1、 20142015 学年度下学期期末考试高二数学（理）考试时间：120 分钟 试卷分数：150 分 命题人：任中美卷一、选择题：（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1已知 是虚数单位，则 = （ ）i31iA.1-2 B.2- C.2+ D.1+2 iii2. 设集合 A= ，集合 B = | -2 -30, 则 = （ |4x x2AB）A.（1,3 B.A若 x，yR，且 x2 y20，则 x，y 全不为 0B若 x，yR，且 x2 y20，则 x，y 不全为 0C若 x，yR，且 x，y 全为 0，则 x2 y20D若
2、x，yR，且 xy0，则 x2 y204. 已知随机变量 服从正态分布 N(4， 2)，若 P(8) 0.4，则 P(0，得 x ；13 13由 f( x)0，得1 x .13因此，函数 f(x)在上的单调递 增区间为， ，单调 递减区间为 8f(x)在 x1 处取得极大值为 f(1)2；又 f(1)6， f(x)在上的 最大值为 f(1)6，1018. 解：(1)因为函数 f(x)ln(e x a)是定义域为 R 的奇函数(2 分)所以 f(0)0，即 ln(1 a) 0，得 a0.(4 分)对于函数 f(x)lne x x，显 然有 f( x) f(x)，故函数 f(x) x 是奇函数，所
3、以 实数 a 的值为 0. (6 分)(2)由(1)知 f(x) x, g(x) x ，则 x xlog2x 在 x时恒成立即 log 2x 在 x上恒成立(8 分)函数 ylog 2x 在 x时的最小值 为 log221，(10 分) 1.(12 分)19 (1)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名,25 周岁以下组工人 40 名,所以,样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中,25 周岁以上组工人有 600.05=3(人),记为 A1,A2,A3.25 周岁以下组工人有 400.05=2(人),记为 B1,B2.从中随机抽取 2 名工人,所有可能的结果共有 10 种,即:(
4、A 1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).其中,至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种,是:(A 1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求概率 P= .710(2)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 名工人中,“25 周岁以上组” 中的生产能手有600.25=15(人),“25 周岁以下组”中的生 产能手有 400.375=15(人),据此可得 22 列联表如下:生产能手 非生产能
5、手 总计25 周岁以上组 15 45 6025 周岁以下组 15 25 40总计 30 70 100所以得:k= = 1.79.100(15251545)260403070 2514因为 1.792.706,所以不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.20. 【证明】 (1)当 n1 时，左边1 ，右边 ，即 n1 时命题成立212 12 12(2)假设 n k(kN )时命题成立，即 1 .412 13 14 12k 1 12k 1k 1 1k 2 12k则当 n k1 时，1 12 13 14 12k 1 12k 12k 1 12k 2 1k 1
6、1k 2 12k 12k 1 12k 2 ( )1k 2 1k 3 12k 1 1k 1 12k 2 ，1k 2 1k 3 12k 1 12k 2即当 n k1 时，等式成立12由(1)和(2)知，等式对任何 nN 都成立21解 (1)解法 1：由题意知， 的可能取值为 0,1,2,3，且P( 0)C (1 )3 ，0323 127P( 1)C (1 )2 ，1323 23 29P( 2)C ( )2(1 ) ，2323 23 49P( 3)C ( )3 .323 827所以 的分布列为 0 1 2 3P 127 29 49 827即 的数学期望为E( )0 1 2 3 2.127 29 49
7、 827解法 2：根据题设可知， B(3， )，23因此 的分布列为P( k)C ( )k(1 )3 kk323 23C ，k0,1,2 ,3.k32k33因为 B(3， )，所以 E( )3 2.23 23(2)解法 1：用 C 表示“甲得 2 分乙得 1 分”这一事件，用 D 表示“甲得 3 分乙得 0 分”这一事件，所以 AB CD，且 C、D 互斥，又P(C)C ( )2(1 ) ，2323 23 23 13 12 13 23 12 13 13 12 1034P(D)C ( )3( ) ，323 13 13 12 435由互斥事件的概率公式得P(AB) P(C) P(D) .1034 435 3435 3424322. 解： 当 102k时， ,对于 ，故 在区间 上12(0,),(0kxgx()gx12(0,)k单调递增，因此当取 时， ，即 不成立，0,020fx所以综上 的最小值为 12k12
