1、 北仑中学 2016 学年第二学期高二年级期中考试数学试卷命题：贺波 审题：柯懿选择题 : 本大题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 已知函数 则 的值为 ( )A. -20 B. -10 C. 10 D. 20【答案】D【解析】试题分析：因为 ，所以 ，故选 D.考点：导数的定义及对数函数求导.2. 从一批产品中取出三件，设 =“三件产品全不是次品” ， =“三件产品全是次品” ，=“三件产品不全是次品” ，则下列结论正确的是（ ）A. A 与 C 互斥 B. B 与 C 互斥 C. 任两个均互斥 D. 任两个均不互斥【答
2、案】B【解析】试题分析：事件 C 包括三种情况，一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品，即不全是次品，把事件 C 同另外的两个事件进行比较，看清两个事件能否同时发生，得到结果解：由题意知事件 C 包括三种情况，一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品，事件 C 中不包含 B 事件，事件 C 和事件 B 不能同时发生，B 与 C 互斥，故选 B点评：本题考查互斥事件和对立事件，是一个概念辨析问题，注意这种问题一般需要写出事件所包含的所有的结果，把几个事件进行比较，得到结论3. 二项式 的展开式中的有理项共有（ ）A. 4 项 B. 5 项 C.
3、6 项 D. 7 项【答案】C【解析】二项式 的展开式中通项公式为 ，令 为整数，可得 r=0，2，4，6，8，10，共计 6 项，本题选择 C 选项.4. 2017 年 4 月 19 日是“期中考试” ，这天小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件 =“取到的两个为同一种馅” ，事件 =“取到的两个都是豆沙馅” ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意， ,，故选：A【思路点睛】求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A) ，其中 n(AB)表示事件 AB 包含的基本事件个数，
4、n(A)表示事件 A 包含的基本事件个数二是直接根据定义计算，P(B|A) ，特别要注意 P(AB)的求法5. 设函数 在定义域内可导，它的图象如图所示，则它的导函数 图象可能为( ) A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数的图象可知,x0，函数 f(x)有两个极值点，导函数的图象与 x 轴有 2 个交点，排除 A，C；x0 的极大值前是增函数，导函数为正值，排除 B.本题选择 D 选项.6. 已知 ，若 ,则 和 分别是（ ）A. 6 和 2.4 B. 2 和 2.4 C. 2 和 5.6 D. 6 和 5.6【答案】B【解析】由已知随机变量 X+Y=8，所以有 Y=8-X.因此，E
5、( Y)=8-E(X)=8-100.6=2，D(Y)=(-1)2D(X)=100.60.4=2.4.本题选择 B 选项.7. 某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】五所学生自由录取五名学生,共有 55 种不同的录取情况其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的情况的录取情况有： 种，.则：则仅有两名学生录取到同一所大学
6、(其余三人在其他学校各选一所不同大学) 的概率：本题选择 C 选项.8. 已知可导函数 满足 ，则当 时， 大小关系为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：所以函数 为增函数考点：函数导数与单调性9. 某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻那么不同的发言顺序的种数为( )A. 360 B. 520 C. 600 D. 720【答案】C【解析】试题分析：分两种情况：一种是甲乙有一人参加共有 ,一种是甲乙都参加共有综上共有 600 种，选 C考点：有条件的排列问题，不相邻问题10. 设函
7、数 ，若存在唯一的整数 使得 ，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 g(x)=ex(2x1)，y=axa，由题意知存在唯一的整数 x0 使得 g(x0)在直线 y=axa 的下方，g(x)=ex(2x1)+2ex=ex(2x+1)，当 时,g(x)0 ，当 时,g(x)取最小值 ，当 x=0 时,g(0)=1, 当 x=1 时,g(1)=e0，直线 y=axa 恒过定点(1,0)且斜率为 a，故ag(0)=1 且 g(1)=3e1aa,解得 本题选择 D 选项.二填空题: 本大题共 7 小题, 多空每空 3 分，单空每题 4 分, 共 36 分把答案填在答题卷的相
8、应位置11. 在一次招聘中，主考官要求应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，并独立完成所抽取的 3 道题。甲能正确完成其中的 4 道题，乙能正确完成每道题的概率为 ，且每道题完成与否互不影响。记所抽取的 3 道题中，甲答对的题数为 X，则 X 的分布列为_；记乙能答对的题数为 Y，则 Y 的期望为_【答案】 (1). X 1 2 3P 0.2 0.3 0.2(2). 【解析】 （1）主考官要求应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，并独立完成所抽取的 3 道题；甲能正确完成其中的 4 题，所抽取的 3 道题中，甲答对的题数为 X，由题意得 X 的可能取值为 1，2，3，X
9、 的分布列为：X 1 2 3P 0.2 0.6 0.2（2）主考官要求应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，并独立完成所抽取的3 道题，乙能正确完成每道题的概率为 ,且每道题完成与否互不影响，由题意 Y 的可能取值为 0，1，2，3，且 ,或 12. 若函数 在处的切线与直线 平行，则实数 _；当时，若方程 有且只有一个实根，则实数的取值范围为_.【答案】 (1). 1 (2). 【解析】 (1)由 f(x)=x3+3ax1,得到 f(x)=3x2+3a，因为曲线在 x=1 处的切线与 y=6x+6 平行，而 y=6x+6 的斜率为 6，所以 f(1)=6，即 3+3a=6，解得
10、a=1；(2)令 g(x)=x3+3ax16，g(x)=3x2+3a=3(x2+a)，a=0 时,g(x) 0,g(x)在 R 递增，而 x时,g(x),x + 时,g(x)+ ，故函数 g(x)有且只有一个零点，即方程 f(x)=15 有且只有一个实根，a0,解得： 或 ，令 g(x)0,解得： ，则 g(x)在 递增,在 递减,在 递增，故 g(x)极大值 ，解得： ，综上：-4a0.13. 若 ，其中 ，则实数_； _.【答案】 (1). (2). 【解析】 ，则 ,则4m =a2=6,解得 m= .令 x=1 时, ，x=1 时, ， ，解得 .14. 甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击
11、击中与否是相互独立事件规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为 ，且第一次由甲开始射击求前 3 次射击中甲恰好击中 2 次的概率_；求第 4 次由甲射击的概率_【答案】 (1). , (2). 【解析】由题意,前 3 次射击中甲恰好击中 2 次,即前 2 次甲都击中目标,但第三次没有击中目标,故它的概率为 .第 4 次由甲射击包括甲连续射击 3 次且都击中；第一次甲射击击中，但第二次没有击中，第三次由乙射击没有击中；第一次甲射击没有击中，且乙射击第二次击中，但第三次没有击中；第一次甲射击没有击中，且乙射击第二次没有击中，
12、第三次甲射击击中；故这件事的概率为 .15. 如图，用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有_种（用数字作答） 【答案】630【解析】略16. 关于二项式( x1) 2005有下列命题：该二项展开式中非常数项的系数和是 1；该二项展开式中第六项为 x1999；该二项展开式中系数最大的项是第 1002 项；当 x=2006 时，( x1) 2005除以 2006 的余数是 2005。其中正确命题的序号是_。 （注：把你认为正确的命题序号都填上）【答案】【解析】令 x=1 求出二项式(x1) 200
13、5 所有项的系数和为 0，令 x=0 求出常数项为l，非常数项的系数和是 1，即得正确；二项展开式的第六项为 ，即得错误；二项展开式中系数绝对值最大的项为第 1003 项 ，即错误；当 x=2006 时,( x1)2005 除以 2 006 的余数是 2006l=2005，即正确。故答案为：。17. 如图所示，在排成 44 方阵的 16 个点中， 中心位置 4 个点在某圆内，其余 12 个点在圆外从 16 个点中任选 3 点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有_个【答案】312【解析】根据题意，分 3 种情况讨论：、取出的 3 个点都在圆内,有 种取法，即有 4 种取法，、
14、在圆内取 2 点,圆外 12 点中取 1 点,有 种，即有 60 种取法，、在圆内取 1 点,圆外 12 点中取 2 点,有 种，即有 248 种取法，则至少有一个顶点在圆内的三角形有 4+60+248=312 个，故答案为：312.三 解答题: 本大题共 5 小题,共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18. 有 5 个男生和 3 个女生，从中选出 5 人担任 5 门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：（1）有女生但人数必须少于男生；（2）男生甲必须包括在内，但不担任数学课代表；（3）女生乙一定要担任语文课代表，男生丙只想担任数学课代表或物理课代表.【答案】(1)540
15、0；(2)3360；(3)600.【解析】试题分析：利用排列组合相关的结论和方法求解题中的问题可得：有女生但人数必须少于男生有 5400 种；男生甲必须包括在内，但不担任数学课代表有 3360 种；女生乙一定要担任语文课代表，男生丙只想担任数学课代表或物理课代表有600 种.试题解析：（1） 种.（2） 种.（3） 种.19. 已知 , ,其中 (e 是自然常数),（1）当 时, 求 的单调区间、极值；（2）是否存在 ，使 的最小值是 3，若存在求出 的值，若不存在，说明理由.【答案】(1)答案见解析；(2) .【解析】试题分析：(1)由导函数与原函数的关系可得函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，函数的极小值为 .(2)由题意结合导函数与原函数的性质可得 .试题解析：（1） ， 当 时， ，此时 单调递减当 时， ，此时 单调递增 的极小值为 （2）假设存在实数 ，使 （ ）有最小值 3， 当 时， 在 上单调递减， ， （舍去） ，所以，此时 无最小值.
