1、 高二上期末考试模拟试题三 数 学 （测试时间： 120 分钟 满分 150 分） 一 选择题（ 12 5 分 =60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确结论的代号填入后面的表中） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1抛物线 x 2y2 的准线方程是 ( ). A21yB21yC81xD81x2两直线 2x y k 0 与 4x 2y 1 0 的位置关系为 ( ). A平行 B垂直 C相交但不垂直 D平行或重合 3 不等式 21xx0 的解集是 ( ). A x 2 B x1 x 2 C x1x 2 D x1 x 2 4 圆 22( 1
2、) 1xy 的圆心到直线 33yx的距离是 ( ). A 12B 32C 1 D 3 5已知 a、 b、 c R，那么下列命题正确的是 ( ). A a b ac2 bc2 B bacbca C 33 110ab abab D 22 110ab abab 6若 直线 l 的斜率 k 满足 |k|1，则直线 l 的倾斜角的取值范围是 ( ). A 43,4 B 4,0 ,43C 0,4D 43,22,4 7 若 A 是定直线 l 外的一定点 ， 则过 A 且与 l 相切圆的圆心轨迹是 ( ). A 圆 B 抛物线 C 椭圆 D 双曲线一支 8 曲线 y 31 x3 x2 5 在 x 1 处的切线
3、的倾斜角是 ( ). A6B3C4D 349. 已知点 P（ x， y）在不等式组 2 0,1 0,2 2 0xyxy 表示的平面区域上运动，则 z=x - y 的取值范围是 ( ). A 2, 1 B 2,1 C 1,2 D 1,2 10设 0 a21，则下列不等式成立的是 ( ). A aaaa 1 1111 1 22 B aaaa 1 111 11 22 C 22 11 11 11 aaaa D 22 11 111 1 aaaa 11若双曲线 222 141xymm的焦点在 y 轴上，则 m 的取值范围是 ( ). A ( 2， 2) B (1， 2) C ( 2， 1) D ( 1，
4、2) 12已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出 发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点现有一水平放置的椭圆形台球盘，其长轴长为 2a，焦距为 2c，若 点 A， B 是它的焦点，当静放在点 A 的小球（不计大小），从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后再回到点 A 时，小球经过的路程是 ( ). A 4a B 2(a b) C 2(a c) D不能惟一确定 二、填空题：本大题共 4 个小题 ,每小题 4 分 ,共 16 分 .把答案直接填在题中横线上 . 13. 用 “ ” 填空：如果 0,； 14. 理科： 54，文科： 11； 15. 理科：相离，文科： 2； 16.
5、， . 三 、 解答 题：每小题 5 分 ,共 60 分 . 17. ( ) ( 2 + 3 )2 (2+1)2=2 6 4 0. 故 2 + 3 2+1，即 2 1 2 3 . 4 分 (2+ 5 )2 ( 6 + 3 )2=4 5 2 18 =2 20 2 18 0. 故 2+ 5 6 + 3 ，即 2 3 6 5 . 7 分 ( ) 一般结论：若 n 是正整数，则 1n n 3n 2n . 10 分 证明：与 ( )类似 (从略 ). 12 分 18. 过点 M 与 x 轴垂直的直线显然不合要求，故可设所 求直线方程为 y kx 1， 2 分 若此直线与两已知直线分别交于 A、 B 两点
6、，则解方程组可得 xA 137k ， xB 27k . 6 分 由题意 137k 27k 0, k 41 . 10 分 故所求直线方程为 x 4y 4 0. 12 分 另解一：设所求直线方程 y kx 1, 代入方程 (x 3y 10)(2x y 8) 0， 得 (2 5k 3k2)x2 (28k 7)x 49 0. 由 xA xB2352 728 kkk 2xM 0,解得 k 41 . 直线方程为 x 4y 4 0. 另解二：点 B 在直线 2x y 8 0 上，故可设 B(t,8 2t)，由中点公式得 A( t,2t 6). 点 A 在直线 x 3y 10 0 上， ( t) 3(2t 6
7、) 10 0,得 t 4. B(4,0).故直线方程为 x 4y 4 0. 19. 理科： ( ) 要使圆的面积最小，则 AB 为圆的直径， 所求圆的方程为 (x 2)(x 2) (y 3)(y 5) 0，即 x2 (y 4)2 5. 5 分 ( ) 因为 kAB 12， AB 中点为 (0， 4)， 所以 AB 中垂线方程为 y 4 2x，即 2x y 4 0. 8 分 解方程组 ,032 ,042 yx yx得 .2,1yx即圆心为 ( 1， 2). 根据两点间的距离公式，得半径 r 10 , 因此，所求的圆的方程为 (x 1)2 (y 2)2 10. 12 分 另解： 设所求圆的方程为
8、(x a)2 (y b)2 r2，根据已知条件得 032)5()2()3()2(222222barbarba.10,2,12ra 所以所求圆的方程为 (x 1)2 (y 2)2 10. 文科： 解：由 2,2 5 0,yxxy 得交点 (1,2) ，即所求圆的圆心为 )2,1( . 5 分 设所求的方程为 222 )2()1( ryx ， 7 分 则 534 |352314| 22 r， 故圆的方程为 22( 1) ( 2) 25xy . 12 分 20. 由题意可知抛物线的焦点到准线间的距离为 2C（即双曲线的焦距） 设抛物线的方程为 2 4.y cx 4 分 抛物线过点 2233( , 6
9、 ) 6 4 1 122 c c a b 即 又知 2 22 2 2 23() ( 6 ) 9 62 114a b a b 8 分 由可得 2213,44ab， 10 分 所求抛物线的方程为 xy 42 ，双曲线的方程为 224413xy. 12 分 21. 理科 : 原不等式化为 ( ) 3,( 1) 3,xa x x 或 ( ) 3,( 1) 3.xa x x 即 ( ) 3,( 1) 3xa x a 或 ( ) 3,( 1) 3.xa x a 4 分 (1)当 0 a 1 时，对于 ( )有 3, 31xax a 3 x 13aa ； 对于 ( )有 3, 31xax a x . 当 0
10、 a 1 时，解集为 x|3 x 13aa . 8 分 (2)当 a 1 时，解集为 x|x 3. 10 分 (3)当 a 1 时，解 ( )得 x 3,( )得 x 13aa ， 此时解集为 x|x 3 或 x 13aa . 12 分 文科： 原不等可化为 2( )( ) 0x a x a . 3 分 又 )1(2 aaaa ，故 当 0a 或 1a 时， 2aa .则 2axa ； 6 分 当 10 a 时， aa2 .则 axa 2 ； 8 分 当 0a 或 1a 时，不等式为 02x 或 0)1( 2 x ，此时无解 . 10 分 综上：当 0a 或 1a 时， 2aa .则不等式的解
11、集是 | 2axax ；当 10 a 时，aa2 .则不等式的解集是 | 2 axax ；当 0a 或 1a 时，不等式等价于 02x 或0)1( 2 x ，无解 . 12 分 22. 理科： ( ) OF FQ 1, |OF | |FQ | cos 1. 又 21 |OF | |FQ | sin(180 ) S, tan 2S， S 2tan . 3 分 又 21 S2, 21 2tan 2,即 1tan 4, 4 arctan4. 5 分 ( ) 以 OF 所在的直线为 x 轴，以 OF 的过 O 点的垂线为 y 轴建立直角坐标系 (如图 ). 6 分 O(0,0),F(c,0),Q(x0,y0). 设椭圆方程为22ax 22by 1. 又 OF FQ 1， S 43 c, (c,0) (x0 c,y0) 1. 21 c |y0| 43 c. 8 分 由得 c(x0 c) 1 x0 c c1 .
