1、 高二数学期中试卷 一 . 选择题（ 45 分） （ 1）等差数列 an 中， S15 90 ，则 a8 的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 （ 2）设 an 是公差为 -2 的等差数列，如果 a a a a1 4 7 97 50 ，则a a a a3 6 9 99 等于（ ） A. 182 B. -82 C. -80 D. 180 （ 3）抛物线 x y2 2 的准线方程是（ ） A. y12 B. y12 C. x18 D. x18 （ 4）一动圆与两圆 x y2 2 1 和 x y x2 2 8 12 0 都外切，则动圆 圆心轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C.
2、双曲线的一支 D. 抛物线 （ 5）若 2 3 1 2 1 02 i m i m i，则实数 m 等于（ ） A. 12 B. 2 C. 12 2或 D. 1 或 2 （ 6）若将 20， 50， 100 各加上相同的常数，组成等比数列，则其公比为（ ） A. 53 B. 43 C. 32 D. 12 （ 7） limn n n nnn 1 1 4 1 7 1 3 212 2 2 2（ ） A. 0 B. 1 C. 32 D. 3 （ 8）一个等比数列 an 中， S S10 2048 60 ， ，则 S30 等于（ ） A. 183 B. 108 C. 75 D. 63 （ 9） limnn
3、aa 1 2 0，则 a 的取值范围是（ ） A. a1 B. a a 13 1或 C. 13 1 a D. a a 0 12或 （ 10）椭圆 x y2 225 9 1 的两焦点 F F1 2， ，过 F2 引直线 L 交椭圆于 A、 B 两点，则ABF1 的周长为（ ） A. 5 B. 15 C. 10 D. 20 （ 11）若抛物线 y px p2 2 0 ， ( )与 y q x h q2 2 0 ， ( )有公共焦点则（ ） A. h p q 2 B. h p q 2 C. h q p 2 D. h p q 2 （ 12）到 A（ -1， 0）和直线 x=3 的距离相等的点的轨迹方程
4、为（ ） A. y x2 8 8 B. y x2 8 8 C. x y2 8 8 D. x y2 8 8 （ 13）若 z 为 复数且 z i 1 1 ，则 z 的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 1 D. 2 1 （ 14）若椭圆的短轴、焦距、长轴的长度依次成等差数列，则这个椭圆的离心率为（ ） A. 34 B. 45 C. 35 D. 54 （ 15）已知双曲线 x y2 29 16 1 的右焦点为 F，点 A（ 9， 2），在双曲线上有一点 M，使 MA MF 53 的值最小，则最小值是（ ） A. 385 B. 365 C 345 D. 325 二 . 填空题（ 15 分）
5、 （ 16）已知 a、 b、 c 成等比数列，公比为 3，且 a、 b+8、 c 成等差数列，则 b=_。 （ 17）计算机的成本不断降低，若每隔 5 年价格降低 13 ，现在价格 8100 元，计算机 15年后的价格为 _。 （ 18）在等比数列 an 中， a a a a a1 2 1 2 35 8 ， ，则 limn na a a 1 2 _。 （ 19）双曲线 x k y k2222169 144 1 的焦距是 _。 （ 20）顶点在原点，焦点在 x 轴的负半轴上的抛物线被直线 2 1 0x y 截得的弦长为 15 ，则抛物线方程是 _。 三 . 解答题（ 40 分） （ 21）过抛物
6、线 y x2 4 的焦点作直线与此抛物线相交于两点 P 和 Q，求线段 PQ 中点的轨迹方程。 （ 22）已知 z i 1 ，且 z az bz z i22 1 1 ，求实数 a、 b 的值。 （ 23）已知椭圆的率心率 e 32 且左焦点与左准线分别为抛物线 y x2 4 的焦点和准线，求此椭圆方程。 （ 24）数列 an 中，已知 S aSn n n 1 2， 求出 S S S S1 2 3 4， ， ， 。 猜想数列 an 的前 n 项和 Sn 的公式，并加以证明。 求 limn nS的值。 （ 25）已知双曲线 xa yb a b2222 1 0 0 ，过右焦点 F 作第一、三象限的渐
7、近线的垂线 l ，垂足为 P，且 l 在双曲线左右两支的交点为 A、 B。 求证：点 P 在双曲线的右准线上。 求双 曲线离心率的取值范围。 【试题答案】 一 . 选择题。 （ 1） C （ 2） B （ 3） C （ 4） C （ 5） B （ 6） A （ 7） C （ 8） D （ 9） C （ 10） D （ 11） A （ 12） A （ 13） D （ 14） B （ 15） B 二 . 填空题。 （ 16） 12 （ 17） 2400 元 （ 18） 9 （ 19） 10 （ 20） y x2 4 三 . 解答题。 （ 21） 略解： 设线段 PQ 中点 M（ x， y）为所求轨
8、迹上任意一点 y x F2 4 1 0 ， ， l y k xPQ ： 1（ k 存在）交抛物线于 P（ x， y）， Q（ x2， y2）两点 则 y x22 24 1 y x12 14 2 x x xy y y1 21 2 22 1 2 42 1 2 1 2 1： y y y y x x k y yx x y y y yx ky k x 2 12 1 2 14 42 11 y x2 2 1为所求 而 k 不存在时， PQ 的中点为（ 1， 0），亦在 y x2 2 1 上 y P （ x 1 ， y 1 ） y 2 = 2 ( x - 1) O x F （ 1 ， 0 ） M （ x ，
9、y ） Q （ x 2 ， y 2 ） （ 22） 解： z i z i i 1 1 22 2， z az bz z ii a i bi i ia b a ii i22 1 12 12 1 1 12 1 即 a b a i i 2 1 a ba ab12 1 12， a b1 2， 为所求 （ 23） 解： 抛物线 y x4 F l x1 0 1， ， 准线 ： 设 M（ x， y）为所求轨迹上任意一点，且 e 32 则 x yx 1 1 322 2 3 1 4 1 414 4 1 07 4 482 2 22 22 2x x yx x yx y 即 x y 748 12 12 2 为所求 y
10、y -1 O 1 O (h ， 0 ) x M （ x ， y ） （ 24） 解： S aSn n n 1 2 a aaa SS aSS S SSSSSSSSn nnn n nnnn1 111 111213212121212121211222312123234S SS S S S431 2 3 412134 24512233445 ， ， ，猜想： S nnn 1对 S nnn 1证明如下： 当 n1 时，已证： S a1 1 11 1 12 设 n k k N ，原命题成立 即 S kkk 1当 n k 1 时， S S kk kk kkk k 1 1 2 1 1 2 1 21 11 1
11、n k 1 时，原命题成立 由 、 可知对任意 n N ，原命题都成立 lim lim limn n n nSkk k 111 1 1 limn nS 1（ 25） 略解： xa yb a b2222 1 0 0 ，的右焦点 F（ c， 0） 即 F a b2 2 0 ， 该双曲线在第一、三象限的渐近线方程为 y bax kablyabx cybaxa b x a cxa ccacybaacabcl：2 2 22222 P ac abc2 ， 在直线 x ac 2 上，而双曲线右准线为 y ac 2 即 P 点在双曲线的右准线上 y O x 过双曲线右焦点 F 作双曲线 左右两支的交点为 A、 B b a e ca a ba aaee， 为所求2222 22222 222y A P B x l F a b2 2 2 0 ， xac2年级 高二 学科 数学 版本 期数 内容标题 北京 101 中学高二数学期中试卷 分类索引号 G.624.6 分类索引描述 考试试题与题解 主题词 北京 101 中学高二数学期中试卷 栏目名称 名校题库 供稿老师 审稿老师 录入 李红英 一校 康纪云 二校 审核
