1、 高二数学 第一学期教学质量检测 试卷 第卷（选择题） (本试卷满分 150分，在 120 分钟内完成 ) 一、选择题： （ 本题共 10 小题，每小题 6分，满分 60分，请将答案直接填在下表中 ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 若 a， b， c R，则下列 命题正确 的是 （ A）如果 ab ，那么 a c b c （ B）如果 ab ，那么 abcc （ C）如果 ac bc ，那么 ab （ D）如果 ab ，那么 22ac bc 2. 已知 x 0，则函数 423yxx 的最小值为 （ A） 63 （ B） 26 （ C） 2 4 3 （ D） 2 4
2、 3 3. 已知 a、 b是不相等的正实数，则下列关系式中值最大的是 （ A） ab （ B） 2ab （ C） 222ab（ D） 211ab4. 不等式 2 2 35 02xxx 的解集为 （ A） | 7 2 5x x x 或- （ B） | 5 2 7x x x 或 （ C） | 7 2 5x x x 或 （ D） | 5 2 7x x x 或 5. 如果 经过点 A（ m， 2）、 B（ m， 2m 1）的直线的倾斜角为 4 ，那么 m （ A） 34 （ B） 34 （ C） 43 （ D） 43 6. 已知 x、 y满足约束条件 11yxxyy，则 z 2x y的最小值为 （ A
3、） 3 （ B） 32 （ C） 3 （ D） 4 7. 已知 22xy 1，则 x y的最大值为 （ A） 2 （ B） 1 （ C） 1 （ D） 2 8. 椭圆 2225 16xy 1上一点 P到一个焦点的距离等于 3，则点 P到相对应的准线的距离为 （ A） 4 （ B） 5 （ C） 95 （ D） 253 9. 双曲线 22134xy的两条准线的距离等于 （ A） 165 （ B） 185 （ C） 377 （ D） 677 10. 经过抛物线 2 4yx 焦点的直线 l交抛物线于 A、 B两点，且 |AB| 8，则直线 l的倾斜角的大小为 （ A） 600 （ B） 450 （
4、C） 600或 1200 （ D） 450或 1350 第卷（非选择题） 二、填空题 （本题共 4小题，每小题 4分，共 16 分） 11. 不等式 |3x 4| 19的解集是 . 12. 直线 2 1 0xy 与直线 2 6 3 0xy 夹角 的大小 是 . 13. 过点（ 2， 3）且与圆 22( 1) ( 1) 1xy 相切的直线方程为 . 14. 如果直线 y kx 1与双曲线 221xy没有公共点 ，则 k的取值范围 是 . 三、解答题 （本大题共 6小题，满分 74 分） 15.（本题满分 12分） 求证： 223 2 ( )a b b a b . 16. （本题满分 12分） 已
5、知点 P（ 1， 0）与 Q（ 1， 0），且动点 M满足 | | 1| | 2MPMQ，求点 M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形 . 17. （本题满分 12分） 已知双曲线 22116 9xy的两个焦点为 F1， F2，点 P是双曲线上一点，求使 PF1 PF2的点 P的坐标 . 18. （本题满分 12分） 如图，抛物线形拱桥的顶点距水面 2米时，测得拱桥内水面宽为 12米，当水面升高 1米后，求拱桥内水面的宽度 . 19.（本题满分 12分） 已知集合 A | ( 2 ) ( 3 1 ) 0 x x x a ， B22 | 0( 1)xax xa . （）当 a 2时，求 A B； （
6、）求使 B A的实数 a的取值范围 . 20.（本题满分 14分） 直线 l： y kx 1与椭圆 C： 222ax y交 于 A、 B两点，以 OA， OB 为邻边作平行四边形 OAPB（ O为坐标原点）（如图） . （）当 a 2， k 1时，求 |AB|的长； （）当 a 2时，求点 P的轨迹方程 . 12 2 lOEPBAyx参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C B B C A B D D 二、填空题 11. 23|53xx 12. 450 13. 3x 4y 6 0 和 x 2 14. ( , 2 ) ( 2 , ) 三、解答题 15
7、. 证明： 223 2 ( )a b b a b 4分 222a ab b 2()ab 0 10分 223 2 ( )a b b a b 12分 16.解： 设点 M的坐标为（ x， y）， 2分 由于 | | 1| | 2MPMQ， 则 2222( 1) 12( 1)xy ， 6分 整理得： 223 1 0 3 3 0x x y 8分 即 2 2 254( ) ( )33xy 10 分 这就是点 M的轨迹方程 .图形为以（ 53 ， 0）为圆心， 43 为半径的圆 . 12分 17.解： 设点 P（ x0， y0），因为它在双曲线上，所以 2200116 9xy- 2分 双曲线的焦点为 F1
8、（ 5， 0）， F2（ 5， 0）， 6分 PF1 PF2， 00 155yyxx - 8分 解由、两式组成的方程组，得 004 34595xy 或 004 34595xy 或 004 34595xy 或 004 34595xy 10分 所求的点有四个： A（ 4 34 9,55）， B（ 4 34 9,55 ）， C（ 4 34 9,55 ）， D（ 4 34 9,55） . 12 分 18. 解： 以拱桥的顶点为原点，水平方向为 x轴建立直角坐标系， 设拱桥抛 物线方程为 2 2x py （ p 0）， 2分 拱顶离水面 2m时 ，水面宽 12m，即点（ 6， 2）在抛物线上， 62 2
9、p（ 2）， p 9， 即抛物线方程为 2 18xy 6分 又水面上升 1m，即 y 1，代入抛物线方程中，得 x2 18（ 1），即 x 3 2 ， 10 分 故这时水面宽为 6 2 m. 12分 19. 解 ：（）当 a 2时， A（ 2， 7）， B（ 4， 5） 2分 A B（ 4， 5） . 4分 （） B（ 2a， a2 1）， 5分 当 a 13 时， A（ 3a 1， 2） 要使 B A，必须22 3 112aaa ，此时 a 1； 7分 当 a 13 时， A ， 使 B A的 a不存在； 9分 当 a 13 时， A（ 2， 3a 1） 要使 B A，必须2221 3 1a
10、aa ，此时 1 a 3. 11分 综上可知，使 B A的实数 a的取值范围为 1， 3 1 12分 20. 解： （）当 a 2， k 1时， 联立方程组得221yxxy ，解之得1343xy 或 10xy ， 3分 即 A、 B的坐标分别为（ 14,33 ）和（ 1， 0） |AB| 221 4 4 2(1 ) (0 )3 3 3 . 6分 （ 也可利于弦长公式计算 ） （）设 P（ x， y）， A（ x1， y1）， B（ x2， y2），则 E（ ,22xy） . 由 221122xyxy ，两式相减并整理得： 1 2 1 21 2 1 2 2y y y yx x x x ， 8分 即 2AB OPkk ， 由于 l过定点 M（ 0， 1），即 AB MEkk ， 12 22yyx x ， 12 分 即 222 2 0x y y ，这就是点 P的轨迹方程 . 14 分 注： 本参考 答案只给出一种解法，其他解法请老师们参考本答案的标准给分 .
