1、 高二数学（理科） 下学期期末考试 试卷 注意：选择题答案用 2B铅笔涂在答题卡上，填空题 、解答题 答案写在答题卷上。 一、选择题： （本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1、已知复数 122 , 1z i z i ，则 21z zz 在复平面上对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2、“ 1x ”是“ 2xx ”的（ ） （ A）充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件 （ C）充分必要条件 （ D）既不充分也不必要条件 3、在二项式 6( 1)x 的展开式中，含 3x 的项的系数是（ ） A
2、 . 15 B . 15 C . 20 D .20 4、 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数 2 0 0 )80(22 1)( xexf，则下列命题不正确的是 （ ） A.该市这次考 试的数学平均成绩为 80 分 B.分数在 120分以上的人数与分数在 60分以下的人数相同 C.分数在 110分以上的人数与分数在 50分以下的人数相同 D.该市这次考试的数学标准差为 10 5、 某人的密码箱上的密码是一种五位数字号码，每位上的数字可在 0到 9这 10个数字中选取，该人记得箱子的密码 1， 3， 5位均为 0，而忘记了 2， 4位上的数字，只要随意按下 2，
3、 4位上的数字，则他按对 2， 4位上的数的概率是（ ） A.52 B.51 C.101 D.101 6、已知 A（ 1， 0）， B（ 1， 0），若点 ),( yxC 满足 |,4|)1(2 22 BCACxyx 则 （ ） A 6 B 4 C 2 D与 x， y取值有关 7、 某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“ 0000 ”到“ 9999 ”共 10000个号码公司规定：凡卡号的后四位带有数字“ 4 ”或“ 7 ”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ） 2000 4096 5904 8320 8、 如图，在杨辉三角形中，斜线 l 的上方从 1按箭
4、头所示方向可以构成一个 “ 锯齿形 ” 的数列： 1， 3， 3， 4， 6， 5， 10， ，记此数列的前 n 项之和为 nS ，则 21S 的值为 （ ） A 66 B 153 C 295 D 361 二、填空题： （本 大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在答题卷上） 9、 _c o s451c o s 3425 的系数相等，则的展开式中的系数与展开式中已知 xxxx10、在直角坐标系 xoy 中，已知曲线 C 的参数方程是 sin 1cosyx （ 是参数），若以 o 为极点， x 轴的正半 轴为极轴，则曲线 C 的极坐标方程可写为 _. 11、已知 ,x y R
5、，且 41xy，则 xy 的最大值为 _ 12、在约束条件42,3,0,0yxyxyx下，目标函数 yxz 23 的最大值是 . 13、 动点 P（ x, y）满足 22( 1 ) ( 2) | 3 4 10 |a x y x y ，且 P 点的轨迹是椭圆，则 a 的取值范围是 14、 等差数列有如下性质，若数列 na 是等差数列，则当 ,21nnn bn aaab 数列时 也是等差数列；类比上述性质，相应地 nc 是正项等比数列，当数列 nd 时，数列 nd 也是等比数列。 三、解答题： （本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15、（ 12分） 在某年
6、一项关于 16 艘轮船的研究中，船的吨位区间从 192吨到 3246吨，船员的数目从5人到 32人 .船员人数 y 关于船的吨位 x 的线性回归方程为 9.5 0.0062yx (1)假设两艘轮船吨位相差 1000吨，则船员平均人数相差多少？ (2)对于最小的船 估计的船员数是多少？对于最大的船估计的船员数是多少？（保留整数） 16、 （ 12 分） 已知 ABC 顶点的直角坐标分别为 (34)A， ， (00)B， ， ( 0)Cc， （ 1）若 5c ，求 sin A 的值； （ 2）若 A 是钝角，求 c 的取值范围 17、 （ 14 分） 求由 2 4yx 与直线 24yx所围成图形的
7、面积 . 18、（ 14分） 如图，面积为 S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M ，可按下面方法估计 M 的面积：在正方形 ABCD 中随机投掷 n 个点，若n 个点中有 m 个点落入 M 中，则 M 的面积的估计值为 mSn ，假设正方形 ABCD 的边长为 2， M 的面积为 1，并向正方形 ABCD 中随机投掷 10000个点，以 X 表示落入 M 中的点的数目 （ I）求 X 的均值 EX ； （ II）求用以上方法估计 M 的面积时， M 的面积的估计值与实际值之差在区间 ( 0.03 ) ， 内的概率 附表： 10000100000( ) 0 .2 5 0 .7 5k
8、t t ttP k C k 2424 2425 2574 2575 ()Pk 0.0403 0.0423 0.9570 0.9590 D C B A M 19、 （ 14分） 已知定义在正实数集上的函数 21( ) 22f x x ax， 2( ) 3 lng x a x b，其中 0a 设两曲线 ()y f x ， ()y g x 有公共点，且在该点处的切线相同 （ I）用 a 表示 b ，并求 b 的最大值； （ II）求证： ( ) ( )f x g x （ 0x ） 20、 （ 14 分） 若对于正整数 k 、 ()gk 表示 k 的最大奇数因数，例如 (3) 3g ， (20) 5g
9、 ， 并且 ( 2 ) ( ) ( )g m g m m N ,设 (1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 )nnS g g g g （）求 S1、 S2、 S3 ； （）求 nS ； （ III）设 11n nb S ，求证数列 nb 的前 n 顶和 32nT x B ( 4,4 ) (1, 2)A 0 y C(2,0 ) 高二数学（理科） 参考答案 一、选择题 （每小题 5分） ： 1 4 D A C B 5 8 D B C D 二、填空题（每小题 5分）： 9、 22 10、 2sin 11、 116 12、 7 13、 （ 5，） 14、 n nCCC 21 三、解答题： 15、解：
10、（ 1）依题意设船员平均人数相差为 y 则有 y y 1 y 2 0.0062 1000 6.2 6 （ 2）根据线性回归方程 9.5 0.0062yx 可得 5分 最小的船的估计船员 y 3 9.5 0.0062 192 11 最大的船的估计船员 y 4 9.5 0.0062 3264 30 11分 答：当两艘轮船 的吨位相差 1000吨时，船员平均人数相差 6人，最小船的估计船员数是 11人，最大船的估计船员人数是 30人。 12分 16、解：（ 1） ( 3, 4)AB ， ( 3, 4)AC c ，若 c=5， 则 (2, 4)AC， 6 16 1c os c os ,5 2 5 5A
11、 A C A B ， sin A 255； 6分 （ 2）若 A 为钝角，则 3 9 16 00cc 解得 253c， c的取值范围是 25( , )3 ； 12分 17、解：如图，作出曲线 2 4yx ， 24yx的草图，所求面积为图中阴影部分的面积 3分 由 2 424yxyx 得交点坐标为 (1, 2),(4,4) ， （或答横坐标） 5分 方法一：阴影部分的面积 14012 2 2 ( 2 4 ) S x d x x x d x 8分 331 2 42201442 ( ) | ( 4 ) |33x x x x 12分 9 14 分 方法二：阴影部分的面积 2424()24yyS d y
12、 8分 2 3 4 211( 2 ) |4 1 2y y y 12 分 = 9 14 分 18、解： 每个点落入 M 中的概率均为 14p 2分 依题意知 1 100004XB， 4分 （ ） 11 0 0 0 0 2 5 0 04EX 8分 （ ）依题意所求概率为 0 .0 3 4 1 0 .0 310000XP ， 0 .0 3 4 1 0 .0 3 ( 2 4 2 5 2 5 7 5 )10000 XP P X 2574 10000100002426 0 .2 5 0 .7 5t t tt C 2 5 7 4 2 4 2 51 0 0 0 0 1 0 0 0 0 11 0 0 0 0 1
13、 0 0 0 02 4 2 6 00 .2 5 0 .7 5 0 .2 5 0 .7 5t t t t tttCC 0 .9 5 7 0 0 .0 4 2 3 0 .9 1 4 7 14 分 本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力 19、解：（ ）设 ()y f x 与 ( )( 0)y g x x在公共点 00()xy， 处的切线相同 ( ) 2f x x a ， 23() agx x ， 2分 由题意 00( ) ( )f x g x ， 00( ) ( )f x g x 即220 0 02001 2 3 ln232x a x a x baxax
14、，由 20 032 axax得： 0xa ，或 0 3xa （舍去） 即有 2 2 2 2 2152 3 l n 3 l n22b a a a a a a a 4分 令 225( ) 3 ln ( 0 )2h t t t t t ，则 ( ) 2 (1 3 ln )h t t t 于是 当 (1 3ln ) 0tt，即 130 te 时， () 0ht ； 当 (1 3ln ) 0tt，即 13te 时， () 0ht 故 ()ht 在 130 e，为增函数，在 13e， 为减函数， 于是 ()ht 在 (0 )， 的最大值为 123332h e e 7分 （ ）设 221( ) ( ) (
15、) 2 3 l n ( 0 )2F x f x g x x a x a x b x ， 8分 则 ()Fx 23 ( ) ( 3 )2 ( 0 )a x a x ax a xxx 10分 故 ()Fx在 (0 )a， 为减函数，在 ()a， 为增 函数， 于是函数 ()Fx在 (0 )， 上的最小值是 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) 0F a F x f x g x 故当 0x 时，有 ( ) ( ) 0f x g x ，即当 0x 时， ( ) ( )f x g x 14 分 20、 解：（） 1 (1 ) ( 2 ) 1 1 2S g g 1分 2 ( 1 ) ( 2 ) ( 3
16、 ) ( 4 ) 1 1 3 1 6S g g g g 2分 3 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) 1 1 3 1 5 3 7 1 2 2S g g g g g g g g 3分 （） (2 ) ( )g m g m ， nN 4分 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 2 1 ) ( 2 )nnnS g g g g g g ( 1 ) ( 3 ) ( 5 ) ( 2 1 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 2 ) nng g g g g g g 1 1 3 5 ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 2
17、) nng g g 5分 1 1( 1 2 1 ) 2 ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) 2nn ng g g 6分 1 14n nS 7分 则 11 4nnnSS 1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( )n n n n nS S S S S S S S 8分 1 2 24 4 4 4 2nn 14 ( 4 1 ) 1 2244 1 3 3n n 9分 （） )12 112 1(23)12)(12( 31)2( 314 311 2 nnnnnnnn Sb 10分 1 2 2 3 33 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 1 2 2 1
18、2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1nnTn 2 2 3 1 13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n n n 2 3 13 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n n 11分 当 1n 时， 11 31 2Tb 成立 12分 当 2n 时， 111111 1 2 1 2 1 2 2 02 1 2 1 ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 )n n nn n n n n n 13分 2 2 3 13 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n nTn 33122 14分
