1、1目标导向下的数学思想方法专题复习 以函数思想一节复习课为例 浙江省台州市白云学校 李玲娅摘 要：初中数学思想方法专题复习需要让学生经历直观体验、明朗化和自觉应用三个基本阶段，发展发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.开设专题复习函数思想时，根据学生情况，确定教学目标，由目标导向教学任务，引导学生对数学思想的本质认识从内隐行为发展为外显行为，促进学生对数学思想方法的深入理解，对数学思想的应用从自发阶段发展为自觉阶段.关键词：函数思想 教学目标 设计 评析 初中数学教材体系包括两条主线：一条明线，即是数学知识；一条暗线，即是数学思想方法.数学思想方法是编写教材的指导思想，只有理解了思想方
2、法才能真正从整体上、本质上理解教材的知识.这就要求我们教学数学新知识的同时，必须注意数学思想方法的有机渗透和统帅作用；再通过思想方法的专题复习，将这条暗线明朗化，促进学生对思想方法的本质认识，促使学生对思想方法的内隐认识发展为外显行为，从自发应用发展为自觉应用，促进学生数学能力的发展，推动学生整个素质的全面提高.初中数学复习课设计原则，要教会学生学会用数学的知识、思想、方法做事情，发展发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，教师应该关注数学本质，把握复习要求，明确复习目标，用目标导向任务，用任务驱动适当的认知活动.根据目标导向的复习课设计，本人以函数思想一节复习课为例，谈谈本节课的目标设
3、置、教学设计、教学思考及专家的精彩点评与各位同仁一起研讨，共同提高.一、目标和目标解析1.教学目标：（1）理解什么是函数思想；通过具体问题的解决及反思总结，能归纳出用函数思想解决问题的基本思路和一般步骤；（2）通过分析具体问题中的数量关系，明确什么时候可以用函数思想解决，概括出函数思想的本质内涵，能分析两个变量之间的关系构建函数模型，培养学生分析问题和解决问题的能力；（3）能熟练运用函数知识解决问题，体会用函数模型刻画客观世界中的运动变化特征，感受函数思想的重要意义；站在新的高度和角度思考问题，既能从宏观的角度把握问题，又能从微观的角度解答问题.2.目标解析：达成目标（1）的标志是学生能根据问
4、题情境中涉及的两个变量关系，能利用函数思想的基本思路和步骤，构建函数模型解题.达成目标（2）的标志是学生根据函数思想的本质内涵，能挖掘比较隐含的两个变量间的关系，从而运用函数模型解决.达成目标（3）的标志是学生知道函数模型是解决运动变化问题的有效工具，体会利用函数思想解决问题在数学学习中的重要地位.二、教学过程及设计思考1.创设问题情境，提炼思想方法引例 小明想帮爷爷用 40 米长的篱笆在一片空地上围出一个矩形菜园子，试问：小明怎样围，才能2使菜园子面积最大？并求出这个面积的最大值.学生尝试动手完成解题过程，并思考下列问题：解题后思考 1：你为什么选择函数知识来解决这个问题？你在用函数知识解决
5、这个问题时，经历了哪些步骤？你认为用函数思想来解决问题的关键或难点是什么？反思提炼：什么是函数思想？对于一个运动变化问题，我们既可以粗略估计和描述变化过程，也可以用数量精细描述变化的过程；函数就是精细的描述变化中的数量关系的重要数学模型，这种用函数知识研究问题的思想叫函数思想.用函数思想解决问题的一般思路和步骤：运动变化问题 设未知数（变量） 函数问题找变量间关系（建立函数模型） 研究函数性质和图像解决函数问题运动变化问题的解 检验 函数问题的解用函数思想解决问题的关键：构建函数模型，应用函数图像和性质. 设计思考（1）用这道自编的基础题引入，既可让学生感受成功的喜悦，又激发学生学习的兴趣和激
6、情，并体会函数在生活应用中的普遍性.（2）此问题情境，采用先口答后规范解题过程，让学生根据生活经验或解题经验，初步感受用粗略估计方法描述问题到用数学知识进行数量精细描述的过程，体会学习数学的意义.（3）本引例主要目标是在学生自发的运用函数知识解决问题后，通过问题串促进学生反思和总结得出函数思想的涵义、解题思路、步骤及关键，通过寻找两个变量间的关系，建立函数模型.点评利用函数知识解决问题对大多数初中学生来说，都有一定的难度.本引例是函数问题的典型素材，起点低，在学生自发的经历了动手操作、思考归纳、建立模型的三个阶段后，通过解题后的反思总结提升到数学的理性思考，激发学生对函数思想的内隐认识.2.组
7、织学生交流，挖掘本质内涵例 1 如图，已知在正方形 ABCD 中， AB=8cm， M 是边 CD 上的任意一点（不含端点 C、 D），连接 MA，过点 M 作 ME MA 交 BC 于点 E 当点 M 在 CD 上运动到什么位置时，线段 CE 最长？并求出 CE 的最大值. 学生在教师的引导下寻找解题思路，再与同桌之间相互讨论交流，并讨论下列问题：你为什么会想到利用函数思想来解决？什么时候选择函数思想解决问题简便？设计思考（1）学生对于几何题中隐含着的函数关系，需要学生自己寻找两个变量间的关系，从而建立函数模型的问题有较大困难.故此题侧重引导学生反思总结出“当需要涉及两个变量”时，尝试寻找两
8、个变量间的关系，转化为用函数知识来解决，促进学生进一步明确函数的本质内涵及什么时候运用函数思想.（2）本例采用“猜想结论独立思考投影展示相互交流反思深化”的程序，再次感3受粗略估计到数学精细描述的转化，培养学生的猜想、交流能力和学习数学的过程的程序化.点评数学思想方法的概括，需要把思想方法的操作过程模型化、程序化、一般化。在前一环节的铺垫下，本例教学促使学生自觉运用函数思想，把函数思想的运用程序化、一般化、模型化。组织学生相互讨论交流，进一步挖掘了函数思想的本质内涵，使学生对函数思想的认识从内隐转化为外显，实现函数思想方法的明朗化.3.开发生成资源，促进数学思考师：再观察例 1 图形，连结 A
9、E，得到 ABE，如右下图，当 CE 达到最大值时，此时 BE = ， AE = 。现有一点 P 从点 A 出发沿 AE 方向向点 E 运动，速度为 1cm/s.同时点 Q 从点 E 出发沿 E -B -A 方向向点A 运动，速度为 2cm/s，你能提一个有关函数的问题吗？学生提出了许多不同情形的函数问题，可见大家对函数思想有了实质性的理解，我们从中选择一个问题问题在课内共同解决，其余留作课后作业.例 2 如图，在 Rt ABE 中， B=90， AB=8cm， BE=6cm，点 P 从点 A 出发沿 AE 方向向点 E 运动，速度为 1cm/s.同时点 Q 从点 E 出发沿 E -B -A
10、方向向点 A 运动，速度为 2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动.（1）设点 P 的运动时间为 x（s）， PEQ 的面积为 y（cm 2），当 PEQ 存在时，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2） PEQ 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由；同样，请大家思考下列问题： 本题的难点是什么？你是如何解决这些难点的？设计思考（1）课堂教学资源直接取决于学生的问题生成，通过让学生提出有关函数的问题，不但检查了学生是否真正理解了函数思想的本质内涵和利用函数思想解决问题的能力，更激发了学生学习数学的乐趣.（2）通过
11、引导学生按照“列关系式确定自变量取值范围画函数图像求最值”的程序，使学生经历提出问题，分析问题，思考问题，解决问题的学习过程，不但使其能对函数思想进行到自觉地熟练应用，而且使学生在再次回顾分析问题，解决问题的步骤时，总结对解决综合型问题的思考步骤，提升学生对数学的理性思考.点评课堂教学难得的是能取之于学生的课堂生成，而课堂生成离不开教师的精心设计.本环节根据教师预先的目标设置，自然流畅的激发了学生的思维之泉，将整堂课推向了高潮.又通过学生提出本例的难点：确定自变量的取值范围和根据自变量的取值范围求函数的最大值，培养了学生解决函数综合型问题的决策，提升了学生的学习能力.4.回顾学习历程，深化数学
12、思维（1）什么是函数思想？ 4（2）运用函数思想的解题思路和步骤是什么？ （3）运用函数思想的关键点是什么？ （4）本节课还用到了哪些思想方法？ 设计思考引导学生带着问题回顾本课中函数思想的学习历程，并对函数思想的解题思路、步骤、和关键点再次总结，深化对函数思想的理解，并把它转化为自觉行动的意识，逐步用函数思想充实解决问题的策略和工具.点评通过回顾总结以及自己的整理，纳入到长期记忆中，深化对函数思想的认识，有效的实现了将函数思想的自发运用转化为今后的自觉运用.5.教学目标检测设计（1） 已知非负数 a，b，c 满足条件 ab7，ca5，设 Sabc 的最大值为 m，最小值为 n，则 mn .（
13、2）如图， ABC 中， BAC=60， ABC=45， AB = ， D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径画圆 O 分别交 AB， AC 于 E， F，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值 设计思考检测学生能否熟练运用函数思想寻找两个变量间的关系，构建函数模型.三、教学总评析这堂课教学恰恰体现了这样的思路：通过先让学生解决简单的引例问题，利用解后反思，使函数思想明朗化；再通过例 1 问题的解决，内化函数思想；而例 2 建立在前两个环节的基础上促使学生自觉应用函数思想。这是初三第二轮专题复习中关于数学思想方法的教学的一堂很好的示范课。从本节课的设计与教学看，还具有以下特点：1.目
14、标定位明确，实施落实到位.精心选择的例题具有很强的代表性和目标性，例题难度设置循序渐进，每个例题都担负着不同的教学目标和任务.通过一道简单的引例，实施了目标 1：什么是函数思想以及归纳了运用函数思想解题的一般思路、步骤和关键点.根据例 1，实施了目标 2：明确了函数的本质内涵，并对什么时候运用函数思想起到了明朗化的作用。例 2 建立在前两个环节的基础上，促使学生自觉运用函数思想，实现了目标 3.根据预先设计的教学目标，整体建构，课堂实施落实的非常到位.2.重视解后反思，揭示数学本质.每个例题后都设置了几个小问题，引导学生深入地进行数学的理性思考，促进学生培养了在解题后进行及时的反思总结，极大的
15、帮助了学生对函数思想的本质内涵的深入理解.同时，课堂上还穿插对问题的粗略估计，进一步突出了数学是对问题精细描述的本质，激发学生对数学学习的热情.3.激发动态生成，创导学生主体.在教师精心设计的问题的引导下，学生真正成为了课堂的主体.尤其是从例 1 到例 2 的过渡中，留有充足时间让学生“提一个有关函数的问题”，这既给学生搭起了“表演”的舞台，激发了学习的兴趣和激情，又很好的检查了学生对什么是函数思想及什么时候选择函数思想的落实情况，可谓“一箭双雕”.4.采用先学后教，重视方法指导.复习中，学生已经掌握了所有的知识，本课教学并非通过学生的解题，强化数学方法，而是学生先独立完成解题后，再次引导学生
16、深入思考问题的本质，总结归纳函数思想25的本质内涵和外延，优化解题策略，是一堂精彩的数学思想方法指导课.四、教学反思1.明确课堂教学目标，提高复习有效性.从实际效果看，只要合理设计课堂教学目标，认真组织实施，学生是可以理解且能归纳出函数思想的本质内涵的，也可以将函数思想从自发阶段发展为自觉运用阶段，从而提高了专题复习的有效性.因此，在设计教学目标时，要充分考虑目标层次性、现实性和可操作性，有效导向教学任务的递进，以取得课堂教学的预期效果.2.明确教学任务，提升数学思维.学生要在解决问题中体验，在总结反思中提炼，在专门训练中巩固，在相互联系中发展数学思想方法.专题复习需要引导学生用语言文字或图示概括提炼出数学模型，把操作程序一般化、程序化、模式化；通过有针对性的训练，促使学生将数学思想方法的运用从自发变成自觉，从而提升为数学的理性思考，发展学生的数学思维水平.参考文献：1章建跃数学教学目标再思考J中国数学教育，2012(7-8)2吴增生数学课堂学习目标的合理设计J中国数学教育，2012(12)3李海东重视数学思想方法的教学J中国数学教育，2011(1-2)4吴增生数学类比思想教学课例及反思J中国数学教育，2013(9)5赵萍萍“一题一课”：复习课走向简约的尝试J中学数学，2015(2 月下)6吴增生目标导向下的初中数学复习课教学设计 专题报告
