1、 黄冈市 2016 年秋季高二年级期末调研考试 数学试题 (文科 ) 一、选择题： 1某市有大、中、小型商店共 1500 家，它们的家数之比为 1 5 9，要调查商店的每日零售额情况，要求从中抽取 30 家商店进行调查，则大、中、小商店分别抽取家数是 A 2， 10， 18 B 4， 10， 16 C 10， 10， 10 D 8， 10， 12 2已知椭圆 x225y2m2 1(m 1)的左焦点为 F1( 4， 0)，则 m 的值为 A 9 B 4 C 3 D 2 3如图，茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名学生在一次英语听 力测试中的成绩。已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据 的平均数为 1
2、6.8，则 x， y 的值分别为 A 2， 5 B 5， 5 C 5， 8 D 8， 8 4已知命题 p： x 0，命题 q： 1x 0，则 P 是 q 的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5从 1， 2， 3， 5 这四个数字中任意选出两个数字，则这两个数字之和是偶数的概率为 A 23 B 12 C 13 D 16 6下列说法中正确的有 (1) 命题“若 x2 3x+2 0，则 x 1”的逆否命题为“若 x 1，则 x2 3x+2 0”； (2) “ x 2”是“ x2 3x+2 0”的充分不必要条件； (3) 命题 p： x0 R， x20 x0 1
3、 0，则 p： x R， x2 x 1 0； (4) 若“ p q”为假命题，则 p， q 均为假命题 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 7执行右方的程序框图，若输出 S 2550，则判断框处为 A k 50？ B k 51？ C k 50？ D k 51？ 8已知抛物线 y2 2px(p 0) 上 一点 M 到焦点 F 的距离 等于 2p，则直线 MF 的斜率为 A 33 B 34 C 1 第 3题图 9 9 0 x 2 1 5 y 8 7 2 4 4 甲组 乙组 D 3 9若直线 mx ny 2 0(m 0， n 0)截得圆 (x 3)2 (y 1)2 1 的弦长为 2，则
4、1m 3n的 最小值为 A 4 B 12 C 16 D 6 10点 P 是双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)与圆 x2 y2 a2 b2在第一象限的交点， F1， F2分别为双曲线左，右焦点，且 |PF1| 3|PF2|，则双曲线的离心率为 A 5 B 52 C 10 D 102 11右图是函数 y f(x)的导函数 y f (x)的图象，给出下列命题： 3 是函数 y f(x)的极小值点； 1 是函数 y f(x)的极小值点； y f(x)在 x 0 处切线的斜率小于零； y f(x)在区间 ( 3， 1)上单调递增 则正确命题的序号是 A B C D 12函数 y f(x)是
5、 R 上的可导函数，且 f(1) 1， f (x) f(x)x 0，则函数 g(x) f(x) 1x在 R 上的零点个数为 A 3 B 2 C 1 D 0 二、填空题： 13函数 y x2 x 1 在 (1， 1)处的切线方程为 _ 14已知椭圆 x236y29 1 以及椭圆内一点 P(4， 2)，则以 P 为中点的弦所在直线的斜率为_ 15已知集合 A x | 2x2 x 3 0， B x | y lg1 xx 3 ， 在区间 ( 3， 3)上任取一实数 x，则 x (A B)的概率为 _ 16在平面直角坐标系 XOY 中，圆 C 的方程为 x2 y2 8x 15 0，若直线 y kx 2
6、上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是_ 三、解答题： 17已知 p：“直线 x y m 0 与圆 (x 1)2 y2 1 相离”； q：“方程 x2 x m 4 0 的两实根异号”若 p q 为真，且 p 为真，求实数 m 的取值范围 18一个袋中装 有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1， 2， 3， 4 (1) 从袋中不放回随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率； (2) 先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 n，求 n m 2 的概率 19随着移动互联网的发
7、展，与餐饮美食相关的手机 APP 软件层出不穷，现从使用 A 和 B两款订餐软件的商家中分别随机抽取 50 个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下： (1) 试估计使用 A 款订餐软件的 50 个商家的“平均 送达时间”的众数及平均数； (2) 根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答以下问题： 能否认为使用 B 款订餐软件“平均送达时间”不超过 40 分钟的商家达到 75 ？ 如果你要从 A 和 B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？并说明理由 20在平面直角坐标系 XOY 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2，在 y 轴上截得线段长为 2 3
8、 (1) 求圆心 P 的轨迹方程； (2) 若 P 点到直线 y x 的距离为 22 ，求 圆 P 的方程 21设椭圆 E： x2a2y2b2 1 (a b 0)的离心率 e12，右焦点到直线xayb 1的距离 d217 ，O 为坐标原点 (1) 求椭圆 E 的方程； (2) 过点 O 作两条互相垂直的射线，与椭圆 E 分别交于 A， B 两点，求点 O 到直线 AB的距离 22已知函数 f(x) lnx ax，其中 a R (1) 当 a 2 时，求函数的 图象在点 (1， f(1)处的切线方程； (2) 如果对于任意 x (1， )，都有 f(x) x 2，求 a 的取值范围 参考答案 2
9、016 秋黄冈市高二期末 调研 考试数学答案 (文科 ) 一、选择题： 1 A 【解析】 有大型、中型与小型商店共 1500 家，它们的家数之比为 1： 5： 9 用分层抽样抽取其中的 30 家进行调查， 大型商店要抽取 30 115 2，中型商店要抽取30 515 10，小型商店要抽取 30 915 18故选 A 考点：分层抽样方法 2 C 【解析】由题意得： m2 25 42 9，因为 m 0，所以 m 3，故选 C 考点：椭圆的简单几何性质 3 C 【解析】根据中位数的定义， x 5，平均数是 9 15 10 y 18 245 16 8，解得： y 8 故选 C 考点： 1茎叶图； 2样
10、本数字特征 4 C 【解析】 利用充分条件与必要条件求解 由 p： x 0 p： x 0， 由 1x 0x 0， 所以 p 是 q 充要条件故选 C 5 B 【解析】 从 1， 2， 3， 5 中任意取出两个数的方法有 (1， 2)， (1， 3)， (1， 5)， (2， 3)， (2，5)， (3， 5)，共 6 种，其和为偶数的有 (1， 3)， (1， 5)， (3， 5)，共 3 种，则所求的概率为3612故选 B 6 C 【解析】 正确； 由 x2 3x 2 0 可以得出 x 2 或 x 1，由 x 2 一定可以得出 x2 3x 2 0，故 “ 2x ” 是 “ x2 3x 2 0
11、” 的充分不必要条件，正确； 正确； 若 p q 为假命题，则 p， q 中至少有一个假命题，故 错误，故选 C 7 A 【解析】根据题意可知该循环体执行以下计算： 第一次： s 2， k 2；第二次： s 2+4， k 3； 第三次： s 2+4+6， k 4；第四次： s 2+4+6+8， k 5； 计算至 k 50 时 S 2550，随后 k 51，则判断框里面应该填写 k 50？ ， 故选 A 8 D 【解析】 利用抛物线的定义解题设 M(x， y)， F p2， 0 ，由抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，可知 ppx 22 ，故 x 32p，由 y2 2p 32p，知 y
12、3p，故kMF 3p 032pp2 3，当 M 32p， 3p 时， kMF 3p 032pp2 3，故 kMF 3故选 D 9 D 【解析】 直线截得圆的弦长为直径， 直线 mx ny 2 0 过圆心 ( 3， 1)，即 3m n 2 0， 3 m n 2， 1m 3n 1m 3n 3m n2 3 12 2 nm 9mn 6， 当且仅当 nm 9mn 即m 13，n 1.时取等号，故选 D 考点： 直线与圆的位置关系及基本不等式的应用 10 D 【解析】依据双曲线的定义： |PF1| |PF2| 2a，又 |PF1| 3|PF2| |PF1| 3a， |PF2| a， 圆 x2 y2 a2
13、b2的半径 r a2 b2 c F1F2是圆的直径， F1PF2 90 在直角三角形 F1PF2中，由 (3a)2 a2 (2c)2， 得 e ca 102 故选 D 考点：双曲线的简单性质 11 A 【解析】根据导函数图象可知当 x( ， 3)时， f(x) 0，在 x( 3， 1)时， f(x)0 函数 y f(x)在 ( ， 3)上单调递减，在 ( 3， 1)上单调递增，故 正确，则 3 是函数y f(x)的极小值点，故 正确， 在 ( 3， 1)上单调递增 1 不是函数 y f(x)的极小值点，故 不正确； 函数 y f(x)在 x 0 处的导数大于 0， 切线的斜率大于零，故 不正确
14、故选 A 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件 12 C 【解析】 x 0 时， f (x) f(x)x 0， x f (x) f(x)x 0，则讨论 f(x) 1x 0 的根的个数转化为求 xf(x) 1 0 的根的 个数设，则当 x 0 时， F (x) x f (x) f(x) 0，函数 F(x) xf(x) 1 在 (0， )上单调递增， 故 F(x)在 R 上至多有一个零点，又 F(1) 1 f(1) 1 1 ( 1) 1 0，即 x 1 为函数 F(x)的零点，这是函数 F(x)的唯一零点，所以 选 C 考点：函数的零点与方程根的
15、联系，导数的运算 二、填空题： 13 【答案】 12 【解析】设弦的端点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 8， y1 y2 4，把两点坐标代入椭圆方程后将两式相减得： (x1 x2)( x1 x2)36 (y1 y2)( y1 y2)9 0 所以 2(x1 x2)9 4(y1 y2)9 所以 k y1 y2 x1 x2 12 14 【答案】 ( ， 1) 【解析】依题意得关于 x 的方程 x2 a 1 没有实数解，因此 a 1 0，即 a 1 15 【答案】 13 【解析】依题意可得 A 1， 32 ， B ( 3， 1)，故 A B ( 1， 1)，又由 x ( 3
16、，3) 则 p(x A B) 26 13 16 【答案】 43 【解析】根据题意， x2 y2 8x 15 0 化成标准形式为 (x 4)2 y2 1，得到该圆的圆心为 (4， 0)，半径为 1，若直线 y kx 2 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1为半径的圆与圆 C 有公共点，只需要圆心 (4， 0)到直线 y kx 2 的距离 d 1 1 2即可，所以有 d |4k 2|k2 1 2，化简得 k(3k 4) 0，解得 0 k 43，所以 k 的最大值为 43 17 1 2， 1 2 【解析】 p q 错误 !未找到引用源。 为真， p 错误 !未找到引用源。 为真， 错误 !未找到引
17、用源。 假 q 真 2 分 若 错误 !未找到引用源。 为假：由圆心 错误 !未找到引用源。 到直线的距离 错误 !未找到引用源。 不大于半径 错误 !未找到引用源。 ，即 d |1 m|2 1错误 !未找到引用源。 ， 1 2 m 1 2 5 分 若 错误 !未找到引用源。 为真：由韦达定理知： x1x2 m 4 0 错误 !未找到引用源。且 0 即 m 4 错误 !未找到引用源。 8 分 所以当 p 错误 ! 未 找 到 引 用 源 。 假 q 真 时 ， 可 得 ：1 2 m 1 2 9 分 故 错误 !未找到引用源。 的取值范围是： 1 2， 1 2 错误 !未找到引用源。 10 分
18、考点：复合命题的真假 18 13 1316 【解析】 从袋中随机抽取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有 1 和 2， 1 和 3， 1 和 4，2 和 3， 2 和 4， 3 和 4，共 6 个 从袋中取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有 1 和 2， 1 和 3 两个 因此所求事件 的概率 p 26 13 6 分 先从袋中随机取一个球，记下编号为 m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为 n，其一切可能的结果 (m， n)有： (1， 1)， (1， 2)， (1， 3)， (1， 4)， (2， 1)， (2， 2)， (2， 3)， (2， 4)， (3， 1)， (3，
19、2)， (3， 3)， (3， 4)， (4， 1)， (4， 2)， (4， 3)， (4， 4)，共 16 个 又满足条件 2mn 的事件为 (1， 3)， (1， 4)， (2， 4)，共 3 个， 所以满足条件 2mn 的事件的概率为 p_x001F_1 316 故满足条件 2nm+的事件的概率为 1 p1 1 316 131612 分 19 (1)众数为 55 平均数为 40 (2) 使用 B 款订餐软件 “ 平均送达时间 ” 不超过 40 分钟的商家达到 75% 选 B 款订餐软件 【解析】 依题意可得，使用 A款订餐软件的 50个商家的 “ 平均送达时间 ” 的众数为 55(分钟
20、 ) 使用 A 款订餐软件的 50 个商家的 “ 平均送达时间 ” 的平均数为 15 0.06 25 0.34 35 0.12 45 0.04 55 0.4 65 0.04 40 ( 分钟 ) 5 分 使用 B 款订餐软件 “ 平均送达时间 ” 不超过 40 分钟的商家的比例估计值为 %.75%8080.056.020.004.0 故可认为使用 B 款订餐软件 “ 平均送达时间 ” 不超过 40 分钟的商家达到75% 8 分 使用 B 款订餐软件的 50 个商家的 “ 平均送达时间 ” 的平均数为 403502.06504.05514.04556.0352.02504.015 ， 所以选 B
21、款订 餐软件 12 分 (注：本小题答案开放，只要能够按照统计知识合理作答，即给满分，如以下回答也符合要求根据样本估计总体的思想可知，使用 A 款订餐软件的商家的 “ 平均送达时间 ” 在30 分钟内的概率为 0 4，使用 B 款订餐软件的商家的 “ 平均送达时间 ” 在 30 分钟内的概率为 0 24，所以可选 A 款订餐软件 ) 20 (1)221yx (2) 221 3 -1 3或x y x y 【解析】 (1)设 ,Pxy， 圆 P 的半径为 r 由题设2 2 2 22 , 3 .y r x r 从而23 故 P 点的轨迹方程为 y2 x2 1 4 分 (2)设0000 2( , )
22、, .22由 已 知 得 xyp x y 又 P 点在双曲线 y2 x2 1 上，从而得 0022001,1,xy 即 x0 y0 1，y20 x20 1. 得 x0 0，y0 1. 此时，圆的半径 r 3 则圆的方程为 x2 (y 1)2 3 7 分 x0 y0 1，y20 x20 1. 得 x0 0，y0 1. 此时，圆的半径 r 3 则圆的方程为 x2 (y 1)2 310 分 故圆 P 的方程为 x2 (y 1)2 3 或 x2 (y 1)2 3 12 分 考点：圆的标准方程、点到直线距离公式 21 () x24y23 1 ； ()2 217 【解析】 () 因为椭圆 E： x2a2y
23、2b2 1 (a b 0)的离心率 e12，可得 3a2 4b2由右焦点 (c， 0)到直线 xa yb 11 的 距 离 d 217 ，联立解得 a 2， b 3 所 以 椭 圆 C 的 方 程 为x24y23 1 5 分 () 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 当过 A， B 两点斜率存在时，设斜率为 k，则设直线 AB 的方程为 y kx m 将其与椭圆 x24y23 1 联立消去 y，得： (3 4k2)x2 8kmx 4m2 12 0 x1 x2 8km3 4k2， x1x2 4m2 123 4k2 OAOB ， x1x2 y1y2 0 x1x2 (kx1 m)(kx2
24、 m) 0， (1 k2)x1x2 km(x1 x2) m2 0 (1 k2)4m2 123 4k2 8k2m23 4k2 m2 0 若过 A， B 两点斜率不存在时，检验满足 整理得 7m2 12(k2 1)点 O 到直线 AB 的距离 d |m|k2 1 2 217 12 分 考点：求椭圆的方程及直线和椭圆的综合问题 22 ( 1) 3x y 5 0； (2)a 1 【解析】 (1)当 2a 时，由已知得 f(x) lnx 1x，故 f (x) 1x 2x2， 2 分所以 f (1) 1 2 3，又因为 f(1) ln1 21 2， 所以函数 f(x)的图象在点 (1， f(1)处的切线方程为 y 2 3(x 1)， 即 3 5 0xy ； 4 分 (2)由 ( ) 2f x x ，得 ln 2axxx ，又 (1, )x ， 故 2ln 2a x x x x 6 分 设函数 2( ) ln 2g x x x x x ， 则 1( ) l n 2 2 l n 2 1g x x x x x xx 7 分 因为 (1, )x ， 所以 ln 0x ， 2 1 0x ， 所以当 (1, )x 时， ( ) ln 2 1 0g x x x ， 9 分 故函数 ()gx 在 (1, ) 上单调递增 所以当 (1, )x 时， ( ) (1 ) 1 l n 1 1 2 1 1g x g
