1、 宁夏省期末模拟试题分类汇编 第 9 部分 :直线与圆 一 .选择题 1（宁夏 09）已知直线 01myx 与直线 122 yxm 0互相垂直，则实数 m 为 A 32 B 0或 2 C 2 D 0或 32 答案：（ B ） 2（宁夏 09）过点 )2,1(M 的直线 l 将圆 9)2( 22 yx 分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线 l 的方程是（ ） A 1x B 1y C 01yx D 032 yx 答案：（ D ） 3（宁夏 09）已知点 A 是直角三角形 ABC 的直角顶点，且 )2,(aA ， ),4( aB ， )1,1( aC ，则三角形 ABC 的外接圆的方程 是 答案：（
2、 5)2( 22 yx ） 4（宁夏 09）若过点 )0,4(A 的直线 l 与曲线 1)2( 22 yx 有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围为（ ） A 3,3 B 3,3 C 33,33 D )33,33( 答案：（ C ） 5 （宁夏 09） 若圆 C的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 034 yx 和 x 轴都相切，则该圆的标准方程是 （ ） A 1)37()3( 22 yx B 1)1()2( 22 yx C 1)3()1( 22 yx D 1)1()23( 22 yx 答案：（ B ） 6 （宁夏 09） 过直线 xy 上的一点 P 作圆 2)1()5( 22 yx 的两条
3、切线 BAll , 21 为切点 ,当直线 21,ll 关于直线 xy 对称时，则 APB （ ） A 30 B 45 C 60 D 90 、 答案：（ C ） 二 .填空题 1（宁夏 09） 已知点 )4,1(P 在圆 042: 22 byaxyxC 上，点 P 关于直线 03yx的对称点也在圆 C 上，则 _, ba 。 答案：（ a=-1 b=1 ） 三 .解答题 1（宁夏 09）（本小题满分 12分） 已知圆 O： 122 yx ，点 O 为坐标原点 ,一条直线 l ： )0( bbkxy 与圆 O相切并与椭圆 12 22 yx 交于不同的两点 A、 B （ 1）设 )(kfb ,求
4、)(kf 的表达式； （ 2）若 32OBOA ， 求直线 l 的方程； （ 3）若 )4332( mmOBOA ， 求三角形 OAB 面积的取值范围 . 答案：解 （ 1） ( 0)y kx b b 与圆 221xy相切 ,则2| 11bk ,即 221( 0)b k k ,所以 . 12 kb 3分 （ 2）设 1 1 2 2( , ), ( , ),A x y B x y则由 22 12y kx bx y ，消去 y 得 : 2 2 2( 2 1 ) 4 2 2 0k x k b x b 又 28 0 ( 0 )kk ，所以 21 2 1 2224 2 2,.2 1 2 1k b bx
5、x x xkk 5分 则 1 2 1 2O A O B x x y y 22 1.21kk由 23OA OB, 所以 2 1.k 所2 2.b 0, 2,bb 7分 所以 : 2 , 2l y x y x . 8 分 （ 3）由（ 2）知： 2 2 1 2 3.,2 1 3 4k mmk 所以 222 1 3 ,3 2 1 4kk 21 1,2 k 10 分 由弦长公式得 22222| | 1 ,21kA B k k 所以 2222 ( 1 )1 | | ,2 2 1kkS A B k 解得 62.43S 12 分 2（宁夏 09）（本小题满分 12分） 已知圆 2522 yx ， ABC 内
6、接于此圆， A 点的坐标 )4,3( ， O 为坐标原点 （）若 ABC 的重心是 )2,35(G ,求直线 BC 的方程；（三角形重心是三角形三条中线的交点，并且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍） （）若直线 AB 与直线 AC 的倾斜角互补，求证：直线 BC 的斜率为定值 答案：（本小题满分 12 分） 解：设 1 1 2 2( , ), ( , )B x y C x y 由题意可得：12123 5334 23xxyy 即12121212xxyy 3分 又 2211222525xyxy 相减得： 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0x x x x y y
7、 y y 12121yyxx 6分 直线 BC 的方程为 1 ( 1)yx ，即 20xy 8分 （ 2）设 AB ： ( 3) 4y k x ，代入圆的方程 整理得： 2 2 2 2( 1 ) ( 8 6 ) 9 2 4 9 0k x k k x k k 13,x 是上述方程的两根 2211223 8 3 4 6 4,11k k k kxykk 11 分 同理可得： 2222223 8 3 4 6 4,11k k k kxykk 14 分 121234BC yyk xx 16分 3 （宁夏 09） 如图，直线 AB经过 O上的点 C，并且 OA=OB， CA=CB， O交直线 OB于 E、
8、D，连结 EC、 CD。 (1)求证：直线 AB 是 O的切线； (2)若 tan CED=21 , O的半径为 3，求 OA的长。 答案： (1)如图，连接 OC， OA=OB， CA=CB OC AB AB是 O的切线 (2) ED是直径， ECD=90 E+ EDC=90 又 BCD+ OCD=90， OCD= ODC， BCD= E 又 CBD+ EBC， BCD BEC BCBDBEBC BC2=BD BE tan CED=21 , 21ECCD BCD BEC, 21 ECCDBCBD 设 BD=x,则 BC=2 又 BC2=BD BE， (2x)2=x (x+6) 解得： x1=
9、0,x2=2, BD=x0, BD=2 OA=OB=BD+OD=3+2=5 4 （宁夏 09） (本小题满分 12分 ) 已知圆 C与两坐标轴都相切，圆心 C到直线 xy 的距离等于 2 . （ 1）求圆 C的方程 . （ 2）若直线 )2,2(1: nmnymxl 与圆 C相切，求证： 246mn . 答案： 解析：（ I）设圆 C半径为 r ，由已知得： 22abraab 11abr ，或 11abr 圆 C方程为 2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) 1 , ( 1 ) ( 1 ) 1x y x y 或 . (II)直线 0l nx m y m n 方 程 为 ， 22: ( 1 ) (
10、 1 ) 1l C x y 直 线 与 圆 相 切 ， O A B C D E O A B C D E 22 1,n m mnnm 2 2 2( ) ,n m m n n m 左边展开，整理得， 2 2 2.mn m n 2 .2mnmn 0 , 0 , 2m n m n m n ， 2 22mn mn ， 2( ) 4 2 0 ,m n m n 2 2 , 2 2 .m n m n 或 2, 2mn 22mn ， 6 4 2.mm 5 （宁夏 09） （本小题满分 12分） 在平 面直角坐标系 xoy 中，设二次函数 ）1(2)( 2 bbxxxf 的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点
11、的圆记为 C （）求圆 C的方程； （）设定点 A 是圆 C 经过的某定点（其坐标与 b 无关），问是否存在常数 ,k 使直线kkxy 与圆 C 交于点 NM, ，且 | ANAM 若存在 ,求 k 的值 ;若不存在 ,请说明理由 . 答案： （本小题满分 12 分） 解 : （ ） 设 所 求 圆 的 一 般 方 程 为2x 2 0y D x Ey F .2分 令 0y 得 2 0x Dx F 这与 022 bxx 是 同一个方程，故 bFD ,2 令 0x 得 02 Eyy ，此方程有一个根为 b ，代入得出 1 bE 所以圆 C 的 方 程 为22 2 ( 1 ) 0x y x b y
12、b .6分 （）由于圆 C 经过定点 A ，所以关于 b 的方程 02)1( 22 yxyxby 有无穷解， 02 0122 yxyx y， 10yx或 12yx圆 C 经过的定点 )1,0(A 或 )1,2(A .8 分 由于直线 kkxy 恒过定点 )0,1( 在圆内， B E D O1 O2 A P C 所以直线与圆 C 有两个交点 NM, .9 分 | ANAM ,点 A 在线段 MN 的垂直平分线上 , 即 AC 与直线 kkxy 垂直 . .10 分 若 )1,0(A ,则 1 ACkk ,得 1)1(0 211bk , 12bk . 若 )1,2(A ,则 1 ACkk ,得 1
13、)1(2 211bk , bk 12 . 综上 , 12bk 或 bk 12 .12 分 6（宁夏 09）如图所示，已知 O1与 O2相交于 A， B 两点，过点 A 作 O1的切线交 O2于点 C，过点 B作两圆的割线，分别交 O1， O2于点 D， E， DE 与 AC相交于点 P. （ 1）求证 ： AD EC； （ 2）若 AD是 O2的切线 ,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD的长 ; 答案：（ 1）证明：连接 AB， AC 是 O1的切线， BAC= D， 又 BAC= E， D= E。 AD EC （ 4分） （ 2）设 BP=x， PE=y， PA=6， PC=2， x
14、y=12， AD EC，269 y xPCAPPEDP， 由可得，43yx或 112yx（舍去） DE=9+x+y=16， AD是 O2的切线， AD2=DB DE=9 16， AD=12。（ 6分） 7（宁夏 09） B（本小题满分 10 分）坐标系与参数方程已知圆系的方程为x2+y2-2axCos -2aySin =0（ a0） （ 1）求圆系圆心的轨迹方程 ; （ 2）证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值 ; 答案：（ 1）由已知圆的标准方程为：（ x-aCos） 2+（ y-aSin） 2=a2（ a0） 设圆的圆心坐标为 (x,y),则 aSiny aCosx( 为参数 ),
15、消参数得圆心的轨迹方程为 :x2+y2=a2,（ 5分） （ 2）有方程组 22222 022ayx a y S ina x C o syx 得公共弦的方程 : ,22 2aa yS ina xC os 圆 X2+Y2=a2的圆心到公共弦的距离 d=2a ，（定值） 弦长 l= aaa 3)2(2 22 （定值）（ 5分） 8 （宁夏 09） （本小题满分 12分） 设点 C 为曲线 )0(2 xxy 上任一点，以点 C 为圆心的圆与 x 轴交于点 AE、 ，与轴交于点 E 、 B . （ 1）证明：多边形 EACB 的面积是定值，并求这个定值； （ 2）设直线 42 xy 与圆 C 交于点
16、NM, ，若 | ENEM ，求圆 C 的方程 . 答案： 解 : （ 1）点 )0)(2,( tttC ,因为以点 C 为圆心的圆与 x 轴交于点 AE、 ，与 y 轴交于点 E 、 B .所以 ,点 E 是直角坐标系原点 ,即 )0,0(E . -1分 于是圆 C 的方程是2222 4)2()( tttytx . -3分 则 )4,0(),0,2( tBtA . -4分 由 | CBCACE 知 ,圆心 C 在 AEBRt 斜边 AB 上 ,于是多边形 EACB 为AEBRt , -5分 其面积 44221|21 ttEBEAS . 所以多边形 EACB 的面积是定 值，这个定值是 4 . -6分 (2) 若 | ENEM ,则 E 在 MN 的垂直平分线上 ,即 EC 是 MN 的垂直平分线 , -8分 222tttkEC , 2MNk . 所以由 1 MNEC kk 得 2t , -10 分 所以圆 C 的方程是 5)1()2( 22 yx . -12分
