1、第一课时 4.1 数学归纳法教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.教学过程：一、复习准备：1. 分析：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2 ）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.回顾：数学归纳法两大步：（i）归纳奠基：证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立；（ii）归纳递推：假设 n=k（kn 0， kN* ）时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立
2、. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 2. 练习：已知 ，猜想 的表达式，并给出证明？*()13521,f ()f过程：试值 ， ， 猜想 用数学归纳法证明.()4f 2()f3. 练习：是否存在常数 a、b、c 使得等式 1345.(2)n对一切自然数 n 都成立，试证明你的结论.21()6nabc二、讲授新课：1. 教学数学归纳法的应用： 出示例 1：求证 *111,23422nNnn分析：第 1 步如何写？n=k 的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？关键：在假设 n=k 的式子上，如何同补？小结：证 n=k+1 时，需从假设出发
3、，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形. 出示例 2：求证：n 为奇数时， xn+yn 能被 x+y 整除.分析要点：（凑配）x k+2+yk+2=x2xk+y2yk=x2(xk+yk)+y2ykx 2yk=x2(xk+yk)+yk(y2x 2)=x2(xk+yk)+yk(y+x)(yx). 出示例 3：平面内有 n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这 n 个圆将平面分成 f(n)=n2n+2 个部分.分析要点：n =k+1 时，在 k+1 个圆中任取一个圆 C，剩下的 k 个圆将平面分成 f(k)个部分，而圆 C 与 k 个圆有 2k 个交点，这 2k
4、 个交点将圆 C 分成 2k 段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增加了 2k 个平面部分.因此，f(k+1)= f(k)+2k=k2k+2+2k =(k+1)2(k +1)+2.2. 练习： 求证: （n N*）.1()()13nA 用数学归纳法证明：（） 能被 264 整除；27497n（） 能被 整除（其中 n，a 为正整数）121()na2a 是否存在正整数 m，使得 f（n）= （2n+7）3 n+9 对任意正整数 n 都能被 m 整除?若存在，求出最大的 m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.3. 小结：两个步骤与一个结论， “递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写
5、明莫忘掉” ；从 n=k 到 n=k+1 时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.三、巩固练习： 1. 练习：教材 50 1、2、5 题 2. 作业：教材 50 3、4 、6 题.第二课时 4.2 数学归纳法教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式.教学难点：理解经典不等式的证明思路.教学过程：一、复习准备：1. 求证： .22 *1(1),35(1)nnN2. 求证： .*,4n二、讲授新课：1. 教学例题： 出示例 1：
6、比较 与 的大小，试证明你的结论 .2n分析：试值 猜想结论 用数学归纳法证明,345,6 要点： . 小结：试值猜想222()13kkkk证明 练习：已知数列 的各项为正数， Sn 为前 n 项和，且 ，归纳出 an 的na 1()nnSa公式并证明你的结论.解题要点：试值 n=1,2,3,4， 猜想 an 数学归纳法证明 出示例 2：证明不等式 .|si|si|()N要点： |si(1)co|sico|sin|kkkkk|1|n 出示例 3：证明贝努利不等式 . (1)(,0,1)nxxN2. 练习：试证明：不论正数 a、b 、c 是等差数列还是等比数列，当 n1, nN *且 a、b 、
7、c互不相等时，均有 an+cn2b n.解答要点：当 a、b、c 为等比数列时，设 a= , c=bq (q0 且 q1). a n+cn=.b当 a、b、c 为等差数列时，有 2b=a+c，则需证 ( )n (n2 且 nN *).2nc. 当 n=k+1 时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) (ak+1+ck+1+akc+cka)411kc41= (ak+ck)(a+c)( )k( )=( )k+1 .41223. 小结：应用数学归纳法证明与正整数 n 有关的不等式；技巧：凑配、放缩.三、巩固练习：1. 用数学归纳法证明： .11tan(2)()().()cos2s4cosn2
8、. 已知 .,22nNn证 明 ：3. 作业：教材 P54 3、5、8 题. 数学归纳法教学目标1了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力2了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤3抽象思维和概括能力进一步得到提高教学重点与难点重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析难点：数学归纳法中递推思想的理解教学过程设计（一）引入师：从今天开始，我们来学习数学归纳法什么是数学归纳法呢？应该从认识什么是归纳法开始（板书课题：数学归纳法）（二）什么是归纳法（板书）师：请看下面几个问题，并由此思考什么是归纳法，归纳法有什么特点问题 1：这里有一袋球共十二个，我们要判
9、断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？（可准备一袋白球、问题用小黑板或投影幻灯片事先准备好）生：把它倒出来看一看就可以了师：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性顺序操作怎么做？生：一个一个拿，拿一个看一个师：对问题的结果是什么呢？（演示操作过程）第一个白球，第二个白球，第三个白球，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球a2，a 3，a 4。的值，再推测通项 an的公式（问题由小黑板或投影幻灯片给出）师：同学们解决以上两个问题用的都是归纳法，你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？生：归纳法是由一些特殊事例推出一般结论的推理方法特点是由特殊一般（板书）师：很好！其实在中学数学中，归纳法我们早就
10、接触到了例如，给出数列的前四项，求它的一个通项公式用的是归纳法，确定等差数列、等比数列通项公式用的也是归纳法，今后的学习还会看到归纳法的运用在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法还应该指出，问题 1 和问题 2 运用的归纳法还是有区别的问题 1 中，一共 12 个球，全看了，由此而得到了结论这种把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法对于问题 2，由于自然数有无数个，用完全归纳法去推出结论就不可能，它是由前 4 项体现的规律，进行推测，得出结论的，这种归纳法称为不完全归纳法（三）归纳法的认识（板书）
11、归纳法分完全归纳法和不完全归纳法（板书）师：用不完全归纳法既然要推测，推测是要有点勇气的，请大家鼓起勇气研究问题 3问题 3：对于任意自然数 n，比较 7n-3与 6（7n+9）的大小（问题由小黑板或投影幻灯片给出）（给学生一定的计算、思考时间）生：经过计算，我的结论是：对任意 nN +，7n-36（7n+9）师：你计算了几个数得到的结论？生：4 个师：你算了 n=1，n=2，n=3，n=4 这 4 个数，而得到的结论，是吧？生：对师：有没有不同意见？生：我验了 n=8，这时有 7n-36（7n+9），而不是 7n-36（7n+9）他的结论不对吧！师：那你的结论是什么呢？（动员大家思考，纠正）
12、生：我的结论是：当 n=1，2，3，4，5 时，7 n-36（7n+9）；当 n=6，7，8，时，7 n-36（7n+9）师：由以上的研究过程，我们应该总结什么经验呢？首先要仔细地占有准确的材料，不能随便算几个数，就作推测请把你们计算结果填入下表内：师：依据数据作推测，决不是乱猜要注意对数据作出谨慎地分析由上表可看到，当 n 依 1，2，3，4，变动时，相应的 7n-3的值以后一个是前一个的 7 倍的速度在增加，而 6（7n+9）相应值的增长速度还不到 2 倍完全有理由确认，当 n 取较大值时，7 n-36（7n+9）会成立的师：对问题 3 推测有误的同学完全不必过于自责，接受教训就可以了其实
13、在数学史上，一些世界级的数学大师在运用归纳法时，也曾有过失误资料 1（事先准备好，由学生阅读）费马（Fermat）是 17 世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献但是，费马曾认为，当 nN 时，2 2n+1 一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4 作了验证后得到的18 世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了 225+1=4 294 967 297=6 700 417641，从而否定了费马的推测师：有的同学说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的但是要告诉同学们，失误的关键不在于多
14、算一个上！再请看数学史上的另一个资料（仍由学生阅读）：资料 2f（n）=n 2+n+41，当 nN 时，f（n）是否都为质数？f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，f（10）=151， f（39）=1 601但是 f（40）=1 681=41 2是合数师：算了 39 个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来师：归纳法为什么会出错呢？生：完全归纳
15、法不会出错师：对！但运用不完全归纳法是不可避免的，它为什么会出错呢？生：由于用不完全归纳法时，一般结论的得出带有猜测的成份师：完全同意那么怎么办呢？生：应该予以证明师：大家同意吧？对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准对于数学问题，应寻求数学证明（四）归纳与证明（板书）师：怎么证明呢？请结合以上问题 1 思考生：问题 1 共 12 个球，都看了，它的正确性不用证明了师：也可以换个角度看，12 个球，一一验看了，这一一验看就可以看作证明数学上称这种证法为穷举法它体现了分类讨论的思想师：如果这里不是 12 个球，而是无数个球，我们用不完全归纳
16、法得到，这袋球全是白球，那么怎么证明呢？（稍作酝酿，使学生把注意力更集中起来）师：这类问题的证明确不是一个容易的课题，在数学史上也经历了多年的酝酿第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科他运用递推的思想予以证明结合问题 1 来说，他首先确定第一次拿出来的是白球然后再构造一个命题予以证明命题的条件是：“设某一次拿出来的是白球”，结论是“下一次拿出来的也是白球”这个命题不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而是研究若某一次是白球这个条件能保证下一次也是白球的逻辑必然性大家看，是否证明了上述两条，就使问题得到解决了呢？生：是第一次拿出的是白球已确认，反复运用上述构造的命题，可得
17、第二次、第三次、第四次、拿出的都是白球师：对它使一个原来无法作出一一验证的命题，用一个推一个的递推思想得到了证明生活上，体现这种递推思想的例子也是不少的，你能举出例子来吗？生：一排排放很近的自行车，只要碰倒一辆，就会倒下一排生：再例如多米诺骨牌游戏（有条件可放一段此种游戏的录相）师：多米诺骨牌游戏要取得成功，必须靠两条：（1）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒；（2）第一张牌被推倒用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法（五）数学归纳法（板书）师：用数学归纳法证明以上问题 2 推测而得的命题，应该证明什么呢？生：先证 n=1 时，公式成立
18、（第一步）；再证明：若对某个自然数（n=k）公式成立，则对下一个自然数（n=k+1）公式也成立（第二步）师：这两步的证明自己会进行吗？请先证明第一步（应追问各步计算推理的依据）师：再证明第二步先明确要证明什么？师：于是由上述两步，命题得到了证明这就是用数学归纳法进行证明的基本要求师：请小结一下用数学归纳法作证明应有的基本步骤生：共两步（学生说，教师板书）：（1）n=1 时，命题成立；（2）设 n=k 时命题成立，则当 n=k+1 时，命题也成立师：其实第一步一般来说，是证明开头者命题成立例如，对于问题 3 推测得的命题：当 n=6，7，8，时，7 n-36（7n+9）第一步应证明 n=6 时，
19、不等式成立（若有时间还可讨论此不等关系证明的第二步，若无时间可布置学生课下思考）（六）小结师：把本节课内容归纳一下：（1）本节的中心内容是归纳法和数学归纳法（2）归纳法是一种由特殊到一般的推理方法分完全归纳法和不完全归纳法二种（3）由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确，因而必须作出证明，证明可用数学归纳法进行（4）数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推（递归）思想，它的操作步骤必须是二步数学归纳法在数学中有广泛的应用，将从下节课开始学习（七）课外作业（1）阅读课本 P112P115 的内容（2）书面作业 P115 练习：1，3课堂教学设计说明1数学归纳法是一种用于证明与自然数 n
20、有关的命题的正确性的证明方法它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可你怎么知道 n=k 时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思
21、想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试2在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法目的是在于加强学生对教学过程的参与程度为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨学生的思维参与往往是从问题开始的，尽快提出适当的问题，并提出思维要求，让学生尽快投入到思维活动中来，是十分重要的这就要求教师把每节课的课题作出层次分明的分解，并选择适当的问题，把课题的研究内容落于问题中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得新的发展本节课的教学设计也想在这方面作些研究3理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明 n=k+1 命题成立时必须用到 n=k 时命题成立这个条件
