1、椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题(一 ) 定义:1. 命题甲: 动点 到两点 的距离之PBA,2. 和 命题乙: 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B );0(2常 数aAPA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3. 已知 、 是两个定点，且 ,若动点 满足 则动点 的轨迹是（ D ）1F421F421PFA.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段4. 已知 、 是椭圆的两个焦点 , 是椭圆上的一个动点,如果延长 到 ,使得 ,那么动点 的轨迹12 1Q2PFQ是( B )A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点5. 椭圆 上一点 到
2、焦点 的距离为 2， 为 的中点， 是椭圆的中心，则 的值是 4 925yxM1FN1MFOON。6. 选做：F 1 是椭圆 的左焦点，P 在椭圆上运动，定点 A（1，1 ） ，求 的最小值。52 |1PF解： 26| 22AaAP(二 ) 标准方程求参数范围1. 试讨论 k 的取值范围，使方程 表示圆，椭圆，双曲线。 （略）1352kyx2. ( C )轴 上 的 椭 圆 ”的表 示 焦 点 在”是 “方 程 ynymxnm102A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3. 若方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 所在的象限是（ A ）cossi22yx
3、 A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4. 方程 所表示的曲线是 椭圆的右半部分 .2315. 已知方程 表示焦点在 X 轴上的椭圆,则实数 k 的范围是 k1 kyx(三 ) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1 ）两个焦点的坐标分别为（0 ，5）和（0 ，5） ，椭圆上一点 到两焦点的距离之和为 26；P4692xy（2 ）长轴是短轴的 2 倍，且过点（2，6 ） ；1378,1352y或（3 ）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 ,求椭圆方程.)23(),16(2P92yx2. 简单几何性质1 求下列椭圆的标准方程（
4、1） ； （2）过（ 3，0）点，离心率为 。3,8ec 36e104,180422yxy或 19,1722yxy或（3 ）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是 。329,129x或（4 ）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5，焦点到椭圆中心的距离为 3，则椭圆的标准方程为156,56yy或（5 ）已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为 和 ，过 P 作长轴的垂线恰好过3542椭圆的一个焦点。 1035,10322yxy或3过椭圆 的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 P，F 2 为右焦点，若 ，则椭圆)(2ba
5、1Fx 6021PF的离心率为_ _3（四）椭圆系共焦点，相同离心率1椭圆 与 的关系为（ A ） 1925yx )90(19252kykxA相同的焦点 B。有相同的准线 C。有相等的长、短轴 D。有相等的焦距2、求与椭圆 有相同焦点，且经过点 的椭圆标准方程。4y23，1052yx（五）焦点三角形 4a1. 已知 、 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 、 两点。若 ，则1F21952yx1FAB122BFA8 。AB2. 已知 、 为椭圆 的两个焦点，过 且斜率不为 0 的直线交椭圆于 、 两点，则 的周长1222 1是 20 。3. 已知 的顶点 、 在椭圆 上，顶点 是椭圆的一个焦
6、点，且椭圆的另外一个焦点在 边上，CAB132yxABC则 的周长为 。4（六）焦点三角形的面积： 1. 已知点 是椭圆 上的一点， 、 为焦点， ，求点 到 轴的距离。P12yx1F2021PFx解：设 ),(yxP则 解得 ，所以求点 到 轴的距离为1432y3|yPx3|y2. 设 是椭圆 上的一点， 、 为焦点， ，求 的面积。M16251F2621MF21F解： |24 | 4|)|(|cos21 2122Pb cP 当 ，S=61F)32(16sin|21F3. 已知点 是椭圆 上的一点， 、 为焦点，若 ，则 的面积为 P925yx12 211PF21F3。4. 已知 AB 为经
7、过椭圆 的中心的弦，F(c,0) 为椭圆的右焦点，则AFB 的面积的最大值为 cb )0(2ba。（七）焦点三角形 |1|2|1. 设椭圆 的两焦点分别为 和 ， 为椭圆上一点，求 的最大值，并求此时 点的坐标。492yx1FP21PFP2. 椭圆 的焦点为 、 ，点 在椭圆上，若 ，则 2 ； 120O 1212 41F21。3. 椭圆 的焦点为 、 ， 为其上一动点，当 为钝角时，点 的横坐标的取值范围为 49yx1F2P21PP。)53,(4. P 为椭圆 上一点， 、 分别是椭圆的左、右焦点。 （1）若 的中点是 ，求证：162yx12 1FM；（2）若 ，求 的值。FMO60PF21
8、PF解：（1）MO 为三角形 PF1F2 的中位线，|25|)|(| 11PaMO（2 ） =21P364（八）与椭圆相关的轨迹方程定义法：1. 点 M(x,y)满足 ，求点 M 的轨迹方程。10)3()3(222 yxyx（ ）165y2. 已知动圆 过定点 ，并且在定圆 的内部与其相内切，求动圆圆心 的轨迹方程.P)0,(A64)(:2yB P1762yx3. 已知圆 ,圆 ，动圆 与 外切，与 内切，求动圆圆心 的轨迹方4)3(:2C10)3(:22yxCP1C2P程.解：由题 10|1rrP所以点 的轨迹是：以 ， 为焦点的距离之和为 12 的椭圆。 ，方程为2 6,3ac1273yx
9、4. 已知 ， 是圆 （ 为圆心）上一动点,线段 的垂直平分线交 于 ,则动点)0,2(AB4)(:yxFFABBFP的轨迹方程为 P1325. 已知 A(0,-1),B(0,1),ABC 的周长为 6，则ABC 的顶点 C 的轨迹方程是 。1432yx直接法6. 若 的两个顶点坐标分别是 和 ，另两边 、 的斜率的乘积是 ，顶点 的轨迹方程ABC),0(B)6,(AB9A为 。13682yx相关点法7. 已知圆 ，从这个圆上任意一点 向 轴引垂线段 ，垂足为 ，点 在 上，并且92 PxPMP，求点 M 的轨迹。P12yx8. 已知圆 ，从这个圆上任意一点 P 向 X 轴引垂线段 PP，则线
10、段 PP的中点 M 的轨迹方程是 。429. 已知椭圆 ，A、B 分别是长轴的左右两个端点， P 为椭圆上一个动点，求 AP 中点的轨迹方程。1452yx)(10. 一条线段 的长为 ，两端点分别在 轴、 轴上滑动 ，点 在线段 上，且 ,求点axyAB2:1:B的轨迹方程.M1942yx二、 直线和椭圆的位置关系(一 )判断位置关系1 当 为何值时 ,直线 和椭圆 (1)相交；(2) 相切；(3)相离。mmxyl: 14692yx解：由 消去 y 得 ，判别式：14692xy 03252)25(76m所以，当 时直线与椭圆相交；当 时直线与椭圆相切；当 时直线与椭圆相离。5或2 若直线 与椭
11、圆 有两个公共点，则实数 的取值范围为 。ky62xk 36k或(二 )弦长问题1. 设椭圆 的左右两个焦点分别为 、 ，过右焦点 且与 轴垂直的直线 与椭圆 C)0(1:2bayxC1F22Fxl相交，其中一个交点为 。,M（1 ） 求椭圆的方程； 42y（2 ） 设椭圆 C 的一个顶点为 B（0，-b） ，直线 交椭圆 C 于另一点 N，求 的面积。2BB1解：由（1）点 B（0 ， ） ， ，直线 BF2 的方程为：)0,(2F2yx消去 y 得： ，解得24xy432x34或0所以点 N 的坐标为（ ， ）所以 38)2(211211 NFBFBSS(三 )点差法1. 已知一直线与椭圆
12、 相交于 、 两点,弦 的中点坐标为 ，求直线 AB 的方程.3694yxAB)1,(解：设交点 ，则有 ，),(),(21yxBA1212yx)2(3694221 y（2 ） -（ 1）得 0)(9412即 ，又直线 AB 过点（1 ，1）kxy9)(所以直线 AB 的方程为：)(4x2. 椭圆 C 以坐标轴为对称轴，并与直线 l:x+2y=7 相交于 P、Q 两点，点 R 的坐标为（2，5） ，若 为等腰三角PQR形， ，求椭圆 C 的方程。90PQR解：设椭圆 ，交点 ，)0,(1:2BAyx ),(),(21yx为等腰三角形， ，则9PQR解得 Q（1，3） 。所以 （ 1）257xy
13、 9又 则),(RP12),(或当 ，则有 ，则 （2）yx1 ),3(P4BA由（1） （2 ）得 ，椭圆的方程为78,5BA17852yx当当 ，则有 ，则 （3）yQP1),(),1(6由（1） （3 ）得 B=0（舍去）(四 ) 定值、定点问题1、已知动直线 与椭圆 相交于 、 两点,已知点 ， 求证： 为(1)ykx2:153xyCAB7(,0)3MAMB定值.证明：设交点 ),(),(21yBA由 消去 y 得532xky 0562kxk则有 2211 35,6x),7(),37(1yMByA所以 为定值94)(371() 22122122 kxkxk MAB(五 ) 取值范围问题已知椭圆的一个顶点为 (0,1)A，焦点在 轴上.若右焦点到直线 0y的距 离为 3.（1）求椭圆的方程.（2）设直线 ykxm与椭圆相交于不同的两点 ,MN.当 |A时，求 m的 取值范围解：设椭圆的方程为 ，右焦点 （c0） ，椭圆的下顶点 A（0，-1） ，所以 ，2bya)0,(2cFb又右焦点到直线 0x的距离 得3|2所以 ，椭圆的方程为322cba 132yx
