1、解析几何与向量 9-1解析几何与向量 9-1 1平面向量在解析几何中的应用与求解策略一、利用向量，可以很方便地解决有关平行、垂直、距离等相关问题，其基本理论是： （一） 、直线的方向向量：直线 L 的方向向量为 =（a,b),则该直线的斜率为 k= ba（二） 、利用向量处理平行问题：对非零向量 =(x1,y1), =(x2,y2), 的充要条件是：有且仅有一个实数，使得 = ；亦即 ( )的充要条件是x 1y2-ab0x2y1=0；（三） 、利用向量求角：设 =(x1,y1), =(x2,y2), 则两向量 、 的夹角：cos = cos = = 其特殊情况即为垂直问题：对非零向量 =(x1
2、,y1), =(x2,y2), 的充要条件是 =0x 1x2- y1y2=0； （四） 、利用向量求距离：设 =(x,y),则有| |= = ；x2+y2若 则| |=),(),(21yxBA211()()xy二、典例分析：【题 1】 、点 P（-3,1 ）在椭圆 的左准线上.21(0)xyab过点 P 且方向为 =(2,-5)的光线，经直线 y=-2 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为:( )（A） （B） (C) （D）313212解析 ：如图 ,过点 P（-3， 1）的方向向量 =(2,-5);所以 ；)3(251;,5xylKPQPQ则即 ;联立： ， 由光线反射的对称性知：
3、325;yxLPQ )2,59(235yx得 1FK所以 ，即 ;令 y=0,得 F1（-1，0 ）;综上所述得： c=1，)9(;1F 0:1yLQF;所以椭圆的离心率 故选 A。3,2ac则 .3ace点拨： 本题中光线所处直线的方向向量是 =(2,-5)，则立即有直线的斜率为解析几何与向量 9-2解析几何与向量 9-2 2。55,:1(3)22PQPQKlyx从 而 有 方 程 为【题 2】设椭圆 上一点 到左准线的距离为 10， 是该椭圆的26xF左焦点，若点 满足 ，则 M1()OF|OM解：依据椭圆的第二定义则有：|PF|=6 ，再由第一定义则 |PF |=4；由于 ，由向量1()
4、2OMPF加法的平行四边形法则，则点 M 处于 PF 的中点处，故由中位线定理可知 2。|点拨： 本题中的向量条件 ，抓住向量加法的平行四边形法则，从而转化得出点 M1()2OPF处于 PF 的中点位置。【例题 3】已知 A,B 为椭圆 (ab0)和双曲线 的公共顶点,P,Q 分别为双曲线和椭21xyab21xyab圆上不同于 A,B 的动点,且有 + =( + )(R,|1),设 AP,BP,AQ,BQ 斜率分别为k1,k2,k3,k4,求证 :k1+k2+k3+k4 为一个定值.解、点 A(-a,0)；B(a,0)；由 + =( + ),依据向量加法的平行四边形法则,则有 O、Q、P 三点
5、共线；设 P(x1,y1)、Q（x 2，y 2）,则 - x12a2=1,则 x12-a2 = y12； k1+k2 = + = = ；y12b2 a2b2 y1x1+a y1x1-a 2x1y1x12-a2 2b2a2x1y1同样有 k3+k4= ；由于 = ， 所求的定值为 0。-2b2a2 x2y2 x1y1 x2y2 点拨：本题中的向量条件: + =( + )，通过向量加法的平行四边形法则 ,从而转化得出了O、Q、P 三点共线；然后再继续进行推理、求解，从而得出结论。【例题 4】(2007 年全国高考 理科12 题) 设 为抛物线 的焦点， 为该抛物线上F24yxABC， ，三点，若
6、，则 （ ）FABC0ABCA9 B6 C4 D3解：抛物线的焦点 F（1 ，0）设 A、B 、C 三点的坐标分别为 、 、1(,)xy2(,)解析几何与向量 9-3解析几何与向量 9-3 3；则有 = ， = ， = ，3(,)xy1(,)xy2(1,)xy3(1,)xy ； + + =0；x 1+x2+x3=3,又由抛物线的定义可知FABC023x1+1+x2+1+x3+1=6，从而选（B)。点拨：本题中，向量条件 ；利用向量的坐标运算规律进行转化后可得 x1+x2+x3=3,再FABC0由于所求均为焦半径，从而利用抛物线的定义马上可得到所求之答案为（B） 。【例题 5】 、 （2004
7、年全国高考）给定抛物线 C： F 是 C 的焦点，过点,42xyF 的直线 与 C 相交于 A、B 两点. （）设 的斜率为 1，求 夹角的大小；l lOBA与（）设 ，求 在 轴上截距的变化范围.9,4,若Fy解：（）C 的焦点为 F（1，0 ） ，直线 L 的斜率为 1，所以 L 的方程为 .1xy将 代入方程 ，并整理得 设 则有1xyxy2 .062x),(),(21BxA.,6221 .3)(2),(), 211221 xxyxyxOBA 4164|2 所以 夹角的大小为.413|),cos(BAOBA与 .arcos（）由题设 得 即 F),(),(12yxyx.12),(yxx又
8、由于点 F 为抛物线的焦点，则有 依据抛物线的定义有：x 2+1=(x1+1) ；联立方|AF程和可求得 x1= ；则点 A（ ， ）或求得点 ；又 F（1，0） ，则可得直线 L 的1 1 2(,),B方程为： 当 时，l 在方程 y 轴上的截距,1)(2)( xyxy或 9,4为 由 可知 在4，9上是递减的，,12或 ,12 直线 L 在 y 轴上截距的变化范围为,43234,43 .4,3,点拔：本题主要是将向量相等的条件 ，转化为向量坐标关系等式：AFB解析几何与向量 9-4解析几何与向量 9-4 4即 然后可以此去求出交点 A 的坐标数值，再往下进行),1(),(12yxyx.12
9、),(yxx转化推理，从而使问题得以解决。【例题 6】 （2007 年湖南高考理科 20 题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点2xy1F2的动直线与双曲线相交于 两点2FAB，（I）若动点 满足 （其中 为坐标原点） ，求点 的轨迹方程；（II）在 轴M11FFO Mx上是否存在定点 ，使 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由CC解：由条件知 ， ，设 ， 1(20)， 2()， 1()Axy， 2()Bxy，（I）设 ，则 ， ， ，由xy， F， 1F， 221()(0)FxyFO， ， ，得 即 当 不与 轴垂直时，设直线11FMABO126xy， 214xy，
10、 AB的方程是 代入 有 则 是(2)yk2222()()0kxk12x，上述方程的两个实根，所以 由124kx1212 241y得 ； ；当 时， ，由得， ，将其24kx2yk0ky4xky代入有 整理得 当 时，点 的坐标为 ，22(4)(4)1xyxy2(6)4xy0kM(40)，满足上述方程当 与 轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程故点 的轨迹方AB12x(80)M，程是 2(6)4xy（II）假设在 轴上存在定点点 ，使 为常数，当 不与 轴垂直时，由（I）有(0)Cm， ABAx， 于是211kx21kx21212()()xmk22211()()(422244kmk解析几何与向
11、量 9-5解析几何与向量 9-5 522 22(1)4(1)1mkmk因为 是与 无关的常数，所以 ，即 ，此时 = CAB 01CAB1当 与 轴垂直时，点 的坐标可分别设为 ， ，此时xAB， (2)， (2)，(12)1， ，故在 轴上存在定点 ，使 为常数x(0C， 点拨：本题中的向量条件的转化，关键是利用向量坐标的运算规律去加以运用与转化！【例题 7】设过点 的直线分别与 轴的正半轴和 轴的正半轴交于 两点，点 与点 关(,)Pxyxy,ABQP于 轴对称， 为坐标原点，若 且 ，则点 的轨迹方程是 ( )yO2BPA1OQBPA B231(0,)xxy231(0,xyxyC Dy
12、)解：设 P（x，y） ，则 Q（ x，y） ，又设 A（a，0 ） ，B（0，b） ，则 a0，b0，于是，由 可得 a x，b3y，BbAa （ ， ） ， （ ， ） 2P 32所以 x0，y0 又 （a ，b）（ x，3y） ，由 1 可得B3OQA故选 D)0,(1322y点拨：本题中的向量条件的转化，关键也是利用向量坐标运算规律去加以运用与转化！【例题 8】已知两点 M（ 2，0） 、N （2，0） ，点 P 为坐标平面内的动点，满足0，则动点 P（x，y）的轨迹方程为（ ）|NP（A） （B） （C） （D）xy82y82x42xy42解答、设 ， ， ， ；则(,),(,0)(
13、,NM(,)(2,)PNy由 ，则 ，化简整理得 所以选 B0NPM242)0xyxxy82点拨：本题中的向量条件的转化，关键还是利用向量坐标运算规律去加以运用与转化！【例题 9】已知点 M（2，0） ，N（2，0） ，动点 P 满足条件|PM |PN |= ，记动点 P 的轨迹2为 W. （）求 W 的方程；（）若 A，B 是 W 上的不同两点，O 是坐标原点，求 的最小值.OAB解析几何与向量 9-6解析几何与向量 9-6 6解：（）由|PM|PN|= 知动点 P 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，实半轴长2,MN；又半焦距 c=2，故虚半轴长 ；所以 W 2a2bca的方程为 , 21x
14、yx（）设 A，B 的坐标分别为 , ；当 ABx 轴时,1()y2)x从而 从而 当12,x12,y211.OAByxAB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 ,与 W 的方程联立,消去 y 得km故 所以 22(1)0.km122,x21,xk12OABxy1212()k2211()()xkmx.又因为 ,所以22()k21k24k120,从而 综上, 当 AB 轴时, 取得最小值 2.10.xOAB点拨：向量条件 在综合题中的转化是经常要用到的，它实质是向量坐标运算12OABxy规律的应用与转化。【例题 10】 （2006 年辽宁卷）已知点 , 是抛物线 上的1()Axy2()B
15、120)x2(0)ypx两个动点, 是坐标原点,向量 , 满足 .设圆 的方程为OAC21212()()0xyxy(I) 证明线段 是圆 的直径 ;(II)当圆 C 的圆心到直线 x-2y=0 的距离的最小值为时，求 P 的值。AB【解析 】(I) ；整理得: 22,()()OOABO 0AOB；设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 即12120xy M；整理得:12()()0y 21212()()0xyxy故线段 是圆 的直径ABCO FxyPM H解析几何与向量 9-7解析几何与向量 9-7 7(II)解: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则 ；12xy2211,(
16、0)ypxp214yxp又因 ；12120xy1212x2114p1212,xy124p；所以圆心的轨迹方程为221211()()44x yyypp2()p；设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则22yp2221|()| |555ypyx pyd2()|5yp当 y=p 时,d 有最小值 ,由题设得 .点拨：本小题考查了平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程、点到直线的距离公式等基础知识，以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。【例题 11】 （2006 年天津卷）如图，以椭圆 的中心012bayx为圆心，分别以 和 为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点 作垂Oab cF,直于 轴的直线
17、交大圆于第一象限内的点 连结 交小圆于点 设直线xAOB是小圆的切线 （1 ）证明 ，并求直线 与 轴的交点 的坐标；BFac2ByM（2）设直线 交椭圆于 、 两点，证明 PQ21PQb 证明：（）由题设条件知， 故 ，即 ；因此， ；在RtOFAtFAOcba2cab， 因此， 在 中 ，RtOFA22.acb2.cabRt.2于是，直线 OA 的斜率 .设直线 BF 的斜率为 ，则 .这时，直线 BF 与 轴的oakck1oackby解析几何与向量 9-8解析几何与向量 9-8 8交点为 ；(0,)Ma()由（ ） ，得直线 BF 得方程为 且 ,ykxa2cab由已知，设 、 ，则它们
18、的坐标建立方程组1(,)Pxy2(,)Q；由方程组消去 ，并整理得2xabyky22342()0bakxab由式、和； ；由方程组消去 ，并整理得 4223212()abxakbAx2222() 0baky由式和， 2221 32(1)()()ababkba综上，得到323123()aOPQxybab注意到 ，得2222abac23232()()abOPQ222()1()cb221()acb点拨：本小题主要考查椭圆的标准方程的几何性质、直线方程。平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力.【例题 12】 （2005 年湖南理 19 题14 分）已知椭圆 C
19、： 1（ ab0 ）的左右焦点为2axyF1、F 2，离心率为 e. 直线 l： ye x a 与 x 轴y 轴分别交于点 A、B ，M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点，P 是点 F1 关于直线 l 的对称点，设 . （）证明：1e 2； （ ）确AM定 的值，使得PF 1F2 是等腰三角形.解： 、因为 A、B 分别是直线 l： 与 x 轴、y 轴的交点，所以 A、B 的坐标分别是aey解析几何与向量 9-9解析几何与向量 9-9 9. 所以点 M 的坐标是（ ）. 222.,1).,0( bacbyxbaxeyea 这 里得由 abc2,由 即).,(),(2aecABM得 22 1eabe解 得（）：因为 PF1l，所以PF 1F2=90+BAF1 为钝角，要使 PF1F2 为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 设点 F1 到 l 的距离为 d，由.|cP,1|0)(| 221 ceaed得 所以 .2e.3,3于 是即当 PF1F2为等腰三角形.,3时 点拨：由向量条件： 利用坐标运算性质可 ，从而便于下面的.AMB 2(,)(,)abcae得计算与推理。总之，平面向量在解析几何中的应用非常广泛，通常涉及长度、角度、平行、垂直、共线、共点等问题的处理，其目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。
