1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 届高 考理科数学 第一次模拟考试 （理科数学试题卷） 本试卷分第 1 卷（选择题）和第 2 卷（非选择题）两部分，第 1 卷 l 至 2 页，第 2 卷 3 至 4页，共 150 分 第 1 卷 考生注意： 1答题前，考生务必将自己的学校、准考证号、姓名填写在答题卡上 2第 1 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 .第 2 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答 .若在试题卷上作答，答案无效 . 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球的表面积公式 P（ A B） P
2、（ A） P（ B） S 4 R2 如果事件 A、 B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 P（ A B） P（ A） P（ B） 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 V 34 R3 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 Pn（ k） Ckn Pk （ 1 一 P） kn 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 若复数 2911 iz i （其中 i 为虚数单位），则 1z 等于 A 0 B 1 C 2 D 2 2. 已知 na 是等差数列 , 1 15a
3、 , 5 55S , 则过点 2(3, )Pa， 4(4, )Qa的直线的斜率为 A 4 B 41 C 4 D 14 HCBA3. 91xx的展开式的第 3 项是 A 384x B 384x C 536x D 536x 4函数 3sin(2 )3yx的图象按向量 a 平移后所得的图像关于点 ( ,0)12 中心对称，则向量 a 的坐标可能为 A ( ,0)12 B ( ,0)6 C ( ,0)12 D ( ,0)6 5. 如图，在 ABC 中， 1tan22C ， 0AH BC，则过点 C ，以 ,AH为 两焦点的双曲线的离心率为 A 2 B 2 6 将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，
4、当以 A、 B、 C、 D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线 AD 与 BC 所成的角为 A 6 B 4 C 3 D 2 7. 若直线 4mx ny和 22:4O x y没有交点，则过点 ( , )mn 的直线与椭圆22194xy的交点个数为 A 至多一个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 8 已知二次函数 2()f x ax bx c 的导函数 ()fx 满足： (0) 0f ，若对任意实数 x ，有 ( ) 0fx ，则 (1)(0)ff的最小值为 A 52 B 3 C 32 D 2 9. 已知平面 与 所成的角为 08, P 为 ,外一定点，过点 P 的直线与 ,所成角都是 03
5、0 ，则这样的直线有且仅有 A 1 条 B 2条 C 3条 D 4条 10 已知函数 3 3f x x x（ ） = ，过点 1.m 可作曲线 y f x（ ） 的三条切线，则 m 的取值范C 3 D 3 围是 A 3, 2 B 2,3 C 1,2 D 1,1 11. 若自然数 n 使得作竖式加法 12n n n 均不产生进位现象 ,则称 n 为“可连续” .例如： 32 是“可连续” ,因 32 33 34 不产生进位现 象； 23 不 是“可连续” ,因 23+24+25产生进位现 象 .如果 自然数 1000,10000n ,那么 ,“可连续” 自然数 n 的个数为 A 27 B 36
6、C 72 D 144 12 如图，有一面墙（墙的长度足够长），在墙边 P、 Q 处各有一棵树与墙的距离均为 2m ,P、 Q 两棵树 之间的距离为 (0 12),am a 不考虑树的粗细，现在想用 16m 长的篱笆，借助这面墙围成一个矩形的花圃 ABCD ，设此矩形花圃最大面积为 S ,若将这两棵树围在花圃内，则函数 ()S f a （单位 2m ）的图像大致是 第 2 卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分请把答案填在答题卡上 13. ABC 中，三内角 ,ABC 所对边的长分别为 ,abc，已知 60B，不等式2 6 8 0xx 的解集为 | x a x c ，则
7、 b 14. 已知集合 RyxyxyxA ,1,1|),( , 22 ( , ) | ( ) ( ) 1 , , ,B x y x a y b x y R ( , )a b A ,则集合 B 所表示的图形的面积是 . 15. 已知 12 1( 0 , 0 ),mnmn 当 mn 取得最小值时，直线 22yx 与曲线xxm 1yyn 的交点个数为 16. 对一切实数，令 x 为不大于 x 的最大整数，则函数 ( ) f x x 称为高斯函数或取整函数 .若 *( ), ,10nnna f n N S为数列 na 的前 n 项和，则 20092010S = . 三、解答题：本大题共 6 小题，共
8、74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. 已知 2 c o s , ta n , 2 sin , ta n .2 2 4 2 4 2 4x x x xab 令 .f x a b （ 1） 求 fx的单调增区间； （ 2） 若 0, )2x 时， 1f x m恒成立，求 m 的取值范围 . 18. 美国次贷危机引发 2008 年全球金融动荡，波及中国股市，甲、乙、丙、丁四人打算趁目前股市低迷之际“抄底”， .若四人商定在圈定的 6 只股票中各自随机购买一只（假定购买时每支股票的基本情况完全相同） . （ 1） 求甲、乙、丙、丁四人恰好买到同一只股票的概率； （ 2） 求甲、乙、丙、
9、丁四人中至多有两人买到同一只股票的概率； （ 3）（只理科做）由于国家采取了积极的救市措施，股市渐趋“回暖” .若某人今天按上一交易日的收盘价 20 元 /股，买入某只股票 1000 股，且 预计今天收盘时，该只股票比上一交易日的收盘价上涨 10%（涨停）的概率为 0.6.持平 的概率为 0.2，否则将下跌 10%（跌停） ,求此人今天获利的数学期望（不考虑佣金、印花税等交易费用） . 19. 如图：在各棱长均为 2 的三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1 23AC ，侧面 11AACC 底面ABC ， （ 1） 求棱 11AB 与平面 1ABC 所成的角的大小； （ 2） 已知 D
10、 点满足 BD =BA BC ，在直线 1AA 上是否 存在点 P，使 DP 平面 1ABC ？若存在，确定 P 点的 位置，若不存在，请说明理由 . 20. 已知等差数列 na 满足： *1 ()nna a n N ， 1 1a ，该数列的前三项分别加上 1， 1，3 后顺次成为等比数列 nb 的前三项 . （ 1）分别求数列 na ， nb 的通项公式 na ， nb ； （ 2）设 ),( *2211 NnbababaTnnn 若 )(12 32 ZccnnT nn 恒成立，求 c 的最小值 . 21. 标准椭圆 22 1( 0 )xy abab 的两焦点为 12,FF， ( 3,1)M
11、 在椭圆上，且120MF MF. （ 1） 求椭圆方程； （ 2） 若 N 在椭圆上， O 为原点，直线 l 的方向向量为 ON ，若 l 交椭圆于 A、 B 两点，且NA、 NB 与 x 轴围成的三角形是等腰三角形 (两腰所在的直线是 NA、 NB)，则称 N 点为椭圆的特征点，求该椭圆的特征点 . 22. 已知函数 21( ) ln 2 ( 0 ) .2f x x a x x a （ 1） 若函数 ()fx存在单调递减区间，求 a 的取值范围； （ 2） 若 12a 且关于 x 的方程 1() 2f x x b 在 1,4 上恰有两个不相等的实数根，求实数 b 的取值范围； （ 3） 设各
12、项为正的数列 na 满足： *111 , l n 2 , .n n na a a a n N 求证： 2 1.nna 答案 一、选择题 BCDC BCBD DADC 二、填空题 13、 23 14、 12 15、 2 16、 100 三、解答题： 17、 解：当 2 4 2x k 时， -1 分 有： 2 2 s in c o s ta n ta n2 4 2 2 4 2 4x x x xfx 2sin 2 c o s 1 sin c o s 2 sin .24xx x x x -4 分 （ 1） 令 222 4 2k x k ，得 32244k x k . 又由 2 4 2x k ，得 2
13、2xk. -6 分 fx的单调增区间是： 32 , 2 , 2 , 24 2 2 4k k k k kZ-8分 （ 2） 当 0, )2x 时， 3 , )4 4 4x ，则 sin4x 有最小值 22 -10 分 此时 min 1fx ，故由题意得 1 1 0mm . -12 分 18、 解 ：（ 1）四人恰好买到同一只股票的概率1 1 1 1 1 16.6 6 6 6 2 1 6P -4 分 （ 2）解法一：四人中有两人 买到同一只股票的概率22 2 2 3426 4 6222 4135 .6 2 1 6CC A C AAP 四人中每人买到不同的股票的概承率 463 4 6 0 5 .6
14、2 1 6 1 8AP 所以 四人中至多有两人买到同一只股票的概率23 1 3 5 6 0 1 9 5 6 5 .2 1 6 2 1 6 2 1 6 7 2P P P -8分 解法二：四人中有三人恰好 买到同一只股票的概率 32464 4 2 0 5 .6 2 1 6 5 4CAP 所以 四人中至多有两人买到同一只股票的概率14 1 9 5 6 51.2 1 6 7 2P P P （ 3） 每股今天获利钱数 的分布列为： 所以 ,10 手股票在今日交易中获利钱数的数学期望为 10 00 10 00 2 0. 6 0 0. 2 2 0. 2 80 0E -12分 19、 解法一 ：（ 1） 11
15、2 3 , 6 0 .A C A A C 侧面 11A CC 底面 ABC ，作 1AO AC于点 O，则 1AO 平面 ABC ，可得： 11, 3 ,A O A O O B AO=1， .BO AC 以 O 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系 . -2分 则 10 , 1 , 0 , 3 , 0 , 0 , 0 , 0 , 3 ,A B A 10 ,1, 0 , 3 ,1, 3 .CB 1 1 1A B 3 , 1 , 0 , 3 , 2 , 3 , 0 , 2 , 0 .A B A C 设平面 1ABC 的法向量为 , ,1n x y ，由 1n AB 0n AC 0，解得 1,0,1n
16、 ， -4 分 由11 6co s , 4A B n 得：棱 11AB 与平面 1ABC 所成的角的大小为 6arcsin .4 -6分 （ 2） 设存在点 P 符合，且点 P 坐标设为 0, , ,P y z -7分 2 3 , 0 , 0 ,B D B A B C 3,0,0 .D 3, , .DP y z 平面 1ABC 的法向量 n 1,0,1 , 又 DP 平面 1ABC ， DP 0,n 得3,z 由 AP = 1AA 得：331y 0 , 0 , 0 , 3 .yP -10 分 又 DP 平面 1ABC ， 故存在点 P，使 DP 平面 1ABC ， 其坐标为 0,0, 3 ,
17、恰好为 A1点 .-12分 2 0 2 P 0.6 0.2 0.2 A 解法二 B . D C C1 A1 B1 M O Zzzzzzzzzzz. D C A C1 A1 B1 B O Y Z x 解法一 解法二 ( 略解 ) （ 1 ） 如 图 可 得 ; 2211B M C M 6 ,B C A B M 中 ， 得17 , 1 0A M A B 112 , . 6 .A B CA C A C B C S 设 B 到平面 1ABC 的距离是 d ，则有 d =1ABC 1ABCS BMS= 26 -3 分 .设 棱 AB 与平面 1ABC 所成的角的大小是 ， 则 dsin AB 46 ，
18、-5 分 又 11/AB AB ， 11AB 与平面 1ABC 所成的角的大小是 6arcsin .4 -6 分 （ 2） BD =BA BC ， 四边形 ABCD 是平行四边形 . CD =BA = 11AB ， -8分 11CDAB 是平行四边形 . 11/AD BC , -10 分 又 1AD 面 1ABC , 1BC 面 1ABC 1AD 平面 1ABC , 故存在点 P 即 点 A1 ，使 DP 平面 1ABC . -12 分 20、 解： （ 1）设 d、 q 分别为数列 na 、数列 nb 的公差与公比 . 由题 意知 ， ,21,1,1 321 dadaa 等比数列 nb 的前
19、三项是 2， 2+d,4+2d， .2)24(2)2( 2 ddd -2 分 .0,1 daa nn ).(12,2 *Nnnad n -4 分 由此可得 ,2,4,2 21 qbb ).(2 *Nnb nn -5 分 （ 2） ,2 12252321 322211 nnnn nbababaT 当 1n时 ， ;211T当 时2n ， .2 12252321211432 nn nT - ，得 ：231 1 1 1 12 ( )2 2 2 2 2n nT 1 1 12 1 1 1 2 1(1 ) .2 2 2 2n n nnn 21 2 1 2 33 3 .2 2 2n n n nnnT -9
20、分 .31312 32 nnnTnn-10 分 满 足条件 )(12 32 ZccnnTnn 恒成立的最小整数值为 .3c -12 分 21、解： (1)在 Rt 12FMF 中， 12 22FFOM 知 2C 则 2 2 222311a b cab解得 226, 2ab椭圆方程为 22162xy -4 分 (2)设 ( , )Nmn （ m 0）， l 为 ny x tm， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 由 ny x tm与 22162xy得 22221( ) 1 06 2 2n n tx t xmm -6 分 由点 ( , )Nmn 在椭圆上知， 22211
21、62nmm代入得 222 102x n ttxmm 12x x mnt 2212 ( 1)2tx x m， -8 分 1 2 1 2 2 121 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )()NA NB y n y n y n x m y n x mkk x m x m x x m x x m 1 2 1 221 2 1 22 ( 2 ) ( ) 2 ( )()n x x t n x x m t nm x x m x x m 将式代入得 2222N A N Bnkk mtmn又 NA、 NB 与 x 轴围成的三角形是等腰三角形得 0NA NBkk， -10 分 2 1n 代入 22162mn 得 2 3m ( 3, 1)N -12 分 22 、解：（ 1 ） 2 21( ) ( 0 ) .a x xf x xx 依题意 ( ) 0fx 在 0x 时有解 : 即
