1、 高二数学下册期中考试 （满分 100 分， 90 分钟完成。答案请写在答题纸上。） 一、填空题： 1、 i1+i2+i3+ +i2000=_。 2、已知方程 x2+bx+c=0(b、 c R)有一根为 1-2i，则 b=_。 3、已知复数 Z 满足 |Z|=1，则复数 Z-i 的模的取值 范围 是 _。 4、已知复数 Z1满足 (Z1-2)i=1+i，复数 Z2的虚部为 2，且 Z1Z2是实数，则 Z2=_。 5、已知方程 2217 12xykk表示焦点在 y轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 _。 6、已知双曲线的方程为 22120 5xy，那么它的焦距是 _。 7、与双曲线 22 14
2、yx 有共同渐近线，且过点 M(2,2)的双曲线的标准方程为_。 8、抛物线 2 14xy 上到直线 y=4x-5的距离最短的点为 _。 9、已知复数 Z 满足 |Z|=1，则 W=1+2Z 所对应的点的轨迹是 _。 10、已知双曲线 22112 4xy的右焦点为 F，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是 _。 11、已知 ABC 的三个顶点 A、 B、 C 都在抛物线 y2=32x 上，点 A(2,8)，且这三角形的重心G 是抛物线的焦点，则 BC 边所在直线的方程是 _。 12、设复数 Z 满足 |Z|=2，且 (Z-a)2=a，则实数 a 的值为
3、_。 二选择题： 13、若 Z1， Z2为复数，则 Z12+Z22=0 是 Z1=0 且 Z2=0 的 （ ） A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件 14、下面给出 4 个式子，其中正 确的是 （ ） A、 3i2i B、 |2+3 i|1-4i| C、 |2-i|2i4 D、 i2-i 15、已知直线 30xy 与直线 kx-y+1=0 的夹角为 60 ，则 k 的值为 （ ） A、 3 或 0 B、 3 或 0 C、 2 或 0 D、 2 或 0 16、曲线 214yx 与直线 y=k(x-2)+4 有两个交点时，实数 k 的取值范围是（ ） A、
4、 53( , 124 B、 5( , )12 C、 5(0, )12 D、 13(, )34三解答题： 17、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离等于 5，求 抛物线的方程和 m 的值。 18、已知 Z=1+i，（ 1）设 2 34W Z Z ，求 W；（ 2）如果 22 11Z aZ b iZZ，求实数 a 和 b的值。 19、求与直线 x+2y-1=0 切于点 A(1,0)，且过点 B(2,-3)的圆的方程。 20、已知双曲线 22 12yx ，经过点 M(1,1)能否作一条直线 l，使直线 l 与双曲线交于 A、 B，且 M 是线段 AB 的
5、中点，若 存在这样的直线 l，求出它的方程；若不存在，说明理由。 21、我们把由半椭圆 221( 0)xy xab 与半椭圆 221( 0)yx xbc 合成的曲线称作“果圆”，其中 a2=b2+c2,a0,bc0。如图，点 F0， F1， F2 是相应椭圆的焦点， A1， A2 和 B1， B2 分别是“果圆”与 x 轴， y 轴的交点。 （ 1）若 F0F1F2 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程； （ 2）当 |A1A2|B1B2|时，求 ba的取值范围； （ 3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦。试研究：是否存在实数 k，使斜率为 k 的“果圆”平行弦的中点轨迹总
6、是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的 k 值；若不存在，说明理由。 高二数学期中答案 一、 填空 1、 0 2、 -2 3、 0,2 4、 6+2i 5、 (7,192) 6、 10 7、 2213 12xy8、 (12,1) 9、以 (1,0)为圆心， 2 为半径的圆 10、 33 , 11、 4x+y-40=0 12、 1 或 4 或 1 172 二、选择题： 3 分 13 16 B C A A 三、解答题：（ 8+10+10+10+14） 17、解：设方程为 )0(22 Ppxy 准线 2px 由定义 5)3(2 p 4p xy 82 将 )8,3(m 代入， 62m 18、解（ 1
7、） iz 1 223 4 (1 ) 3 (1 ) 4 1w z z i i i （ 2） iz 1 ， izz bazz 1122 iii biai 11)1()1( )1()1( 22( ) ( 2) 1a b a i ii iiiiaba 1)1()2()( 112baa得 21ba2,1 ba 19、解：设所求圆的方程为 )0()()( 222 rrbyax 由题设知：222222)3()2()1(21rbarbaab解得：520rba 故所求圆的方程为 5)2( 22 yx 20、解：设过点 M（ 1， 1）的直线方程为 y=k(x-1)+1 或 x=1 （ 1）当 k 存在时有 12
8、1)1(22 yxxky 得 032)22()2( 2222 kkxkkxk （ 1） 当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有 0)32)(2(4)22( 2222 kkkkk 23k 又方程（ 1）的两个不同的根是两交点 A、 B 的横坐标 2221 2 )(2 kkkxx 又 M（ 1， 1）为线段 AB 的中点 12 21 xx 即 1222 kkk 2k 022 2 kk 使 但使 0 因此当 k=2 时，方程（ 1）无实数解 故过点 m(1,1)与双曲线交于两点 A、 B 且 M 为线段 AB 中点的直线不存在。 （ 2）当 x=1 时，直线经过点 M 但不满足条件， 综上，符合条件
9、的直线 l 不存在 21、这是两个半椭圆拼装题 （ 1）应用椭圆的定义和性质容易求出“果圆”方程为 2 2 2 2441( 0 ), 1( 0 )73x y x y x x （ 2）由题意，得 a+c2b，即 222a b b a 2 2 2 2 2 2 2(2 ) , (2 )b b c a a b b a ，得 45ba又 b2c2=a2-b2, 22 12ba. 24( , )25ba（ 3）设“果圆” C 的方程为 221( 0)xy xab ， 221( 0)yx xbc 记平行弦的斜率为 k。 当 k=0 时，直线 y=t( b t b )与半椭圆 221( 0)xy xab 的交
10、点是 22( 1 , )tP a tb，与半椭圆 221( 0)yx xbc 的交点是 22( 1 , )tQ c tb。 P、 Q 的中点 M(x,y)满足 2212a c txbyt ，得 2222 1()2xyac b 。 2ab ， 22 2()22a c a c bb 2 02a c b 综上所述，当 k=0 时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上。 当 k0 时，以 k为斜率过 B1的直线 l与半椭圆 221( 0)xy xab 的交点是 2 2 2 32 2 2 2 2 22( , )ka b k a b bk a b k a b由此，在直线 l 右侧，以 k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线 22byxka上，即不在某一椭圆上。当 k0 时，可 类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上。
