1、1利用方程知识化无限循环小数为分数(1)三门县亭旁镇初级中学 郑永强 数学离不开数，对数的研究是数学教学重要的内容。在小学里，我们已经学过分数（正）可以化为有限小数或者无限循环小数；反过来，小数化分数却没有很好完全解决，其中只解决了有限小数化分数这部分内容，而无限循环小数化分数却没有完全解决，而无限不循环小数就是无理数了，不能化成分数。而无限循环小数化分数这部分内容要想彻底解决，只有在学了高中内容的数列、极限、无穷递缩等比数列求和公式等知识后，才可能彻底理解一般计算公式。这部分内容的学习时间跨度是小学到高中。下面，就遵循从具体例子到一般结论的研究方法（归纳法） ，用解方程的知识，研究一下循环小
2、数化分数这部分内容：1. 例一：化下列无限循环小数为分数： =0.9999999.9.0在解决这个问题前，我们可以先向学生提问 与 1 这两个数谁大，是否相等？估计初一大部分学生回答不等，或者 1 ,【这个提问，我在上高一数学时候也向一个班 55 个同.学调查过，其中 53 个同学回答是 1 ,只有两个同学猜想回答说 1= 。 】那么它们到底909.0那个大呢？从而激起学生的学习兴趣，进而怎么解决这个问题上来。我们用解方程的知识研究一下 这个数到底是一个怎样的数？9.0解：设 x= =0.99999. (1)则 10x= =9.99999. (2).把（2）-（1）得9x=9x=1,即 =19
3、.0所以， 这个数实际上就是数 1.练习：把下列这些循环小数化为分数： ， ， ， 1.023.40， ， ， ， ，5.067.80要求：分四小组，每小组两个，用上面的方法，化一下上面八个无限循环小数为分数。其中四个同学到黑板上面来书写演练，每人计算两个，其中一个规范书写，另外一个简单书写。通过上面例子及练习，我们看到这些循环小数化为分数后，具有一定的规律性。即= ， = ， = ， = ， = ， = ， = ，1.092.3.094.5.096.7.092= ， = =1，8.09.注意：老师重新写一遍结论，书写时候尽量写整齐，有利于学生记忆。这个结论很好记，希望同学们记住，及时记住，快
4、速记住!这些就是循环节是 1 的纯循环小数化分数的公式。在化循环小数为分数时候，这些公式是最基本的。可以统一成这样记忆： = 【注意：这里的字母 a、 b 是表示a.090、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字， 】注意：以后无论什么课，只要是需要记忆的东西，就要及时地记住，这个也是高效学习的要点。记忆是学习的必然要求！没有必要的记忆，学习就失去效率。运用：化下列无限循环小数为分数【循环节是 1 的混循环小数化分数】1. 21.02. 433.65.4. 8705.9.解：【选择一个讲解，其他让四个同学到黑板上来演练。 】设 x= ,21.0则 10x= ，即 10x=1+ ,2.0
5、10x=1+ ，9x= ,01=2.等其他四个同学做好后，把结果放在一起，观察他们有没有规律性， 【鼓励学生要要大胆猜测，下面第二个等号暂时不写出来，等学生发现规律后再写出来】= =21.0901= =433= =65.53= =87.09107= =注意：猜测结论，要进行适当引导，目光要对数字敏感，要大胆猜测。为以后一般性的结论【公式】证明留下悬念。再举例练习验证：化下列无限循环小数为分数【循环节是 1 的混循环小数化分数】1. = = = =02， = = ， = 【本组起巩固、解惑91.008514.908762.907作用，因为一部分学生心中必定还有疑惑，慢、稳、正确，稳扎稳打，实际上
6、就是高效课堂的一种】2. = ， = ， =32.96.578.3. = ， =41001237906同学们观察上面式子的结论，看看能发现什么规律？大胆猜一猜结论形式也可以。一般地，小结：循环节是 1 的循环小数化成分数后，分母 9 的个数是 1 个，分母是 9 或者 90，或者900，或者 9000.等例： = =92345678.00123456780至于循环小数化分数后是否是最简分数，这是约分的内容，这里不研究。同学们课外可以随便举几个例子，写出结论后再验证。以上研究的是循环节是 1 的循环小数化分数的方法，下面就研究循环节是 2 的循环小数化分数的方法【两者类似例二：化下列无限循环小数
7、为分数1.21.02. 433.65.4. 8705.9.解：（取第一个，其余作为四个小组练习用）设 x= =0.121212., (1)21.0则 100x=12.121212. (2)把(2)-(1)得 99x=12,4x=912同学们同理可以得到=43.0=659=87.=0同学们看看，循环节是 2 的纯循环小数化分数有什么规律？一般地，循环节是 2 的纯循环小数化分数的公式是： =ba.09ab【注意：这里的字母 a、b 只是表示 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字，这里 ab也不是表示 a 与 b 的积】运用：化下列无限循环小数为分数（稍有变化，但是循环节仍然是 2，
8、是循环节是 2 的混循环小数）1. 31.02. 6543. 987.解 1：（选一个，其他两个让学生练习)设 x=32.0则 10x=1即 10x=1+.也即 10x=1+ 923x=01即 = ，32.再看同学们的计算结果：5= = ，654.0920456= =87978观察一下上面三个结论，同学们能发现什么计算规律吗？练习：化下列无限循环小数为分数，猜猜下面计算结果（同学们可以课外验证） ，化成分数后，分子形式怎样，分母形式又怎样？1.4312.02. 87563.4. 90一般地：小结：循环节是 2 的循环小数化分数，分母 9 的个是 2 个，分母是 99，或者 990，或者9900
9、，或者 99000，等等。例如： =761345.001902345至于分子的规律性，从上面的例子可以看到，可以看出，待下面一般形式的无限循环小数化化分数的公式证明后，再看就更清楚了。下面部分就不对初中学生讲了，但是可以要求他们记住计算公式。事实上，上面的所有例子的计算，都是无穷递缩等比数列：a,ar,ar2arn-1 ( 1)r求和公式的应用，即a+ar+ar2+arn-1+= ( 1)ra1例如： =0.111111=0.1+0.01+0.001+0.0001+= =1.0 1.09事实上，纯循环小数 S= ，就等于na321S= = =nna1021 1032n 9321个na【注意这里
10、的字母 a1,a2,a3,an只是表示 0、1、2、3、4、 5、6、7、8、9 这十个数字， 】6混循环小数 S= ，就等于nmab 32121.0S= =nnmab10321 )10(32121nmab= =)(232321nma )(21321321nmmb【注意这里的字母不 b1,b2,b3bm也只是表示 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字，b1b2b3bm也不表示是字母和字母的乘积，每个字母也只代表0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字】这样，我们就有了上面无限循环小数化分数的两个基本公式。这也就证明了小学算术中没有解决也不可能解决的循环小数化分数的两个公式的证明。
