1、 1 / 12 2017届广东省清远市第三中学高三上学期期中考试文科数学试卷 一、单选题（共 12小题） 1 已知集合 ， ，则 （ ） A（ 1， 3） B（ 1， 4） C（ 2， 3） D（ 2， 4） 考点： 集合的运算 答案： D 试题解析： 因为 所以 2 已知向量 ，若 ，则 （ ） A -8 B C D 8 考点： 平面向量坐标运算 答案： A 试题解析： 因为 ，所以 所以 3 设 ，则 “ ”是 “ ”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 考点： 充分 条件与必要条件 答案： A 试题解析： 当 时， 成立；当 时， 或 所以 “
2、 ”是 “ ”的充分非必要条件 . 4 为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有的点（ ） A向左平行移动 个单位长度 B向右平行移动 个单位长度 2 / 12 C向上平行移动 个单位长度 D向下平行移动 个单位长度 考点： 三角函数图像变换 答案： A 试题解析： 函数 y=sinx的图象向左平行移动 个单位长度，得到函数 y=sin 的图象 . 5 在 中， ， 边上的高等于 ，则 （ ） A B C D 考点： 解斜三角形 答案： D 试题解析： 如图，设 则 因为 所以 所以 在 中， 所以 6 已知 ，则（ ） A B C D 考点： 指数与指数函数 答案： A 试题解析： 因
3、为 是增函数，所以 . 3 / 12 7 函数 的部分图象如图所示，则（ ） A B C D 考点： 三角函数的图像与性质 答案： A 试题解析： 由图得： 所以 因为 所以 所以 把点 代入得： 所以 即 所以 8 已知 a是函数 的极小值点，则 a=（ ） A -4 B -2 C 4 D 2 考 点： 利用导数求最值和极值 答案： D 试题解析： 所以 的增区间是 减区间是 所以极小值点 9 已知 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增，若实数 满足，则 的取值范围是（ ） A B 4 / 12 C D 考点： 函数的奇偶性 答案： C 试题解析： 因为 是定义在 上的偶函数， 所以由
4、 得： 所以 因为 在 上单减， 所以 即 10 的内角 A、 B、 C的对边分别为 已知 ， ， ，则 （ ） A B C 2 D 3 考点： 余弦定理 答案： D 试题解析： 因为 ，所以 即 解得 11 等比数列 的 各 项 均 为 正 数 ， 且 ，则（ ） A 12 B 10 C D 考点： 等比数列 答案： B 试题解析： 因 为 等 比 数 列 ，所以 ，5 / 12 12 下列函数中，其定义域和值域分别与函数 的定义域和值域相同的是（ ） A B C D 考点： 函数的定义域与值域 答案： D 试题解析： 函数 的定义域和值域都是 ， A：定义域和值域都是 B：定义域 ,值域
5、C：定义域 值域 , D：定义域和值域都是 ,所以选 D. 二、 填空题（共 4小题） 13. 中， ，则 _ 考点：正弦定理 答案： 或 试题解析：因为 所以 所以 所以 14.函数 的图像，其部分图象如图所示，则 _. 考点：三角函数的图像与性质 6 / 12 答案： 试题解析：因为 所以 所以 把点 代入， 所以 即 所以 15.一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，体积为 ，则它的表面积为 _. 考点：空间几何体的表面积与体积 答案： 试题解析：设棱长为 则 所以 所以 所以表面积 16.已知数列 的通项公式是 ，则 . 考点：倒序相加，错位相减 ，裂项抵消求和 答案： 试题解析：因为
6、，所以 所以三、 解答题（共 7小题） 17.已知函数 . （ 1）求 的最小正周期； 7 / 12 （ 2）求 在区间 上的最大值和最小值 考点：三角函数综合 答案：见解析 试 题 解 析 ： （ 1 ） 因 为所以函数 的最小正周期为 （ 2）由（ 1）的计算结果知， 当 时， 由正弦函数 y sin x在 上的图象知， 当 ，即 时， 取最大值 当 ，即 时， 取最小值 0. 18. 在 中 ， 角 所 对 的 边 分 别 为 ， 满 足. （ 1）求角 的大小； （ 2）若 ，且 的面积为 ，求 的 值 考点：解斜三角形 答案：见解析 试题解析：（ 1） ABC中，由 ， 利用正弦定理
7、可得 ， 即 . 再利用余弦定理可得， 8 / 12 （ 2）由（ 1）可得 ， 又 , . 由 及 可得： 所以 19.已知 是递增的等差数列， 是方程 的根 （ 1）求 的通项公式； （ 2）求数列 的前 项和 考点：倒序相加，错位相减，裂项抵消求和 答案：见解析 试题解析：（ 1）方程 x2 5x 6 0的两根为 2,3， 由题意得 设数列 的公差为 d，则 故 ，从而 所以 an的通项公式为 （ 2）设 的前 n项和为 Sn，由（ 1）知 则 （ 1） 两边同乘以 得： （ 2） （ 1）式 -（ 2）式得 所以 20.某企业 2008 年的纯利润为 500 万元，因设备老化等原因，企
8、业的生产能力将逐年下降 .若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元，今年初该企业一次性投入资金 600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第 n年（今年为9 / 12 第一年）的利润为 万元（ n为正整数） . （ 1）设从今年起的前 n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 万元，进行技术改造后的累计纯利润为 万元（须扣除技术改造资 金），求 的表达式； （ 2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？ 考点：数列综合应用 答案：见解析 试题解析：（ 1）依题意知，数列 是一个以 500
9、为首项， 20 为公差的等差数列，所以（ 2）依题意得， ，即 ， 可化简得 ， 可设 ， 又 可得 是减函数， 是增函数， 又 则 时不等式成立，即至少经过 4年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润 . 21.已知函数 ，直线 . （ ）求函数 的极值； （ ）求证：对于 任意 ，直线 都不是曲线 的切线； （ ）试确定曲线 与直线 的交点个数，并说明理由 . 考点：导数的综合运用 答案：见解析 10 / 12 试题解析：（ ）函数 定义域为 ， 求导，得 ， 令 ，解得 当 变化时， 与 的变化情况如下表所示： 所以函数 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ， 所以函数 有极小值 ，无极大值 （ ）证明：假设存在某个 ，使得直线 与曲线 相切， 设切点为 ，又因为 ， 所以切线满足斜率 ，且过点 ， 所以 ， 即 ，此方程显然无解， 所以假设不成立 所以对于任意 ，直线 都不是曲 线 的切线 . （ ） “曲线 与直线 的交点个数 ”等价于 “方程 的解的个数 ”. 由方程 ，得 . 令 ，则 ，其中 ，且 . 考察函数 ，其中 ，
