1、 第 1 页 共 10 页2005 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学(必修+选修 II)第 I 卷(共 60 分)参考公式:如果事件 A、B 互斥,那么 ()()PABP如果事件 A、B 相互独立,那么 一选择题:本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项.(1) ( )221ii(A) ( B) (C)1 (D )i i1(2)函数 的反函数图像大致是 ( )0xy(A) ( B) (C) (D)(3)已知函数 ,则下列判断正确的是( )sincos12yxx(A)此函数的最小周期为 ,其图像的一个对称中心是 ,
2、012(B)此函数的最小周期为 ,其图像的一个对称中心是,(C)此函数的最小周期为 ,其图像的一个对称中心是2,06(D)此函数的最小周期为 ,其图像的一个对称中心是,(4)下列函数既是奇函数,又在区间 上单调递减的是( )1,xy1oxy1xo1 第 2 页 共 10 页(A) (B ) (C) (D)()sinfx()1fx1()2xfa2()lnxf(5)如果 的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中 的系数是( )321 3(A)7 (B) (C)21 (D)721(6)函数 ,若 则 的所有可能值为( )21sin(),0,().xxfe(1),fa(A)1 (B) (C)
3、(D)22,21,(7)已知向量 ,且 , ,则一定共线的三点是( ,ab,56Aabab7ab)( A)A、B、D (B)A 、B、C (C)B、C、D (D)A 、C 、D(8)设地球的半径为 ,若甲地位于北纬 东经 ,乙地位于南纬 东经 ,则甲、R41205120乙两地的球面距离为( )(A) (B ) (C) (D)3656R3R(9)10 张奖券中只有 3 张有奖,5 个人购买,至少有 1 人中奖的概率是( )(A) (B) (C) (D)1012212(10)设集合 A、B 是全集 的两个子集,则 是 的( )UABU(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)冲要条件(D)既不
4、充分也不必要条件(11) ,下列不等式一定成立的是( )a(A) (B)(1)(1)loglog2a(1)(1)loglogaa(C) ()()a (1)()lla(D) (1)(1)lla()(1)a(12)设直线 关于原点对称的直线为 ,若 与椭圆 的交点为:20lxyl 214yxA、B、 ,点 为椭圆上的动点,则使 的面积为 的点 的个数为( )PPAB12P(A)1 (B)2 (C)3 (D) 第 3 页 共 10 页第 II 卷(共 90 分)二填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案须填在题中横线上.(13) .22lim_(1)nnC(14)设双曲线 的
5、右焦点为 ,右准线 与两条渐近线交于 P、 两点,如2(0,)xyabFl Q果 是直角三角形,则双曲线的离心率 .PQF_e(15)设 、 满足约束条件 则使得目标函数 的最大的点 是xy5,3210,4.xy65zxy(,)xy._(16)已知 是不同的直线, 是不重合的平面,给出下列命题:mn、 、若 则/,/mn若 则 若 ,则 是两条异面直线,若/ ,/mn/,n,则/,mn/上面的命题中,真命题的序号是 (写出所有真命题的序号)_三解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17) (本小题满分 12 分)已知向量 和 ,且 求(cos,in)
6、2sin,co,2 82,5mn的值.cos28(18)(本小题满分 12 分) 第 4 页 共 10 页袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为 现有甲、乙两人从袋中轮流摸1,7取 1 球,甲先取,乙后取,然后甲再取取后不放回,直到两人中有一人取到白球时既终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用 表示取球终止所需要的取球次数.(I)求袋中所有的白球的个数;(II)求随机变量 的概率分布;(III)求甲取到白球的概率.(19) (本小题满分 12 分)已知 是函数 的一个极值点,其中 ,1x32()(1)fxmxn,0mnR(I)求 与 的关系式;n(II)求
7、的单调区间;()f(III)当 时,函数 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 ,求 的取值范1,x()yfx围.(20)(本小题满分 12 分)如图,已知长方体 1,ABCD12,AB直线 与平面 所成的角为 , 垂直 于130ED, 为 的中点.EF(I)求异面直线 与 所成的角;AEBF(II)求平面 与平面 所成的二面角;D1(III)求点 到平面 的距离.(21) (本小题满分 12 分)已知数列 的首项 前 项和为 ,且na15,nnS*15()nSN(I)证明数列 是等比数列;(II)令 ,求函数 在点 处的导数 并比较 与21()nfxxa ()fx(1)f2(1)f的大小.2
8、3n(22)(本小题满分 14 分)已知动圆过定点 ,且与直线 相切,其中 .,02p2px0pA1BCD1F11E 第 5 页 共 10 页(I)求动圆圆心 的轨迹的方程;C(II)设 A、B 是轨迹 上异于原点 的两个不同点,直线 和 的倾斜角分别为 和 ,当OOAB变化且 为定值 时,证明直线 恒过定点,并求出该定点的坐标.,(0)2005 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)(试题参考答案)理科数学(必修+选修 II)一选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D B B D C C A D D A A B二填空题13 14. 15. 16. 32e2
9、,3三.解答题17.考查知识点:(三角和向量相结合)解: cosin2,cosinmn=2()= =42(cosin)4cos41cos4由已知 ,得 又85m7252()18216cos(),9808 4cos2518.(考查知识点:概率及分布列)yxo,02pFMN 第 6 页 共 10 页解:(I)设袋中原有 个白球,由题意知n27(1)1()67nCn可得 或 (舍去)即袋中原有 3 个白球.32(II)由题意, 的可能取值为 1,2,3,4,5(1);7P432;6()54;743P21()6所以 的分布列为:1 2 3 4 5P377653513(III)因为甲先取,所以甲只有可
10、能在第一次,第三次和第 5 次取球,记”甲取到白球”为事件 ,则A2()153AP19.(考查知识点:函数结合导数)解(I) 因为 是函数 的一个极值点,所以 ,即2()36()fxmxn1()fx(1)0f,所以610n36(II)由(I)知, =2()(1)fxmx 23(1)xm当 时,有 ,当 变化时, 与 的变化如下表:0m1(ffx2,121,1 ,()f00 00 第 7 页 共 10 页()fx调调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减故有上表知,当 时, 在 单调递减,在 单调递增,在 上单0m()fx2,1m2(1,)m(1,)调递减.(III)由已知得 ,即()3f
11、2()0x又 所以 即 0210xxm21,1,x设 ,其函数开口向上,由题意知式恒成立,()()g所以 解之得 又 所以2100()43m0403m即 的取值范围为m4,320(考查知识点:立体几何)解:在长方体 中,以 所在的直线为 轴,以 所在的直线为 轴,1ABCDABxADy所在的直线为 轴建立如图示空间直角坐标系1z由已知 可得 ,12,(0,)(2,0)(1,)F又 平面 ,从而 与平面 所成的角为 ,又 ,ADBD1AB30DBA2, 从而易得E31,A32,0,2E(I)因为 所以 =,0,1,2BFcos,AEBF124易知异面直线 所成的角为AE、 2ars4(II)易知
12、平面 的一个法向量 设 是平面 的一个法向量,1B(0,1)m(,)nxyzBDF 第 8 页 共 10 页由23(,0)BD 0nBFD023xzy3xzy即 所以 即平面 与平面 所成的二面角的大小(锐1,n 15cos,mnBDF1A角)为 5ars(III)点 到平面 的距离,即 在平面 的法向量 上的投影的绝对值,ABDFABFn所以距离 = 所以点 到平面 的距离为cos,dn25ABD2521 (考查知识点:数列)解:由已知 可得 两式相减得*15()nSN1,4nS即 从而 当 时 所12n12na2na1215S以 又 所以 从而16a121故总有 , 又 从而 即数列 是
13、等比数列;12()nna*N15,0a2na1na(II)由(I)知 3nn因为 所以21()nfxaxa 112()nfxaxa从而 =2 23(32)= - =32n 1 16n由上 - =2(1)3nf2=12 ()n ()(1)当 时,式=0 所以 ;213fn当 时,式=-12 所以2n0() 第 9 页 共 10 页当 时, 又3n100112nn nnCC 21n所以 即 从而n2()f2322 (考查知识点:圆锥曲线)解:(I)如图,设 为动圆圆心, 为记为 ,过点 作直线 的垂线,垂足为M,0pFM2px,由题意知: 即动点 到定点 与定直线 的距离相等,由抛物线的定义NF
14、N知,点 的轨迹为抛物线,其中 为焦点, 为准线,所以轨迹方程为,02p2px;2(0)ypxP(II)如图,设 ,由题意得 (否则 )且 所以直线12,AyBx12x12,0x的斜率存在,设其方程为 ,显然 ,将 与Bkb21,ypykb联立消去 ,得 由韦达定理知2(0)ypxPx20y1212,pykk(1)当 时,即 时, 所以 ,tan1212,0yxy所以 由知: 所以 因此直线 的方程可表示为21204yp214yp24pbk.pkAB,即 所以直线 恒过定点kxP()0kxAB,0(2)当 时,由 ,得 = =tan()tan1t将式代入上式整理化简可得: ,所以 ,12()4py 2tpbk2tanpbk此时,直线 的方程可表示为 即ABykxtan() 第 10 页 共 10 页所以直线 恒过定点AB2,tanp所以由(1) (2)知,当 时,直线 恒过定点 ,当 时直线 恒过定点AB2,0p2AB.,tanp