1、 2017-2018 学年河北省衡水市景县中学高一（上）期中数学试卷 一、选择题（每题 5 分，共 60 分） 1方程组 的解集是（ ） A （ 5， 4） B （ 5， 4） C （ 5， 4） D （ 5， 4） 2 x R，则 f（ x）与 g（ x）表示同一函数的是（ ） A f（ x） =x2， B f（ x） =1， g（ x） =（ x 1） 0 C ， D ， g（ x） =x 3 3若函数 y=f（ x）的定义域是 0， 2，则函数 g（ x） = 的定义域是（ ） A 0， 1 B 0， 1） C 0， 1） （ 1， 4 D（ 0， 1） 4已知 A=x|x 1， ，若
2、A B ，则实数 a 的取值范围是（ ） A 1， + ） B ， 1 C ， + ） D（ 1， + ） 5已知函数 ，则 =（ ） A B C D 6已知 f（ x） =x5 +bx 8，且 f（ 2） =10，则 f（ 2） =（ ） A 26 B 18 C 10 D 10 7已知 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，它在 0， + ）上递增，那么一定有（ ） A B C D 8若偶函数 y=f（ x）在（ ， 0上单调递减，且 ， ， ，则下列不等式成立的是（ ） A a b c B b a c C c a b D c b a 9函数 y=ax（ a 0 且 a 1）与函数 y=（ a
3、 1） x2 2x 1 在同一坐标系内的图象可能是（ ） A B C D 10若函数 y=x2 6x+8 的定义域为 x 1， a，值域为 1， 3，则 a 的取值范围是（ ） A（ 1， 3） B（ 1， 5） C（ 3， 5） D 3， 5 11若 x （ ， 1时，不等式（ m2 m） 4x 2x 0 恒成立，则实数 m 的取值 范围是（ ） A（ 2， 1） B（ 4， 3） C（ 1， 2） D（ 3， 4） 12定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x+y） =f（ x） +f（ y），当 x 0 时， f（ x） 0，则函数 f（ x）在 m， n上有（ ） A最小值 f（
4、 m） B最大值 f（ n） C最小值 f（ n） D最大值 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13集合 A=1， 3， 5， 7， B=x|2 x 5，则 A B= 14已知 f（ ） =x+2 ，则 f（ x） 15当 0 x 1 时，幂函数 y=xp 的图 象在直线 y=x 的上方，则 p 的取值范围是 16下列说法正确的是 任意 x R，都有 3x 2x； 若 a 0，且 a 1， M 0， N 0，则有 loga（ M+N） =logaMlogaN； 的最大值为 1； 在同一坐标系中， y=2x 与 的图象关于 y 轴对称 三、解答题（共 70 分） 17（ 10 分）已知
5、集合 A=1， 3， x2， B=1， 2 x，且 B A （ 1）求实数 x 的值； （ 2）若 B C=A，求集合 C 18（ 12 分）化简下列各式 （ 1） （ 2） 19 （ 12 分）设函数 f（ x） = （ 1）求 f（ 0）， f（ 2）， f（ f（ 3）的值； （ 2）求不等式 f（ x） 2 的解集 20（ 12 分）已知函数 f（ x） = 是奇函数（ a 为常数） （ 1）求 a 的值； （ 2）解不等式 f（ x） 21（ 12 分）已知函数 f（ x） =loga（ 3 ax） （ 1）当 时，函数 f（ x）恒有意义，求实数 a 的取值范围； （ 2）是否存在
6、这样的实数 a，使得函数 f（ x）在区间 2， 3上为增函数，并且 f（ x）的最大值为 1如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由 22（ 12 分）已知 f（ x）是定义在 2， 2上的奇函数，且 f（ 2） =3，若对任意的 m， n 2， 2， m+n 0，都有 0 （ 1）若 f（ 2a 1） f（ a2 2a+2），求实数 a 的取值范围； （ 2）若不等式 f（ x） （ 5 2a） t+1 对任意 x 2， 2和 a 1， 2都恒成立，求实数 t 的取值范围 2017-2018 学年河北省衡水市景县中学高一（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每题 5
7、 分，共 60 分） 1方程组 的解集是（ ） A （ 5， 4） B （ 5， 4） C （ 5， 4） D （ 5， 4） 【分析】 把直线方程代入双曲线方程消去 y 后求得 x，代入直线方程求得 y 【解答】 解：把直线方程代入双曲线方程得 x2（ x 1） 2=9，整理得 2x=10， x=5 x=5 代入直线方程求得 y 5+1= 4 故方程组的解集为 5， 4， 故选 D 【点评】 本题主要考查了直线与双曲线的关系涉及交点问题一般是把直线方程与圆锥曲线的方程联立，通过解方程组求解 2 x R，则 f（ x）与 g（ x）表示同一函数的是（ ） A f（ x） =x2， B f（ x
8、） =1， g（ x） =（ x 1） 0 C ， D ， g（ x） =x 3 【分析】 根据两函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断它们是同一函数 【解答】 解：对于 A， f（ x） =x2（ x R）， g（ x） = =|x|（ x R），两函数对应关系不同，不是同一函数； 对于 B， f（ x） =1（ x R）， g（ x） =（ x 1） 0=1（ x 1），两函数的定义域不同，不是同一函数； 对于 C， f（ x） = =1（ x 0）， g（ x） = =1（ x 0），两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于 D， f（ x） = =x 3（ x 3），
9、 g（ x） =x 3（ x R），两函数的定义域不同，不是同一函数 故选： C 【点评】 本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题 3若函数 y=f（ x）的定义域是 0， 2，则函数 g（ x） = 的定义域是（ ） A 0， 1 B 0， 1） C 0， 1） （ 1， 4 D（ 0， 1） 【分析】 根据 f（ 2x）中的 2x 和 f（ x）中的 x 的取值范围一样得到： 0 2x 2，又分式中分母不能是 0，即： x 1 0，解出 x 的取值范围，得到答案 【解答】 解：因为 f（ x）的定义域为 0， 2，所以对 g（ x）， 0 2x 2 且 x 1，故 x 0
10、， 1）， 故选 B 【点评】 本题考查求复合函数的定义域问题 4已知 A=x|x 1， ，若 A B ，则实数 a 的取值范围是（ ） A 1， + ） B ， 1 C ， + ） D（ 1， + ） 【分析】 由 A=x|x 1， ， A B ，列出不等式能求出实数 a 的取值范围 【解答】 解： A=x|x 1， ， A B ， 2a 1 1，解得 a 1， 实数 a 的取值范围是 1， + ） 故选： A 【点评】 本题考查实数的取值范围的求法，考查交集性质等基础知识，考查运算求解能 力，考查函数与方程思想，是基础题 5已知函数 ，则 =（ ） A B C D 【分析】 由已知中函数
11、，将 x= ，代入可得 的值 【解答】 解： 函数 ， f（ ） = +3= =f（ ） = +1= ， 故选： D 【点评】 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度中档 6已知 f（ x） =x5 +bx 8，且 f（ 2） =10，则 f（ 2） =（ ） A 26 B 18 C 10 D 10 【分析】 设 f（ x） =g（ x） 8，则 g（ x）为奇函数，求得 g（ 2）的值，可 得 f（ 2）的值 【解答】 解：设 f（ x） =x5 +bx 8=g（ x） 8， g（ x）为奇函数， 由 f（ 2） =g（ 2） 8=10，可得 g（ 2） = g（ 2） =18，故
12、 g（ 2） = 18 则 f（ 2） =g（ 2） 8= 18 8= 26， 故选： A 【点评】 本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题 7已知 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，它在 0， + ）上递增，那么一定有（ ） A B C D 【分析】 由已知中 f（ x）在 0， + ）上递增，结合 a2 a+1= 得到答案 【解答】 解 ： a2 a+1= ， f（ x）在 0， + ）上递增， ， 故选： B 【点评】 本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的单调性，利用配方法得到a2 a+1 是解答的关键 8若偶函数 y=f（ x）在（ ， 0上单调递减，且 ， ， ，则下列不等
13、式成立的是（ ） A a b c B b a c C c a b D c b a 【分析】 根据题意，由偶函数的性质分析可得 f（ x）在区间 0， + ）上单调递增，又由 ，分析可得答案 【解答】 解：根据题意，偶函数 y=f（ x）在（ ， 0上单调递 减， 则函数 f（ x）在区间 0， + ）上单调递增， 又由 ， 则有 c a b， 故选： C 【点评】 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析得到函数在 0，+ ）上的单调性 9函数 y=ax（ a 0 且 a 1）与函数 y=（ a 1） x2 2x 1 在同一坐标系内的图象可能是（ ） A B C D 【分析】 讨论
14、a 的范围，判断函数的单调性，和二次函数的开口方向和对称轴的位置，从而得出答案 【解答】 解：若 0 a 1，则指数函数 y=ax 是减函数， 二次函数 y=（ a 1） x2 2x 1 开口向下，对称轴为 x= 0，排除 D； 若 a 1，则指数函数 y=ax 是增函数， 二次函数 y=（ a 1） x2 2x 1 开口向上，对称轴为 x= 0，排除 B； 又二次函数 y=（ a 1） x2 2x 1 与 y 轴交点为（ 0， 1），排除 A； 故选 C 【点评】 本题考查了指数函数与二次函数的图象，属于中档题 10若函数 y=x2 6x+8 的定义域为 x 1， a，值域为 1， 3，则
15、a 的取值范围是（ ） A（ 1， 3） B（ 1， 5） C（ 3， 5） D 3， 5 【分析】 根据二次函数的性质，画出函数的 图象，从而得出答案 【解答】 解： y=x2 6x+8=（ x 3） 2 1， 对称轴 x=3，与 x 轴的交点为：（ 2， 0），（ 4， 0）， 画出函数的图象：如图示： ， 函数的值域为 1， 3， 3 a 5， 故选： D 【点评】 本题考查了二次函数的性质，考查了数形结合思想，是一道基础题 11若 x （ ， 1时，不等式（ m2 m） 4x 2x 0 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ 2， 1） B（ 4， 3） C（ 1， 2） D（
16、3， 4） 【分析】 由题意可得（ m2 m） 在 x （ ， 1时恒成立，则只要（ m2 m） 的最小值，然后解不等式可 m 的范围 【解答】 解： （ m2 m） 4x 2x 0 在 x （ ， 1时恒成立 （ m2 m） 在 x （ ， 1时恒成立 由于 f（ x） = 在 x （ ， 1时单调递减 x 1， f（ x） 2 m2 m 2 1 m 2 故选 C 【点评】 本题主要考查了函数的恒成立问题 m f（ x）恒成立 m f（ x）得最小值（ m f（ x）恒成立 m f（ x）的最大值），体现出函数 恒成立与最值的相互转化 12定义在 R 上的函数 f（ x） 满足 f（ x+y
17、） =f（ x） +f（ y），当 x 0 时， f（ x） 0，则函数 f（ x）在 m， n上有（ ） A最小值 f（ m） B最大值 f（ n） C最小值 f（ n） D最大值 【分析】 利用赋值法证明 f（ x）的单调性，即可判断函数 f（ x）在 m， n的最值情况 【解答】 解：函数 f（ x）满足 f（ x+y） =f（ x） +f（ y），定义为 R 令 x=y=0，则 f（ 0） =f（ 0） +f（ 0），所以 f（ 0） =0； 再令 y= x，代入原式得 f（ 0） =f（ x） +f（ x） =0，所以 f（ x） = f（ x），故该函数为奇函数且图 象过原点； 设
18、 x y，则 x y 0 那么 f（ x y） 0， 得： f（ x） =f（ x y+y） =f（ x y） +f（ y） 即 f（ x） f（ y） 0 f（ x）是 R 上的减函数 则函数 f（ x）在 m， n上有最大值为 f（ m），最小值为 f（ n） 故选： C 【点评】 本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性求最值的方法 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13集合 A=1， 3， 5， 7， B=x|2 x 5，则 A B= 3， 5 【分析】 利用交集定义直接求解 【解答】 解： 集合 A=1， 3， 5， 7， B=x|2 x 5， A B=3， 5 故答案为： 3，
19、 5 【点评】 本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用 14已知 f（ ） =x+2 ，则 f（ x） x2+4x+3（ x 1） 【分析】 令 t= ，将已知等式中的 x 一律换为 t，求出 f（ t）即得到 f（ x）注意定义域 【解答】 解：令 t= （ t 1）则 x=（ t+1） 2 所以 f（ t） =（ t+1） 2+2（ t+1） =t2+4t+3（ t 1） 所以 f（ x） =x2+4x+3（ x 1） 故答案为： x2+4x+3（ x 1） 【点评】 已知 f（ ax+b）的解析式，求 f（ x）的解析式，一般用换元的方法或配凑的方法，换元时，注意新变量的范围 15当 0 x 1 时，幂函数 y=xp 的图象在直线 y=x 的上方，则 p 的取值范围是 p 1 【分析】 根据幂函数的性质转化为指数函数进行求解 【解答】 解：当 0 x 1 时，幂函数 y=xp 的图象都在直线 y=x 的上方，
