xy,使得 , , , , 0x y M x y d x x y N x y d y 为一恰当微分方程 ,即存在函数 u ,使 Mdx Ndy du,
9、则称 ,xy 为方程 , , 0M x y d x N x y d y的积分因子 . 2 基本方法 2.1 一般变量分离 ( ) ( )dy f x ydx , )1.2( 的方程 ,称为变量分离方程 , ()fx, ()y 分别是 x ,y 的连续函数 .这是一类最简单的一阶函数 . 如果 ( ) 0y ,我们可将 )1.2( 改写成 ()()dy f x dxy , 这样 ,变量就分离开来了 .两边积分 ,得到 ()()dy f x dx cy . )2.2( 这里我们把积分常数 c 明确写出来 ,而把 )(ydy, dxxf )( 分别理解为)(1y, )(xf 的原函数 .常数 c 的
10、取值必须保证 )2.2( 有意义 ,如无特别声明 ,以后也做这样理解 . 因 )2.2( 式不适合 0)( y 情形 .但是如果存在 0y 使 0)( 0 y ,则直接验证知 0yy 也是 )1.2( 的解 .因此 ,还必须寻求 0)( y 的解 0y ,当 0yy 不包括在方程的通解 )2.2( 中时 ,必须补上特解 0yy 2.2 齐次微 分方程 2.2.1 齐次微分方程类型一 形如 )(yxgdxdy , 的方程 ,称为奇次微分方程 ,这里 )(ug 是 u 的连续函数 . 作变量变换 xyu , 即 uxy ,于是 udxduxdxdy . 代入原方程可得 )(ugudxdux , 整
11、理后 ,得到 x uugdxdu )( . )3.2( 因 )3.2( 是一个变量分离方程 .则可按照变量分离方法求解 ,然后代回原来的变量 ,即可得到原方程的解 2.2.2 齐次微分方程类型二 形如 222111 cybxa cybxadxdy , )4.2( 的方程不可直接进行变量 分离 ,但是可以经过变量变换后化为变量分离方程 ,这里1a , 1b , 1c , 2a , 2b , 2c 均为常数 . 可分为三种情况来讨论 : 1 kccbbaa 212121 (常数 )的情形 这时 方程可化为 kdxdy , 有通解 ckxy , 其中 c 为任意常数 . 2212121 cckbba
12、a 的情形 . 令 ybxau 22 ,这时有 212222 cu ckubadxdybadxdu . 是变量分离方程 32121 bbaa 及 21,cc 不全为零的情形 因为方程右端分子 ,分母都是 yx, 的一次多项式 ,因此 .0,0222111 cybxa cybxa 代表 Oxy 平面上两条相交的直线 ,设交点为 , ,若令 ,yY xX则 方程可 化为 ,0,0221 1 ybxa ybxa 从而 方程 )4.2( 变为 .22 11 XYgYbXa YbXadXdY 因此 ,求解上述变量分离方程 ,最后代回原方程 ,即可得到原方程的解 . )4( 021 cc 的情形 此时直接
13、变换 xyu 即可 2.3 常数变易法 2.3.1 常数变易法一 一阶线性微分方程 ,xQyxPdxdy 其中 xQxP , 在考虑的区间上是 x 的连续函数 ,若 Q 0x ,方程 变为 ,yxPdxdy 称 其 为一阶齐次线性微分方程 ,若 ,0xQ 称 其 为一阶非齐次线性微分方程 .变易分离方程 ,易求得它的通解为 , dxxPcey 这里 c 是任意常数 . 现在讨论非齐次线性方程的通解的求法 . 不难看出 ,是特殊情形 ,两者既有联系又有差别 ,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别 ,现试图利用方程的通 解的形式去求出方程的通解 ,显然 ,如果中 c 恒保持为常数 ,它
14、们不可能是的解 .可以设想在中将常数 c 变易为 x 的待定函数 ,使它满足方程 ,从而求出 ,xc 为此 ,令 ,dxxPexcy 两边同时微分 ,得到 .dxxPdxxP exPxcedx xdcdxdy 代入 原方程 ,得到 ,xQexcxPexPxcedx xdc dxxPdxxPdxxP 即 , dxxPexQdxxdc 两边同时 积分 ,得到 ,1cdxexQxc dxxP 这里 1c 是任意常数 ,求 得到 .1 cdxexQey dxxPdxxP 就是方程的通解 . 这种将常数变为待定函数的方法通常被称之为常数变易法 . 2.3.2 常数变易法二 形如 nyxQyxPdxdy
15、)()( , )5.2( 的方程 ,称为伯努利方程 ,这里 )(xP , )(xQ 为 x 的连续函数 ,n 0 ,1是常数 . 利用变量变换可将伯努利微分方程化为线性微分方程 .事实上 ,对于 0y ,用 ny 乘)5.2( 的两边 ,得到 )()(1 xQxPydxdyy nn , 引入变量变换 nyz 1 , 从而 dxdyyndxdz n )1( . 代入方程 )5.2( ,得到 )()1()()1( xQnzxPndxdz , 这是线性微分方程 ,可按照前面介绍的方法来求出它的通解 ,然后代换原来的变量 ,便得到方程的通解 . 此外 ,当 0n 时 ,方程还有解 0y . 2.4 积
16、分因子求解 法 函数 ,xy 为 , , 0M x y d x N x y d y积分因子的充要条件是 ( ) ( )MNyx , 即 ()MNNMx y y x . 假设原方程存在只与 x 有关的积分因子 x ,则 0x ,则 为原方程的积分因子的 充要条件是 ()MNx y x ,即 ()MNyxx N 仅是关于 x 的函数 .此时可求得原方程的一个积分因子为 x dxe .同样有只与 y 有关的积分因子的 充要条件是 ()MNyxy M 是仅为 y 的函数 ,此时可求得方程的一个积分因子为 y dye 2.5 恰当微分方程求解 对于 一阶微分方程 , , 0M x y d x N x y d y, 若有 MNyx,则该方程必为恰当微分方程 . 下面 讨论如何求得该恰当微分方程的解 . 把 ,u M x yx 看作只关于自变量 y 的函数 ,对它积分可得 ,u M x y dx y 由此式可得 Ndy yddxyxMyyu )(),( , 由此可得 dxyxMyNdy yd ),()( , 又因为 ),(),( dxyxMyxxNdxyxMyNx ),( dxyxMxyxN0 yMxN, 故等式右边只含有 y ,积分可得
