高考数学第三次调研考试试题.doc

1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09届高考数学 第三次调研考试 试题 数学学科 试题及答案 本试卷分第 I 卷（填空题）和第 II 卷（解答题）两部分考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上 2选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚 3请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域

2、书写的答案无效 4保持卡面清洁，不折叠，不破损 5作选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 参考公式： 样本数据 1x ， 2x ， ， nx 的标准差 锥体体积公式 2 2 2121 ( ) ( ) ( ) ns x x x x x xn 13V Sh 其中 x 为样本平均数 其中 S 为底面面积、 h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V Sh 24SR ， 343VR 其中 S 为底面面积， h 为高 其中 R 为球的半径 第 I 卷（填空题） 一、 填空题：本大题共 14小题 ,每小题 5分 ,计 70 分 .不需写出解答过程 ,请把

3、答案写在答题纸的指定位置上 . 1如果复数 33 ( )2 ai aRi的模为 32 ，则 a 6 . 2已知集合 2| 6 0 , | 1 0A x x x B x x ，则 BACR 3,1 . 3抛物线 22yx 的焦点坐标为 81,0. 4如图所示，一个水平放置的“靶子”共由 10 个同心圆构成，其半径分别为 1、 2、3 、 10 ，最内的小圆称为 10 环区，然后从内向外的圆环依次为 9环区、 8环区、1 环区，现随机地向“靶子”上撒一粒豆子，则豆子落在 8环区的概率为 201 . 5 某 几 何 体 的 底 部 为 圆 柱 ， 顶 部 为 圆 锥 ， 其 主 视 图 如 图 所

4、示 ， 若02 , 3 , 9 0A B B C D S C ，则该几何体的体积为 310 . 6如图所示的程序框图，如果输入三个实数 ,abc，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入的内容是 cb . 7将函数 s in ( 2 ) (0 )yx 的图象向左平移 6 个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则 的值为 6 . 8已知函数6( 3 ) 3 , 7() ,7xa x xfx ax ，数列 na 满足 *( ),na f n n N，且 数列 na 是递增数列，则实数 a 的取值范围是 （ 2， 3） . 9图（ 1）、（ 2）、（ 3）、（ 4）分别包含 1个、 5

5、个、 13 个、 25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第 n个图形包含 ()fn个“福娃迎迎”，则 ()fn= 122 2 nn .（答案用数字或 n的解析式表示） 第 9 题 (1) (2) (3) (4) 第 11 题 A B C D E F H 10 已知递增的等比数列 na 满足 234 28a a a ， 且 3 2 42,a a a 是 的等差中项 ， 若21lognnba ， 则 数列 nb 的前 n 项和 nS = 2 )3( nn . 11在边长为 1 的菱形 ABCD 中， 0120ABC， E、 F 分别是 BC、 CD 的中点， DE

6、交 AF于点 H ，则 AH AB = 54 . 12若关于 x 的方程 2 2 2 2 2( 6 ) 2 4 1 0x a b b x a b a b 的两个实数根 12,xx满足 1201xx ,则 2244a b a 的取值范围是 549,21. 13若椭圆 22 1( 0 )xy abab 上任一点到其上顶点的最大距离恰好等于该椭圆的中心到其准线的距离，则该椭圆的离心率的取值范围是 1,22 . 14已知定义在 R上的函数 )(xF 满足 ( ) ( ) ( )F x y F x F y ，当 0x 时， ( ) 0Fx . 若对任意的 0,1x ，不等式组 22( 2 ) ( 4 )

7、( ) ( 3 )F k x x F kF x k x F k 均成立，则实数 k 的取值范围是 )2,3( . 第 II 卷（解答题） 二、解答题：本大题共 6小题，计 90分 .解答应写出必要的文字说明 ,证明过程或演算步骤 ,请把答案写在答题纸的指定区域内 . 15 (本小题满分 14分 ) 如图所示，角 A 为钝角，且 3sin 5A ，点 ,PQ分别在角 A 的两边上 （ ） 若 5, 3 5AP PQ，求 AQ 的长 ； （ ） 设 ,A P Q A Q P ，且 12cos 13 ，求 sin(2 ) 的值 QPA第 15 题 解： （ ） 因为 角 A 为钝角 ，且 53sin

8、 A ，所以 54cos A 2分 在 APQ 中，由 AAQAPAQAPPQ c o s2222 ， 得 5410553 222 AQAQ 5分 解得 2AQ 或 10AQ (舍 )，即 AQ 的长为 2 7分 （ ） 由 1312cos ，得 135sin 9分 又 53s in)s in ( A ， 54c o s)c o s ( A 11分 所以 s i n)c os (c os)s i n ()(s i n)2s i n ( 655613554131253 14 分 16 (本小 题满分 14分 ) 某高中地处县城，学校规定家到学校的路程在 10 里以内的学生可以走读，因交通便利，所

9、以走读生人数很多 .该校学生会先后 5 次对走读生的午休情况作了统计，得到如下资料： 若 把 家 到 学 校 的 距 离 分 为 五 个 区 间 ：0 ,2) ,2 ,4) ,4 ,6) ,6 ,8) ,8 ,10 ，则调查数据表明午休的走读生分布在各个区间内的频率相对稳定，得到了如右图所示的频率分布直方图； 走读生是否午休与下午开始上课的时间有着密切的关系 . 下表是根据 5次调查数 据得到的下午开始上课时间与平均每天午休的走读生人数的统计表 . 下午开始上课时间 1： 30 1： 40 1： 50 2： 00 2： 10 平均每天午休人数 250 350 500 650 750 （ ）若随

10、机地调查一位午休的走读生，其家到学校的路程 (单位：里 )在 2,6)的概率是多少？ （ ）如果把下午开始上课时间 1： 30 作为横坐标 0，然后上课时间每推迟 10 分钟，横坐标 x增加 1，并以平均 每天午休人数作为纵坐标 y，试根据表中的 5列数据求平均每天午休人数 y 与上课时间 x之间的线性回归方程 y bx a； （）预测当下午上课时间推迟到 2： 20 时，家距学校的路程在 6里路以上的走读生中约有多少人午休？ 解答： （ ） 7.02)2.015.0( P 4分 （ ） 根据题意，可得如下表格： x 0 1 2 3 4 y 250 350 500 650 750 0.075

11、0 2 4 6 8 10 家到学校 的路程 (里 ) 频组 率距 0.05 0.15 0.2 0.025 则 500,2 yx 所以nib1)()(221)(2 2 5 05 05 01) 5 0(2 130 8分 再由 xbya ，得 240a ，故 所求线性回归方程为 240130 xy 10分 （）下午上课时间推迟到 2： 20时 ， 890,5 yx ， 5.1 3 32)0 2 5.005.0(8 9 0 ， 此时，家距学校的路程在 6里路以上的走读生中约有 133人（ 134人） 14分 17 (本小题满分 14 分 )如图甲，在直角梯形 PBCD 中， /PB CD ， CD B

12、C ，2BC PB CD， A 是 PB 的中点 . 现沿 AD 把平面 PAD 折起，使得 PA AB （如图乙所示）， E 、 F 分别为 BC 、 AB 边的中点 . （ ）求 证： PA 平面 ABCD ； （ ）求 证：平面 PAE 平面 PDE ； （）在 PA 上找一点 G ，使得 /FG 平面 PDE . 解答： （ ） 证： 因为 PA AD,PA AB, AADAB ，所以 PA 平面 ABCD 4分 （ ） 证： 因为 CDPBBC 2 ,A是 PB 的中点，所以 ABCD是矩形，又 E为 BC边的中点，所以 AE ED。又由 PA 平面 ABCD ,得 PA ED ,且

13、 AAEPA ,所以 ED 平面PAE ，而 ED 平面 PDE ， 故 平 面 PAE 平面PDE 9分 （） 过点 F 作 FH ED 交 AD 于 H ，再过 H 作 GH PD 交 PA 于 G ,连结 FG 。 由 FH ED , ED 平面 PED ,得 FH 平面 PED ； 由 GH PD ， PD 平面 PED ，得 GH 平面 PED ， 又 HGHFH ，所以平面 FHG 平面 PED 12分 再分别取 AD 、 PA 的中点 M 、 N ，连结 BM 、 MN ，易知 H 是 AM 的中点， G 是 AN的 中 点 ， 从 而 当 点 G 满足 APAG 41 时 ，

14、有 /FG 平面PDE。 14分 18 (本小题满分 16分 ) 第 17 题 图甲 图乙 已知圆 :C 22( 2) 4xy ，相互垂直的两条直线 1l 、 2l 都过点 ( ,0)Aa . （ ）若 1l 、 2l 都和圆 C 相切，求直线 1l 、 2l 的方程 ； （ ）当 2a 时，若圆心为 (1, )Mm的圆和圆 C 外切且与直线 1l 、 2l 都相切，求圆 M 的方程； （）当 1a 时，求 1l 、 2l 被圆 C 所截得弦长之和的最大值 . 解答： （ ） 显然， 1l 、 2l 的斜率都是存在的，设 )(:1 axkyl ，则 )(1:2 axkyl 1分 则由题意，得

15、2122 kakk ， 2122 ka 3分 解得 1k 且 222 a ，即 1k 且 222a 5分 1l 、 2l 的方程分别为 222:1 xyl 与 222:2 xyl 或222:1 xyl 与222:2 xyl 6分 （ ） 设圆 M 的半径为 r，易知圆心 ),1( mM 到点 )0,2(A 的距离为 r2 ， 222222)2()21(2)21(rmrm 9分 解得 2r 且 7m ，圆 M 的 方 程 为4)7()1( 22 yx 11分 （） 当 1a 时，设圆 C 的圆心为 C ， 1l 、 2l 被圆 C 所截得弦的中点分别为 FE, ，弦长分别为 21,dd ，因为四

16、边形 AECF 是矩形 ，所以 1222 ACCFCE ,即 12424 2221 dd ，化简得 2821 dd 14分 从而 1422 222121 dddd ， 即 1l 、 2l 被圆 C 所截得弦长之和的最大值为 142 16分 19 (本小题满分 16分 ) 设函数 s i n( ) , ( ) c o s s i nxxf x g x x x xx .（）求证：当 (0, x 时， ( ) 0gx ； （）存在 (0, x ，使得 axf )( 成立，求 a 的取值范围； （）若 ( ) c o s s i n ( 1 )g b x b x b x b x b 对 (0, 恒成立

17、，求 b 的取值范围 解答： （） 解答： ( )因为当 ,0x 时， 0s inc o ss inc o s)( xxxxxxxg ， 所以 )(xg 在 ,0 上单调递减， 3分 又 0)0( g ，所以当 ,0x 时， 0)( xg 4分 ( ) 因为 x xx xxxf s in1s in)( ，所以2 s inc o s)( x xxxf ， 由 ( )知，当 ,0x 时， 0sincos xxx ，所以 0)( xf 6分 所以 )(xf 在 ,0 上 单 调 递 减 ， 则 当 ,0x 时，1)()( mi n fxf 8分 由题意知， axf )( 在 ,0 上有解，所以 mi

18、n)(xfa ，从而 1a 10分 （） 由 xbbxbxbxg s inc o s)( )1( b 得 xbbx sinsin )1( b 对 ,0x 恒成立， 当 1,0,1b 时，不等式显然成立 11分 当 1b 时，因为 bbx ,0 ，所以取 ,00 bx，则有 00 s in0s in xbbx ，从而此时不等式不恒成立 12分 当 10 b 时，由 ( )可知 xxxh sin)( 在 ,0 上单调递减， 而 xbx0 ， bxbxx x sinsin ， xbbx sinsin 成立 14 分 当 01 b 时，当 ,0x 时， xbx0 ，则 bxbxbxbxx x s in

19、)s in (s in ， xbbx sinsin 不成立， 综上所述，当 1b 或 10 b 时，有 ( ) c o s s i n ( 1 )g b x b x b x b x b 对 (0, 恒成立 。 16分 20 (本小题满分 16分 ) 数列 na 满足 3,2,1,)1(,2)1(1,0, 1221 nbababbaaa nnnnnn. （）求数列 na 的通项公式； （）当 49272 ,1 aaaa 为某等差数列的第 1 项，第 k 项，第 k +7 项，且2122 maa mm ，求 m 与 b ； （）求证：数列 12na 中能抽取出一个子数列成等比数列 nc 的充要条件

20、是 a 为有理数 . 解答： （） 当 *,12 Nkkn 时， 12 nn aa ， )1()1(1 akkaa n 2分 当 *,2 Nkkn 时， nn aa 22 ， 12 kn ba 4分 12212 1nnbana,*)(,2*)(,12NkknNkkn 5分 （）当 1a 时， 25,14, 49272 aaba ，则该等差数列的公差为 7112749 2749 aad ， 14711)1()1(227 kbdkaa ， 即 )1(71114 kb 又 2122 maa mm ，所以 212 mmb m ，即 212 mmb m 由知， b 为整数或分母为 7 的既约分数；由知，

21、 b 为整数或分母为 2 的既约分数，从而b 必为整数 7分 由知， 0b ，结合得， 0)1(71114 kb ，所以 )1( k 只能取 7，故 3b ， 8分 又由得， 2123 mmm *)( Nm ，设 221 22323)( mmmmmf mm 则 )21(22ln3212)2( l n23)( 1 mmmf mm ， 因为 21 212221 12 mm 12 1 m )2( m 所以当 4m 时， mmm 211)2221(2 21 ，又 12ln3 ， 从而 0)( mf ，故 )(mf 在 ,4 上单调递增。 则由 0416424)4( f ，知 0)( mf 在 ,4 上

22、无解 10分 又 09312)3( f ， 0426)2( f ， 01113)1( f ， 所以 2m 或 3m ， 综上所述，当 3b ，且 2m 或 3m 时满足条件11分 （） 必要性。若 12na 中存在一个子数列 nc 成等比数列，设 121212 , pmn aaa 为其中的连续三项。因为 112 ana n ， 所以 2111 amapan ，则 npmmpna 2)2)(1( 12分 当 02 mpn 时， 02 npm ，即 nppn 4)( 2 ，则 pn ，矛盾； 当 02 mpn 时， Qmpn npma 212 ，则 Qa ，所以必要性成立 13分 充分性。若 a

23、为有理数，因为 112 ana n ，所以可取足够大的正整数 0n ，使 010 an ，因为 10 an 也为有理数，故可设 rpan 10 （其中 rp, 为互质正整数）。 现构造等比数列 nc ，使得首项 101 anc ，公比 1rq ，则 110 )1()1)(1( nnn rrpranc 14分 因为rrrrrrrnnn 1)1()1(1 )1(1)1()1()1(11122 ， 所以 1)1()1()1(1)1( 221 nn rrrrr ， 从而 )1()1()1(1 22 nn rrrprpc ， 设 Mrrr n 22 )1()1()1(1 ，则 M 为正整数， 则 pMa

24、npMrpcn )1( 0 1)( 0 apMn，故 nc 必为 12na 中的项，即等比数列 nc 是 12na 的子数列，所以充分性也成立。 综合知，原命题成立。 16分 数学附加题 21 选做题 在 A、 B、 C、 D四小题中只能选做 2题 ,每小题 10分 ,计 20分 .请把答案写在答题纸的指定区域内 . A.（选修 4 1：几何证明选讲） 如图，四边形 ABCD内接于 圆 O ， 弧 AB 弧 AD ，过 A点的切线交 CB的延长线于 E点 求证： 2AB BE CD 证：连结 AC ,因为 EA 切圆 O 于 A ，所以 EAB ACB。 因为弧 AB 弧 AD ，所以 ACD

25、 ACB， AB AD，于是 EAB ACD 5分 又四边形 ABCD内接于 圆 O ，所以 ABE D，所以 ABE CDA. 于是 DABECDAB ,即 CDBEDAAB ，所以 CDBEAB 2 10分 B （选修 4 2：矩阵与变换） 已知矩阵 11A ab,A的一个特征值 2 ，其对应的特征向量是1 21 . （）求矩阵 A ； （）若向量 74 ，计算 5A 的值 . 解： （） 11A42 3分 （） 矩阵 A的特征多项式为1 1)( f06542 2 ， 解得 3,2 21 6分 A E B C D O 第 21 题 (A) 当 21 时，得 121；当 32 时，得 112

26、， 由 21 nm ，得 472 nm nm，得 1,3 nm 8分 25152155 )(3)3( AAAA 252151 )(3 3 3 94 3 51131223 55 10 分 C （选修 4 4：坐标系与参数方程） 已知某圆的极坐标方程为 2 4 2 cos( 4) 6=0 （）将极坐标方程化为 普通方程 ，并选择恰当的参数写出它的参数方程； （）若 点 ( , )Pxy 在该圆上 ，求 xy 的 最大值和最小值 解答：（） 064422 yxyx ；sin22cos22yx （ 为参数） 5分 （） 因为 4s in24 yx，所以其最大值为 6，最小值为 210分 D.（选修 4 5：不等式选讲） 设 ,abc均为正实数 （）若 1abc，求 2 2 2abc的最小值； （）求证： 1 1 1 1 1 12 2 2a b c b c c a a b . 解答： （） 解：因为 ,abc均为正实数 ，由柯西不等式得 1)()111( 2222222 cbacba ，当且仅当 31 cba 时等号成立， 222 cba 的最小值为 31 5分 （） ,abc均为正实数 ，baabba 12 1212121，当 ba 时等号成立； 则cbbccb 12 1212121，当 cb 时等号成立；