1、 第一讲 二次函数的定义知识点归纳:二次函数的定义:一般地,如果 是常数, ,那么 叫做cbaxy,(2)0ay的二次函数. 二次函数具备三个条件,缺一不可:(1)是整式方程;(2)是一个自变量的二次式;(3)x二次项系数不为 0考点:二次函数的二次项系数不为 0,且二次函数的表达式必须为整式例 1、 函数 y=(m ) x 2m2x1 是二次函数,则 m= 例 2、 下列函数中是二次函数的有( )y=x x1;y=3 (x1) 22;y= (x3) 22x 2;y= 21xxA1 个 B2 个 C 3 个 D4 个例 3、某商场将进价为 40 元的某种服装按 50 元售出时,每天可以售出 3
2、00 套据市场调查发现,这种服装每提高 1 元售价,销量就减少 5 套,如果商场将售价定为 x,请你得出每天销售利润 y 与售价的函数表达式例 4 、如图,正方形 ABCD 的边长为 4,P 是 BC 边上一点,QP AP 交 DC 于 Q,如果 BP=x,ADQ 的面积为 y,用含 x 的代数式表示 y训练题:1、已知函数 y=ax2bxc (其中 a,b,c 是常数) ,当 a 时,是二次函数;当 a ,b 时,是一次函数;当 a ,b ,c 时,是正比例函数2、若函数 y=(m2+2m7)x 2+4x+5 是关于 x 的二次函数,则 m 的取值范围为 。3、已知函数 y=(m1)x 2m
3、 +1+5x3 是二次函数,求 m 的值。4、已知菱形的一条对角线长为 a,另一条对角线为它的 3倍,用表达式表示出菱形的面积 S 与对角线 a 的关系5、请你分别给 a,b,c 一个值,让 为二次函数,且让一次函数 y=ax+b 的图像经过一、二、cbxay2三象限6下列不是二次函数的是( )Ay=3x 24 By= 31x2 Cy= 52xDy=(x1) (x2)7函数 y=(m n)x 2mxn 是二次函数的条件是( )Am、n 为常数,且 m0 Bm 、 n 为常数,且 mnCm、n 为常数,且 n0 Dm、n 可以为任何常数8如图,校园要建苗圃,其形状如直角梯形,有两边借用夹角为 1
4、35的两面墙,另外两边是总长为 30 米的铁栅栏 (1)求梯形的面积 y 与高 x 的表达式;(2)求 x 的取值范围9如图,在矩形 ABCD 中,AB=6cm ,BC=12cm点 P 从点 A 开始沿 AB 方向向点 B 以 1cm/s 的速度移动,同时,点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向 C 以 2cm/s 的速度移动如果 P、Q 两点分别到达 B、C 两点停止移动,设运动开始后第 t 秒钟时,五边形 APQCD 的面积为 Scm2,写出 S 与 t 的函数表达式,并指出自变量 t 的取值范围10已知:如图,在 RtABC 中,C=90,BC=4,AC=8点 D 在斜边 AB 上,分别作
5、DEAC,DF BC,垂足分别为 E、F ,得四边形 DECF设 DE=x,DF=y (1)AE 用含 y 的代数式表示为: AE= ;(2)求 y 与 x 之间的函数表达式,并求出 x 的取值范围;(3)设四边形 DECF 的面积为 S,求 S 与 x 之间的函数表达式第二讲 二次函数的图像和性质知识点归纳:1、求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法: ,顶点是 ,对称轴是直线abcxacbaxy4222 ),( abc422.x(2)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.2、二次函数的图
6、象及性质:(1)二次函数 y=ax2 (a0)的图象是一条抛物线,其顶点是原点,对称轴是 y 轴;当 a0 时,抛物线开口向上,顶点是最低点;当 a0 时,抛物线开口向下,顶点是最高点;a 越小,抛物线开口越大(2)二次函数 的图象是一条对称轴平行 y 轴或者与 y 轴重合的抛物线要会根据对称轴和图像cbxy判断二次函数的增减情况。3、图象的平移:左加右减,上加下减例 1、抛物线 y=2x 26x1 y=2x26x1对称轴顶点坐标开口方向位置增减性最值例 2、已知直线 y=2x3 与抛物线 y=ax2 相交于 A、B 两点,且 A 点坐标为(3,m) (1)求 a、m 的值;(2)求抛物线的表
7、达式及其对称轴和顶点坐标;(3)x 取何值时,二次函数 y=ax2 中的 y 随 x 的增大而减小;(4)求 A、B 两点及二次函数 y=ax2 的顶点构成的三角形的面积例 3、求符合下列条件的抛物线 y=ax2 的表达式:(1)y=ax 2 经过(1,2) ;(2)y=ax 2 与 y= x2 的开口大小相等,开口方向相反;(3)y=ax 2 与直线 y= x3 交于点(2,m ) 例 4、抛物线 y=ax2bxc 如图所示,则它关于 y 轴对称的抛物线的表达式是 例 7、已知二次函数 y=(m2)x 2(m3)xm2 的图象过点(0,5)(1)求 m 的值,并写出二次函数的表达式;(2)求
8、出二次函数图象的顶点坐标、对称轴例 5、二次函数 y=a(xh) 2的图象如图:已知 a= ,OAOC,试求该抛物线的解12 析式。例 6、试写出抛物线 y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。(1)右移 2 个单位;(2)左移 个单位;(3)先左移 1 个单位,再右移 4 个单位。23例 7、把抛物线 y=x2+bx+c 的图象向右平移 3 个单位,在向下平移 2 个单位,所得图象的解析式是y=x23x+5,试求 b、c 的值。训练题:1抛物线 y=4x 24 的开口向 ,当 x= 时,y 有最 值,y= 2当 m= 时,y= (m 1)x m23m 是关于 x
9、的二次函数3抛物线 y=3x 2 上两点 A(x,27) ,B (2,y) ,则 x= ,y= 4当 m= 时,抛物线 y=(m1)x 9 开口向下,对称轴是 在对称轴左侧,y 随 x 的增大而 ;在对称轴右侧,y 随 x 的增大而 5抛物线 y=3x2 与直线 y=kx3 的交点为(2,b) ,则 k= ,b= 6已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 y 轴,且经过点(1,2) ,则抛物线的表达式为7在同一坐标系中,图象与 y=2x2 的图象关于 x 轴对称的是( )Ay= 21x2 By= 21x2 Cy=2x 2 Dy=x 28抛物线,y=4x 2,y= 2x 2 的图象,开口最大的是( )
10、Ay= 4x2 By=4x 2 Cy=2x 2 D无法确定9对于抛物线 y= 31x2 和 y= x2 在同一坐标系里的位置,下列说法错误的是( )A两条抛物线关于 x 轴对称 B两条抛物线关于原点对称C两条抛物线关于 y 轴对称 D两条抛物线的交点为原点10二次函数 y=ax2 与一次函数 y=axa 在同一坐标系中的图象大致为( )11已知函数 y=ax2 的图象与直线 y=x4 在第一象限内的交点和它与直线 y=x 在第一象限内的交点相同,则a 的值为( )A4 B2 C 21D 4112.已知二次函数 y= 41x25x6,当 x= 时,y 最小 = ;当 x 时,y 随 x 的增大而
11、减小13抛 物 线 y=2x2 向 左 平 移 1 个 单 位 , 再 向 下 平 移 3 个 单 位 , 得 到 的 抛 物 线 表 达 式 为14若二次函数 y=3x2+mx3 的对称轴是直线 x1,则 m 。15当 n_,m_ 时,函数 y(m n)x n(mn)x 的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口_.16已知二次函数 y=x22ax+2a+3,当 a= 时,该函数 y 的最小值为 0.17.二次函数 y=3x26x+5 ,当 x1 时,y 随 x 的增大而 ;当 x0,b0,c0 B.a0,b0,c=0C.a0,b0,b 0 Bb -2aCa-b+c 0 Dc0; a+b
12、+c 0 a-b+c 0 b 2-4acbc,且 abc0,则它的图象可能是图所示的( )6二次函数 yax 2bxc 的图象如图 5 所示,那么 abc,b 24ac, 2ab,abc 四个代数式中,值为正数的有( )A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个7.二次函数 y=ax2bxc 与一次函数 y=axc 在同一坐标系中的图象大致是图中的( )8、在同一坐标系中,函数 y=ax2bx 与 y= xb的图象大致是图中的( )9.已知抛物线 yax 2bxc(a0)的图象如图所示,则下列结论: a,b 同号; 当 x1 和 x3 时,函数值相同; 4ab0; 当 y2 时,x 的值只
13、能取 0;其中正确的个数是( )A1 B2 C3 D411.已知二次函数 yax 2bxc 经过一、三、四象限(不经过原点和第二象限)则直线 yaxbc 不经过( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限12、二次函数 的图象如图,下列判断错误的是 ( ))0(2abxA B C D0a0c042acb13、 二次函数 cbxay2的图象如图所示,则下列关系式中错误的是( )1 xAyO1 xByO1xCyO1xDyO第 13 题图yxO 11Aa0Bc 0C b420D a 0第四讲 二次函数的交点问题知识点:二次函数与 x 轴、y 轴的交点的求法:分别令 y=0,x=0;二次函数与
14、一次及反比例函数等的相交:联立两个函数表达式,解方程.例 1、已知抛物线 yx 2-2x-8,(1)求证:该抛物线与 x 轴一定有两个交点,并求出这两个交点的坐标。(2)若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B,且它的顶点为 P,求ABP 的面积例 2、如图,直线 经过 A(3,0) ,B(0,3)两点,且与二次函数 y=x21 的图象,在第一象限内相交于点C求:(1)AOC 的面积;(2)二次函数图象顶点与点 A、B 组成的三角形的面积例 3、.如图,抛物线 经过直线 与坐标轴的两个交点 A、B,此抛物线与 轴的另一个交2yxbc3yxx点为 C,抛物线顶点为 D.(1)求此抛物线的解析式;(2)点 P 为抛物线上的一个动点,求使 : 5 :4 的点 P 的坐标。APCSD