1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 届高考数学 第三次调研考试 卷 (考试时间： 120分钟 +30分钟 总分 160分 +40分 ) 命题人 ：朱占奎（ 江苏省靖江中学） 戴年宝（ 江苏省姜堰中学） 龚留俊（ 江苏省泰兴中学） 审题人 ：蔡德华（泰兴市第二高级中学） 石志群（泰州市教研室） 注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上 ， 答案写在试卷上的无效 参考公式 ： 样本数据 1x ， 2x ， ， nx 的 方 差 )()()(1 222212 xxxxxxns n （ x 为样本平均数 ） 锥体体积公式 13V Sh 柱体体积公式 V Sh （ 其中 S 为底面面积、 h
2、为高 ）用最小二乘法求线性回归方程系数公式 1221niiiniix y nx ybx nx， xbya A必做题部分 一 、填空题 ：（ 本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线 上 ） 1已知集合 2| 2 xxxA 0 ， Zx ，则集合 A 中所有元素之和为 2如果实数 p 和非零向量 a 与 b 满足 0)1( bpap ，则向量 a 和 b （填 “ 共线 ” 或 “ 不共线 ” ） 3 ABC 中，若 BA sin2sin ， 2AC ，则 BC 4 设 123)( aaxxf ， a 为常数若存在 )1,0(0x ，使得 0)( 0
3、 xf ，则实数 a 的 取值范围是 5若复数 aiz 11 ， ibz 32 ， Rba , ，且 21 zz 与 21 zz 均为实数， 则 21zz 6 右边的流程图最后输出的 n 的值 是 CDBA E7若实数 m 、 n 1 ， 1， 2 ， 3 ，且 nm ，则曲线 122 nymx 表示焦点在 y 轴上的双曲线的概率是 8 已知下列结论： 1x 、 2x 都是正数 002121 xx xx ， 1x 、 2x 、 3x 都是正数 000321133221321xxxxxxxxxxxx ， 则由 猜想： 1x 、 2x 、 3x 、 4x 都是正数 9某同学五次考试的数学成绩分别是
4、 120， 129， 121， 125， 130，则这五次考试成绩 的方差是 10如图，在矩形 ABCD 中， 3AB ， 1BC ，以 A为圆心， 1 为半径作四分之一个圆弧 DE ，在圆弧 DE 上任取一点 P ，则直线 AP 与线段 BC 有公共点的概率 是 第 10 题图 11 用一些棱长 为 1cm 的小正方体码放成一个 几何 体，图 1 为其俯视图 ，图 2 为其主视图 ，则这个 几何 体的 体积最大 是 cm3 图 1（ 俯视图 ） 图 2（ 主视图 ） 第 11 题图 12下表是某厂 1 4 月份用水量（单位：百吨）的一组数据， 月份 x 1 2 3 4 用水量 y 4.5 4
5、 3 2.5 由其散点图可知，用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相 关关系，其线性回归方程 是 04321 xxxx 0434232413121 xxxxxxxxxxxx1 2 3 4 0.xx xx xyBCAMOND13已知 xOy 平面内一区域 A ，命题甲：点 ( , ) ( , ) | | | | 1a b x y x y ；命题乙：点 Aba ),( 如果甲是乙的充分条件，那么区域 A 的面积的最小值是 14设 P 是椭圆 11625 22 yx 上任意一点， A 和 F 分别是椭圆的左顶点和右焦点， 则 AFPAPFPA 41 的最小值为 二 、解答题 ：（ 本大题共 6
6、小题 ,共 90 分 .解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 ） 15（ 本小题满分 14 分 ） 直三棱柱 111 CBAABC 中， 11 BBBCAC ，31 AB （ 1）求证：平面 CAB1 平面 CBB1 ； （ 2）求三棱锥 CABA 11 的体积 16（ 本小题满分 14 分 ） 某化工企业 2007 年 底投入 100 万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是 0.5 万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 2 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元 （ 1）求该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用 y （万元）； （ 2
7、）问为使该企业的 年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？ 17（ 本小题满分 14 分 ） 如图，已知圆心坐标为 ( 3,1) 的圆 M 与 x 轴及直线 xy 3 分别相切于 A 、 B 两点，另一圆 N 与圆 M外切、且与 x 轴及直线 xy 3 分别相切于 C 、 D 两点 （ 1）求圆 M 和圆 N 的方程； （ 2）过点 B 作直线 MN 的平行线 l ，求直线 l 被圆 N截得的弦的长度 18 （本小 题满分 14 分） 已知函数 xxxf c o ssin)( ， Rx （ 1）求函数 )(xf 在 2,0 内的单调递增区间； （ 2）若函数 )(xf
8、 在 0xx 处取到最大值，求 )3()2()( 000 xfxfxf 的值； A B C C1 A1 B1 （ 3）若 xexg )( （ Rx ），求证：方程 )()( xgxf 在 ,0 内没有实数解 （参考 数据： ln2 0.69 ， 14.3 ） 19（ 本小题满分 16 分 ） 已知函数 xxxxf 3231)( 23 （ Rx ）的图象为曲线 C （ 1）求曲线 C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围； （ 2）若曲线 C 上存在两点处 的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的取值范围； （ 3）试问：是否存在一条直线与曲线 C 同时切于两个不同点？如果存在，
9、求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由 20（ 本小题满分 18 分 ） 已知数列 na 的 通 项 公 式 是 12 nna ，数列 nb 是 等 差 数 列 ， 令 集 合, 21 naaaA ， , 21 nbbbB ， *Nn 将集合 BA 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为 nc （ 1）若 ncn ， *Nn ，求数列 nb 的通项公式； （ 2）若 BA ，数列 nc 的前 5 项成等比数列，且 11c ， 89c ，求满足451 nncc的正整数 n 的个数 B附加题部分 三、 附加题部分（ 本大题共 6 小题 ,其中第 21 和第 22 题为必做题，第 23
10、26 题为选做题，请考生在第 23 26 题中任选 2 个小题作答， 如果多做，则按所选做的前两题记分 解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 ） 21（ 本小题 为 必做题 ， 满分 12 分 ） 已知直线 kxy 2 被抛物线 yx 42 截得的弦长 AB 为 20， O 为坐标原点 （ 1）求实数 k 的值； （ 2）问点 C 位于抛物线弧 AOB 上何处时， ABC 面积最大？ FEDAB C22 （ 本小题 为 必做题 ， 满分 12 分 ） 甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试 和 面试 均 合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分
11、录取），两次考试过程相互独立根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是 0.6， 0.5， 0.4，能通过面试的概率分别是 0.5， 0.6， 0.75 （ 1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率； （ 2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为 ，求随机变量 的期望 )(E 23（ 本小题 为 选做题 ， 满分 8 分 ） 如图，在 ABC 中， D 是 AC 的中点， E 是 BD 的中点， AE 的延长线 交 BC 于 F . （ 1）求 FCBF 的值； （ 2）若 BEF 的面积为 1S ，四边形 CDEF 的面积为 2S ，求 21
12、:SS 的值 24（ 本小题 为 选做题 ， 满分 8 分 ） 已知直线 l 的参数方程：12xtyt （ t 为参数）和 圆 C 的极坐标方程： )4sin(22 （ 1）将 直线 l 的参数方程化为普通方程， 圆 C 的极坐标方程 化为直角坐标方程； （ 2）判断直线 l 和 圆 C 的位置关系 25（ 本小题 为 选做题 ， 满分 8 分 ） 试求曲线 xy sin 在矩阵 MN 变换 下的函数解析式，其中 M = 20 01， N =10021 26（ 本小题 为 选做题 ， 满分 8 分 ） 用数学归纳法证明不等式：21 1 1 1 1 ( 1 )12 n N nn n n n 且
13、盐城市一中 0809 届春学期第三次调研考试 高三数学试题 参考答案 A必做题部分 一 、填空题 ：（ 本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 ） 1 2 2共线 3 4 4 1( , 1) ( , )2 5 i2321 6 5 7 41 8 0432431421321 xxxxxxxxxxxx 9 16.4 10 31 11 7 12 25.57.0 xy 13 2 14 9 二 、解答题 ：（ 本大题共 6 小题 ,共 90 分 ） 15 （ 本小题满分 14 分 ） 解：（ 1）直三棱柱 ABC A1B1C1 中， BB1底面 ABC， 则 BB1 AB， BB1 BC， -
14、3 分 又由于 AC=BC=BB1=1， AB1= 3 ，则 AB= 2 ， 则由 AC2+BC2=AB2 可知， AC BC， -6 分 又由上 BB1底面 ABC 可知 BB1 AC，则 AC平面 B1CB， 所以有平面 AB1C平面 B1CB； -9 分 （ 2）三棱锥 A1 AB1C 的体积 61121311111 ACABCABA VV -14 分 （注：还有其它转换方法） 16（ 本小题满分 14 分 ） 解：（ 1） x xxy )2642(5.01 0 0 即 5.1100 xxy （ 0x ）； -7 分 （不注明定义域不扣分，或将定义域写成 *Nx 也行） （ 2）由均值不
15、等式得： 5.215.11 0 025.11 0 0 xxxxy （万元） -11 分 当且仅当 xx 100 ，即 10x 时取到等号 -13 分 答：该企业 10 年后需要重新更换新设备 -14 分 17（ 本小题满分 14 分 ） 解：（ 1）由于 M 与 BOA 的两边均相切，故 M 到 OA 及 OB 的距离均为 M 的半 径，则 M 在 BOA 的平分线上， 同理， N 也在 BOA 的平分线上，即 O， M， N 三点共线，且 OMN 为 BOA 的平分线， M 的坐标为 )1,3( ， M 到 x 轴的距离为 1，即 M 的半径为 1， 则 M 的方程为 1)1()3( 22
16、yx ， -4 分 设 N 的半径为 r，其与 x 轴的的切点为 C，连接 MA、 MC， 由 Rt OAM Rt OCN 可知， OM： ON=MA： NC， 即 313 rrrr ， 则 OC= 33 ，则 N 的方程为 9)3()33( 22 yx ； -8 分 （ 2）由对称性可知，所求的弦长等于过 A 点直线 MN 的平行线被 N 截得的弦 的长度，此弦的方程是 )3(33 xy ，即： 033 yx ， 圆心 N 到该直线的距离 d= 23 ， - -11 分 则弦长 = 332 22 dr -14 分 另解：求得 B（ 23,23 ），再得过 B 与 MN 平行的直线方程 033
17、 yx ， 圆心 N 到该直线的距离 d = 23 ，则弦长 = 332 22 dr （也可以直接求 A 点或 B 点到直线 MN 的距离，进而求得弦长） 18 （本小 题满分 14 分） 解：（ 1） )4s in (2c o ss in)( xxxxf ， 令 22,224 kkx （ Zk ） 则 432,42 kkx ， -2 分 由于 2,0 x ，则 )(xf 在 2,0 内的单调递增区间为 43,0 和 2,47 ； -4 分 （注：将单调递增区间写成 43,0 2,47 的形式扣 1 分） （ 2）依题意， 4320 kx（ Zk ）， -6 分 由周期性， )3()2()(
18、000 xfxfxf 12)49c o s49( s i n)23c o s23( s i n)43c o s43( s i n ；-8 分 （ 3）函数 xexg )( （ Rx ）为单调增函数， 且当 4,0 x 时， 0)( xf ， 0)( xexg ，此时有 )()( xgxf ；-10 分 当 ,4x时，由于 785.04ln 4 e ，而 3 4 5.02ln212ln ， 则有 2lnln 4 e ，即 4( ) 24ge ， 又 ()gx 为增函数， 当 ,4x时， ( ) 2gx -12 分 而函数 )(xf 的最大值为 2 ，即 ( ) 2fx ， 则当 ,4x时，恒有
19、)()( xgxf ， 综上，在 ,0 恒有 )()( xgxf ，即方程 )()( xgxf 在 ,0 内没有实数 解 -14 分 19 （ 本小题满分 16 分 ） 解：（ 1） 34)( 2 xxxf ，则 11)2()( 2 xxf ， 即曲线 C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围是 ,1 ； -4 分 （ 2）由（ 1）可知， 11 1kk -6 分 解得 01 k 或 1k ，由 0341 2 xx 或 1342 xx 得： ,22)3,1(22, x ； -9 分 （ 3）设存在过点 A ),( 11 yx 的切线曲线 C 同时切于两点，另一切点为 B ),( 22 yx ，
20、21 xx ， 则切线方程是： )(34()3231(112112131 xxxxxxxy ， 化简得： )232()34( 2131121 xxxxxy ， -11 分 而过 B ),( 22 yx 的切线方程是 )232()34( 2232222 xxxxxy ， 由于两切 线是同一直线， 则有： 3434 222121 xxxx ，得 21 xx ， -13 分 又由 22322131 232232 xxxx ， 即 0)(2)(32212122212121 xxxxxxxxxx04)(31 222121 xxxx，即 012)( 22211 xxxx 即 0124)4( 222 xx
21、， 044 222 xx 得 22x ，但当 22x 时，由 421 xx 得 21x ，这与 21 xx 矛盾。 所以不存在一条直线与曲线 C 同时切于两点。 -16 分 20（ 本小题满分 18 分 ） 解：（ 1）若 ncn ，因为 5， 6， 7 A ，则 5， 6， 7 B ， 由此可见，等差数列 nb 的公 差为 1，而 3 是数列 nb 中的项， 所以 3 只可能是数列 nb 中的第 1， 2， 3 项， 若 31b ，则 2nbn ， 若 32b ，则 1nbn ， 若 33b ，则 nbn ； -4 分 （注：写出一个或两个通项公式得 2 分，全部写出得 4 分） （ 2）首
22、先对元素 2 进行分类讨论： 若 2 是数列 nc 的第 2 项，由 nc 的前 5 项成等比数列，得 934 82 cc ，这显然不可能； 若 2 是数列 nc 的第 3 项，由 nc 的前 5 项成等比数列，得 221 b ， 因为数列 nc 是将集合 BA 中的元素按从小到大的顺序排列构成的， 所以 0nb ，则 21b ，因此数列 nc 的前 5 项分别为 1， 2 ， 2， 22 ， 4， 这样 nbn 2 ， 则数列 nc 的前 9 项分别为 1， 2 ， 2， 22 ， 4， 23 ， 24 ， 25 ， 8， 上述数列符合要求； -10 分 若 2 是数列 nc 的第 k 项（
23、 4k ），则 1212 bb ， 即数列 nb 的公差 1d ， 所以 752516 dbb ， 1， 2， 4 9c ，所以 1， 2， 4 在数列 nc 的 前 8 项中，由于 BA ，这样， 1b ， 2b ， 6b 以及 1， 2， 4 共 9 项， 它们均小于 8， 即数列 nc 的前 9 项均小于 8，这与 89c 矛盾。 综上所述， nbn 2 ， -12 分 其次，当 4n 时， 4521 nncc， 4542356 cc，453467 cc， -14 分 当 7n 时， 24nc ，因为 nb 是公差为 2 的等差数列， 所以 21 nn cc ， -16 分 所以4524 211 111 n nnn nnnnn c ccc ccccc， 此时的 n 不符合要求。所以符合要求的 n 一共有 5 个。 -18 分 B 附加 题部分 三、 附加 题部分 ： 21（必做题）（ 本小题满分 12 分 ） 解：（ 1）将 kxy 2 代入 yx 42 得 0482 kxx ， -2 分 由 01664 k 可知 4k ， 另一方面，弦长 AB 2016645 k，解得 1k ； -6 分 （ 2）当 1k 时，直线为 12 xy ，要使得内接 ABC 面积最大， 则只须使得 2241 CC xy， -10 分
