1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 年 高考 数学 复习 一校五题选编 2009.5 一、填空题 1 （命题人： 启东中学 曹瑞彬，审题人： 启东中学 李俊 ， 原创 ） 若曲线 4()f x x x在点 P处的切线平行于直线 3x y 0，则点 P的坐标为 【解析】 设 00( , )Px y ，由 3( ) 4 1f x x， 得 3004 1 3, 1xx ，从而 0 0y 点 P 的坐标为 （ 1， 0） 2 （命题人： 启东中学 曹瑞彬，审题人： 启东中学 李俊 ， 原创 ） 在 ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，且2 2 23tan ac
2、B a c b ，则角 B 的大小是 【解析】 由余弦定理 ， 得 Baccab c o s2222 则 2 2 23 3 3ta n 2 c o s 2 c o sa c a cB a c b a c B B ，即 23sin B 所以 B 的大小 是 3 或 32 3 （命题人： 启东中学 李俊，审题人： 启东中学 曹瑞彬 ， 原创 ） 已知 单位正方体 ABCD A1B1C1D1 对棱 BB1， DD1 上有两个动点 E、 F， BE D1F，设EF 与面 AB1 所成角为 ，与面 BC1 所成角为 ，则 的最大值为 【解析】 由对称性可知 ，又 11sin2EF ，所以 45， 90
3、4 （ 命 题人： 启东中学 俞向阳，审题人： 启东中学 李俊） 设函数 () 1xafx x ， 集合 M | ( ) 0x f x ， P | ( ) 0x f x ， 若 M P， 则实数a 的取值范围是 【解析】设函数 1)( x axxf ， 集合 | ( ) 0M x f x 若 a1 时， M x| 10 a1 时， P R， a0,对任意正数a、 b，若 a b， 则 ( ) ( )af a bf b, 的大小关系为 【解析】 设 ()() fxFxx，则 2( ) ( )( ) 0x f x f xFx x，故 ()() fxFxx为增函数，由 ab， 有 ( ) ( ) (
4、 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f a f b a f b b f a b f b a f b b f a a f aab 二、解答题 17 （命题人： 启东中学 曹瑞彬，审题人： 启东中学 李俊 ， 原创 ） 在数列 an中，已知， a1 2， an 1 an 1 an 2 an对于任意正整数 n ， （ ） 求数列 an的通项 an 的表达式； （ ） 若 1 ( 1)niii a a M （ M 为常数，且为整数），求 M 的最小值 解 ： （ ） 由题意，对于 n N*， 0na ，且11 1 122nnaa ，即11 1 1112nnaa 由 1 2a ，得 1111 2
5、a 则数列 1 1na是首项为 12 ， 公比为 12 的等比数列 于是 11 1 1 112 2 2nnna ， 即 221nn na （ ） 由 （ ） ， 得22( 1 ) 1 , 2 , ,( 2 1 )iii ia a i n ， 当 2i 时，因为 12 1 12 2 2 1 1( 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1 2 1i i iii i i i i i i iaa ， 所以1 1 2 21 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )ni i n ni a a a a a a a a 121 2 2 2 22 2
6、2( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 )nn 11 2 1 2 2 3 12 1 1 1 1 1 1( 2 1 ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1nn 13321n 又1 1 2 21 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )ni i n ni a a a a a a a a 121 2 2 2 22 2 2( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 )nn 2)12( 2 211 ， 故 M 的最小值为3 18 （命题人： 启东中学 李俊，审题人： 启东中学 曹瑞彬 ， 原创 ） 设顶点为 P 的抛物线 2 3 ( 0 )y a x x c a 交 x 轴正半轴
7、于 A 、 B 两点，交 y 轴正半轴于 C 点，圆 D（圆心为 D ）过 A 、 B 、 C 三点，恰好与 y 轴相切 求证： PA DA 解 ：设 A 、 B 、 C 三点的坐标为 1( ,0)Ax ， 2( ,0)Bx ， (0, )Cc，圆 D 的圆心坐标为3,2 ca， 由韦达定理 ， 知 12322xx a 原点 O 到圆 D 的切线为 OC ，所以 2OA OB OC ，即 212c x x ca 故 1ac P 点坐标为 23 4 3,24acaa 由（ 1）， 24 3 4 9 54 4 4ac a a a 设 DP 交 x 轴于 E ，要证 PA 与圆 D 相切，即证 90
8、DAP 如果 2DADPDE ，那么 DEA 与 DAP 相似， 90D E AD A P 所以只需证 2DADPDE 而 222 32D A D C a， 54D E D P c c a ， 所以 2DADPDE 等 价 于 23524ccaa ， 即 只 需 要 证2 5494a c c a 由 1ac ， 2 554 4 4 5 944a c c a c a caa ，所以 PA 与圆 D 相切 19 （选题人： 启东中学 陈高峰，审题人： 启东中学 李俊） 已知函数 1)3()( 2 xmmxxf 的图象 x 轴的交点至少有一个在原点右侧 （ 1）求实数 m 的取 值范围； （ 2）令
9、 t m 2，求 1t 的值（其中 t表示不大于 t 的最大整数）； （ 3）对（ 2）中的 t，求函数1111)(tttttttg 的值域 【解析】若 m 0 则 1( ) 3 1 ( ) 0 , 0 .3f x x f x x 由 得符合 题意 若 m0 ， m0 时，由21 0,3 0 , ( 0 , 1 ( 3 ) 4 0 ,mm mmmm 得时，方程有两正根 综上得 1m （ 2） t m 2 ， 11, ), 0 1tt 当 t 1 时， 11 t ， 当 t1 时， 01 t （ 3）当 t 1 时， 21)( tg ； 当 t1 时， 1t 0，设 t n， 且 t t a，
10、则10, aZn 于是 11)( n anantg 由函数 11)( xxxxh 在 时是增函数 ， 及 1 1 11 10 1 , 1 1 1n n a nn n a na n n n 得 设2)1(1111nnn nnan递减 ， )2)(1( 21 nnn naa nn naaaaa 4321 2)1(111 111 nn nnbn递减 ， nbbb 21 于是 t1 时， )(tg 的值域为21 55 , ), , )64ab即 综上 )(tg 的值域为 1 5 5 , )2 6 4 20 （选题人： 启东中学 陈兵，审题人： 启东中学 李俊） 已知定 理： “若 ,ab为常数， ()
11、gx 满足 ( ) ( ) 2g a x g a x b ，则函数 ()y gx 的图象关于点 (, )ab 中心对称 ”设函数 1() xafxax ，定义域为 A （ 1）试证明 ()y f x 的图象关于点 ( , 1)a 成中心对称； （ 2）当 2, 1x a a 时，求证： 1( ) , 02fx； （ 3）对于给定的1xA，设计构造过程：21( ),x f x 32()x f x， ，1 ()nnx f x 如果 ( 2, 3, 4.)ix A i，构造过 程将继续下去；如果ixA，构造过程将停止若对任意1xA，构造过程可以无限进行下去，求 a 的值 【解析】（ 1） 1( )
12、1fxax ， 11( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) 2f a x f a xxx 由已知定理 ， 得 ()y f x 的图象关于点 ( , 1)a 成中心对称 （ 2） 先证明 ()fx 在 2, 1aa上是增函数， 只要证明 ()fx 在 ( , )a 上是增函数 设12x x a ，则12121 2 1 211( ) ( ) 0( ) ( )xxf x f x a x a x a x a x ， ()fx 在 ( , )a 上是增函数 再由 ()fx 在 2, 1aa上是增函数 ， 得 当 2, 1x a a 时， ( ) ( 2 ), ( 1)f x f a f a ，即 1(
13、) , 02fx （ 3） 构造过程可以无限进行下去， 1() xaf x aax对任意 xA 恒成立 方程 1xaaax无解，即 方程 2( 1) 1a x a a 无解或有唯一解 xa 21 0,1 0,aaa 或 2 1 0,1.1aaa aa由此得到 1a 21 （选题人： 启东中学 徐建明，审题人： 启东中学 李俊） 设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） 是函数 f（ x） xx 1log212的图象上任意两点，且)(21 OBOAOM ，已知点 M 的横坐标为 21 （ 1） 求证： M 点的纵坐标为定值； （ 2） 若 Sn f（ nnnfnfn ),1()2()1
14、 N*，且 n2， 求 Sn （ 3） 已知 an12 , 1,31 , 2.( 1)( 1)nnnnSS 其中 n N* Tn为数列 an的前 n 项和，若 Tn （ Sn 1 1） 对一切 n N*都成立，试求 的取值范围 【解析】（ 1）证明： ),(21 OBOAOM M 是 AB 的中点 设 M 点的坐标为（ x，y） ， 由 21 （ x1 x2） x 21 ， 得 x1 x2 1，则 x1 1 x2或 x2 1 x1 而 y 21 （ y1 y2 ） 21 f （ x1 ） f （ x2 ） 21 （ 21 log2 )1lo g211 22211 xxxx 21 （ 1 log
15、2 )1lo g1 22211 xxxx 21 （ 1 log2 )11 2211 xxxx 21 （ 1 log2 ,21)0121 21 21 （）xx xx M 点的纵坐标为定值 21 （ 2）由（ 1） ， 知 x1 x2 1， f（ x1） f（ x2） y1 y2 1， Sn f（ ),1()2()1 nnfnfn Sn f（ )1()2()1 nfnnfnn ， 两式相加 ， 得 2Sn f（ )1()1 nnfn ） f（ )2()2 nnfn ） f（ )1()1 nfnn ） 1 111 n， Sn 21n （ n2， n N*） （ 3） 当 n2时 ， an11 4 1 14 ( ) .( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) 1 2nnS S n n n n Tn a1 a2 a3 an 432 （ )1111()4131 nn 432 （ .22)2131 n nn 由 Tn （ Sn 1 1 ） ， 得 22nn .22n .444444)2( 4 22 nnnnnn n n n4 4， 当且仅当 n 2 时等号成立 ， .2144 4444 nn因此 21 ，即 的取值范围是（ ,21 ） 22 （命题人： 如东中学 葛张勇 ，审题人： 如东中学 何鹏 ， 由中学数学教学参考 2008年 第 1 期题目改编 ）
