1、 四重五步学习法让孩子终生受益的好方法1 让更多的孩子得到更好的教育 400-661-6666实际问题与二元一次方程组一、目标与策略明确学 习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标： 能够借助二元一次方程组解决简单的实际问题，再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用 进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性 体会列方程组比列一元一次方程容易 进一步培养化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力 掌握列方程组解应用题的一般步骤；重点： 经历和体验用二元一次方程组解决实际问题的过程。 进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效
2、数学模型。难点： 正确找出问题中的两个等量关系学习策略： 列方程组解应用题的关键是分析题意，找出相等关系，有些题中有多个相等关系，在找相等关系时应尽量找全。把握题中贯穿整个题意的相等关系，然后列方程组。一般步骤：审、设、列、解、答。二、学习与应用（一）二元一次方程组的解法通常有两种方法，分别是： 和 （二）解下列方程组：（1）解方程组 623()24xyy“凡事预则立，不预则废”。科学地 预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听 讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。知识回顾复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？四重五步学习法让孩子终生受益的好方法2 让
3、更多的孩子得到更好的教育 400-661-6666（2）3231675.xy ， （3）若等式 中的 x、y 满足方程组 ，求 mn 的值。214|0xy48516mxyn214知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“ ”转化为“ ”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的 关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足： （1 ）方程两边表示的是 ；（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等.知识点二：列方程解应用题中常用的基本等量关系（一）行程问题：（1）追及问题:追及问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是 而行。这类问题比
4、较直观，画线段图便于理解、分析。其等量关系式是：两者的行程的开始时两者相距的路程；路程 时间；速度 ；时间 。（2）相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是 而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解、分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之 总路程。（3）航行问题:船在静水中的速度 船的顺水速度；知识要点 预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习，请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补充填在右栏。详细内容请参看网校资源 ID：#tbjx5#246643。四重五步学习法让孩子终生
5、受益的好方法3 让更多的孩子得到更好的教育 400-661-6666船在静水中的速度水速 ；顺水速度逆水速度 水速。注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。（二）工程问题： 工作时间=工作量.（三）商品销售利润问题：(1)利润 成本(进价)；(2) ；(3)利润成本（进价） ；(4)标价成本(进价)(1 )；(5)实际售价标价打折率；注意：“商品利润售价成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。 （例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）（四）储蓄问题：（1）基本概念本金：顾客存入银
6、行的钱叫做本金。利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。本息和：本金与 的和叫做本息和。期数：存入银行的时间叫做期数。利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。利息税：利息的税款叫做利息税。（2）基本关系式利息本金利率期数本息和本金+利息本金+本金利率期数本金（1利率期数）利息税利息利息税率本金利率期数利息税率。税后利息利息（1利息税率） 年利率月利率 月利率 。12注意：免税利息=利息 （五）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例（六）增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量(1增长率)增长后的量；原量(1减少率)减少后的量.（七）和差倍分问题
7、：四重五步学习法让孩子终生受益的好方法4 让更多的孩子得到更好的教育 400-661-6666解这类问题的基本等量关系是：较大量 多余量，总量倍数倍量.（八）数字问题：解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当 n 为整数时，奇数可表示为 (或 )，偶数可表示为 2n 等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字 +个位数字（九）浓度问题：溶液质量浓度= .（十）几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式。（十一）年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等的，两人的 是永远不会变的。（十二）优化方案问题：在解
8、决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点；比较几种方案得出最佳方案。知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：（1）审题:弄清题意及题目中的数量关系；（2）设未知数:可直接设元，也可间接设元；（3）找出题目中的 关系；（4）列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；（5）解所列的方程组，并检验解的正确性；（6）写出答案.要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答
9、” ，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2） “设” 、 “答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.解答步骤简记为：问题 方程组 解答 分 析 抽 象 求 解（4）列方程组解应用题应注意的问题弄清各种题型中基本量之间的关系；审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；列方程组解应用题一定要注意检验。四重五步学习法让孩子终
10、生受益的好方法5 让更多的孩子得到更好的教育 400-661-6666类型一：列二元一次方程组解决行程问题例 1甲、乙两地相距 160 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1 小时 20 分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留 1 小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？思路点拨：画直线型示意图理解题意：这里有两个未知数：(1)汽车的行程；(2)拖拉机的行程. 有两个等量关系：(1)相向而行：汽车行驶 小时的路程拖拉机行驶 小时的路程 千米；(2)同向而行：汽车行驶 小时的路程拖拉机行驶 小时的路程.举一反
11、三：【变式 1】甲、乙两人相距 36 千米，相向而行，如果甲比乙先走 2 小时，那么他们在乙出发 2.5 小时后相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发 3 小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。更多精彩请参看网校资源 ID：#jdlt0#246643四重五步学习法让孩子终生受益的好方法6 让更多的孩子得到更好的教育 400-661-6666【变式 2】两地相距 280 千米，一艘船在其间航行，顺流用 14 小时，逆流用 20 小时，求船在静水中的速度和水流
12、速度。类型二：列二元一次方程组解决工程问题例 2一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用共 3520 元；若先请甲组单独做 6 天，再请乙组单独做 12 天可完成，需付两组费用共 3480 元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需 12 天完成，乙组单独做需 24 天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？思路点拨：本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用共 3520 元；第二层含义：若先请甲组单独做 6天，再请乙组单独做 12 天可完成，需付两组费用共 3480
13、 元。设甲组单独做一天商店应付x 元，乙组单独做一天商店应付 y 元，由第一层含义可得方程 8（x+y）=3520,由第二层含义可得方程 6x+12y=3480. 总结升华： 举一反三：【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作 6 周完成需工钱 5.2万元；若甲公司单独做 4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周完成，需工钱 4.8 万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 四重五步学习法让孩子终生受益的好方法7 让更多的孩子得到更好的教育 400-661-6666类型三：列二元一次方程组解决商品销售利润问题例 3有甲、
14、乙两件商品，甲商品的利润率为 5%,乙商品的利润率为 4%,共可获利 46 元。价格调整后，甲商品的利润率为 4%，乙商品的利润率为 5%，共可获利 44 元，则两件商品的进价分别是多少元？思路点拨：做此题的关键要知道：利润进价利润率举一反三：【变式 1】 （2011 湖南衡阳）李大叔去年承包了 10 亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000 元，其中甲种蔬菜每亩获利 2000 元，乙种蔬菜每亩获利 1500 元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？【变式 2】某商场用 36 万元购进 A、B 两种商品，销售完后共获利 6 万元，其进价和售价如下表：A B进价（元/件） 1200 1000
15、售价（元/件） 1380 1200（注：获利 = 售价进价）求该商场购进 A、B 两种商品各多少件？四重五步学习法让孩子终生受益的好方法8 让更多的孩子得到更好的教育 400-661-6666类型四：列二元一次方程组解决银行储蓄问题例 4小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000 元钱，一种是年利率为 2.25的教育储蓄，另一种是年利率为 2.25的一年定期存款，一年后可取出 2042.75 元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税利息金额20%，教育储蓄没有利息所得税）思路点拨：设教育储蓄存了 x 元，一年定期存了 y 元，我们可以根据题意可列出表格：教育
16、储蓄 一年定期 合计现在 x y一年后总结升华： 举一反三：【变式 1】李明以两种形式分别储蓄了 2000 元和 1000 元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息 43.92 元.已知两种储蓄年利率的和为 3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额20%）思路点拔：扣税的情况：本金年利率(1-20%)年数=利息（利息所得税=利息金额20%）.不扣税时：利息=本金年利率年数.四重五步学习法让孩子终生受益的好方法9 让更多的孩子得到更好的教育 400-661-6666【变式 2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000 元钱.
17、第一种，一年期整存整取，共反复存了 3 次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息 2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为 2.70%.三年后同时取出共得利息 303.75 元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？类型五：列二元一次方程组解决生产中的配套问题例 5某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每 2 米的某种布料可做上衣的衣身 3 个或衣袖 5 只. 现计划用 132 米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为 132 米；第二个相等关系的
18、得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2 倍(注意：别把 2 倍的关系写反了).总结升华： 举一反三：【变式 1】现有 190 张铁皮做盒子，每张铁皮做 8 个盒身或 22 个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？ 思路点拨：两个未知数是制盒身、盒底的铁皮张数，两个相等关系是：制盒身铁皮张数+制盒底铁皮张数=190；制盒身个数的 2 倍=制盒底个数. 四重五步学习法让孩子终生受益的好方法10 让更多的孩子得到更好的教育 400-661-6666【变式 2】某工厂有工人 60 人，生产某种由一个螺栓
19、套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓 14 个或螺母 20 个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。【变式 3】一张方桌由 1 个桌面、4 条桌腿组成，如果 1 立方米木料可以做桌面 50 个，或做桌腿 300 条。现有 5 立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？类型六：列二元一次方程组解决增长率问题例 6某工厂去年的利润（总产值总支出）为 200 万元，今年总产值比去年增加了 20%，总支出比去年减少了 10%，今年的利润为 780 万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？思路点拨：设去年的总产值为 x 万元，总支出为 y 万元，则有总产值/万元 总支出/万元 利润/万元去年 x y 200今年根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值总支出和表格里的已知量和未知量，可以列出两个等式。
