1、 2013级高二下学期第 2次月考数学（理）试题时间：120 分钟 满分：150 分出题：郭书良 15233965206 审题：杨会涛 18731932226以下数据供参考：对于正态总体 2(,)N取值的概率:在区间 (,)、(2,)、(3,)内取值的概率分别是 0.6826，0.9544，0.9974一、选择题（每小题 5分，共计 60分，将正确答案涂在答题卡上）1.已知复数 z1=1-i，z 1z2=1+i，则 z2 =（ ）A.i B.- i C.1+ i D.1- i2.函数 3()fxa的极大值为 6，那么 a的值是（ ）A 0 B 1 C 5 D 63. 证明不等式 （a2）所用的
2、最适合的方法是（ ）A. 间接证法 B. 综合法 C. 分析法 D.合情推理法4.随机变量 服从二项分布 pn,，且 ,20,3E则 p等于（ ）A. 32 B. 31 C. 1 D. 05.以平面直角坐标系的原点为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线 l的参数方程是 ty， （t 为参数） ，圆 C的极坐标方程是 cos4则直线 l被圆 C截得的弦长为（ ）A. 14 B. 142 C. 2 D. 26.设 ()fx是函数 ()fx的导函数，将 ()yfx和 ()fx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）7.某商场经营的一种袋装的大米的
3、质量服从正态分布 N 10（ ， ).2（单位 kg）.任选一袋这种大米，其质量在 9.810.2kg的概率为( )A. 0.0456 B.0.6826 C. 0.9544 D.0.99748若 i2a，则 16156316216 aCaCa 的值为( )A. 8 B. 8 C.i D.163i9. 某学习小组男女生共 8人，现从男生中选 2人，女生中选 1人，分别去做 3种不同的工作，共有 90种不同的选法，则男女生人数为（ ）xOOOOy y yx x xyA B C DA. 2，6 B. 5，3 C. 3，5 D.6，2 10.设 0，已知 a1=2cos ，a n+1= 2n，可猜想
4、an=（ ）A、 2cosnB、 1cosnC、 1cos2nD、 2sin11.将三颗骰子各掷一次，设事件 A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个 6点”，则概率)(BP等于( )A. 9160 B. 21 C.185 D. 216912. ()fx是定义在 ()， 上的非负可导函数，且满足 ()0xff对任意正数 ab， ，若ab，则必有（ ）A fafb B ()fbfa C bffa D ()ff二、填空题（每小题 5分，共计 20分，将正确答案写在答题纸上）13.设 是一个离散型随机变量，其分布列如下表:则 ()D= 14由直线 12x， x=2，曲线 1yx及 x轴所围图形的
5、面积为 .15已知圆 C的参数方程为 cosin（ 为参数） ，以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l的极坐标方程为 1，则直线 l与圆在一象限交点的直角坐标为 . 16.给出以下命题：若 346nAC，则 的值为 7；若 ()0bafxd，则 f(x)0；导数为零的点一定是极值点;（4）若 z，且 |2|zi，则 |z的最小值是 21；其中正确的命题序号为 .三、解答题（共计 70分，将详细、规范的解答或证明过程写在答题纸上）17(本小题满分 10 分)在直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为235xty( 为参数)在极坐标系(与直角坐标系 xOy取相同的长度单位，且以原
6、点 O为极点，以 轴正半轴为极轴 )中，圆 C的方程为=2 sin5(1)求圆 C的直角坐标方程； -1 0 1P 0.5 23q(2)设圆 C与直线 l交于点 ,AB若点 P的坐标为(3， 5)，求 |PAB18(本小题满分 12 分)在边长为 60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的 容积最大？最大容积是多少？19(本小题满分 12 分)两个人射击，甲射击一次中靶概率是 21，乙射击一次中靶概率是 31，（1）两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目标，则完成目标概率是多少？（2）两人各射击 2次，中靶至少
7、 3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？（3）两人各射击 5次，是否有 99的把握断定他们至少中靶一次？20. (本小题满分 12 分)在数列 na中， 13，且 (21)nnSa，（1）求 24,的值；（2）归纳 n的通项公式，并用数学归纳法证明.21. (本小题满分 12 分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物 次，最后落入 袋或 袋中已知小球每次遇到障碍物时，向左、右3AB_x_x_60_60xx两边下落的概率分别是 12,3（1）分别求出小球落入 袋和 袋中的概率；AB（2）在容器的入口处依次放入 个小球，记 为
8、落入 袋中的小球个数，求 的分布列和数学期4B望22. (本小题满分 12 分)已知函数 2(lnfxax.（1）当 时，求函数 ()f的单调区间；0（2）设 2()g，且函数 ()g在点 处的切线为 ，直线 / ，且 在 y轴上的1xlll截距为 1.求证：无论 取任何实数，函数 的图象恒在直线 的下方.a 2013级高二下学期第 2次月考数学（理）试题参考答案一、选择题（每小题 5分，共计 60分） 1-6：ADCBDD 7-12：CACBAB二、填空题（每小题 5分，共计 20分） 13、 16； 14 、 ln4； 15、 (1,)； 16、（4） ；三、解答题（第 17题 10分，其
9、它每题 12分，共 70分）17解:（1）由 =2 sin，得 2=2 sin，x 2+y2=2 y,5 5 5 )()2( yxyx . 4分（2）直线的一般方程为 033yx， 6 分容易知道 P在直线上，又 22，P 在圆外，联立圆与直线方程可以得到： )5,1(),(BA， 8 分所以|PA|+|PB|= 10分18.解：设箱底边长为 xcm，则箱高 602xhcm，得箱子容积260)(3hxV)( 3 分令 3(Vx0，解得 x=0（舍去） ，x=409 分 并求得 V(40)=16 000 由函数的单调性可知 16 000是最大值当 x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是 16
10、000cm3 12分19解：（1）共三种情况：乙中靶甲不中 12； 甲中靶乙不中 6132； 甲乙全 632。 概率是 316。 4 分（2）两类情况: 共击中 3次： )()()()2( 0211210 CC共击中：4 次 6)(2C， 367概 率 为 8分（3） 05114() .9233，能断定. 12 分20.解：（1） ()nnSa 122(1)a，由 13， 215a，又 233a，解得 357，同理 4796. 4分（2）由（）计算，可以归纳出 ()n. 5分当 1n时， 1()2x，与已知相符，归纳出的公式成立. 7 分假设当 k（ *N）时，公式成立，即 1(2)ak. 8
11、分由 (2)nnSa可得， 1 (21)k kkS a.即 13(2)(1)3k k.10分 2()ak.即当 n时公式也成立.综上， 1n对于任何 *N都成立. 12 分21.解：(1)记“小球落入 A袋”为事件 M， “小球落入 B袋”为事件 N，则事件 M的对立事件为 N，当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下小球才会落入 A袋 312()PM， 12()()3PNM 4分（2） 的可能取值为 0,1,2,3,4，且 4,B. 5分0441()38C 18()C， 2418()37PC2P， 40263P 的分布列为10分故 的数学期望为 8()4E12 分22. （1）解: 2211(
12、)1 axaxfx (0)x4分当 x变化时， ()与 的变化如下表：0,a,()f0 0x单调递减 极小值 单调递增故有上表知， f的单调递减区间为 1,2a，单调递增区间为 1,2a. 6分（2）证明： 2()()lngaxfx， ()gx (1)，即直线 直的斜率 lk，又直线 / ， 且 在 y轴上的截距为 1l ll 的方程为 1y8 分l令 ()hxxx(0)函数 ()g的图象恒在直线 的下方，等价于 h对 ,(0,)aRx恒成立l又 1，当 (0,)时， ；当 (1)时， h ()x在 0,单调递增，在 1单调递减， 10 分 ma()2h无论 取任何实数，函数 gx的图象恒在直线 的下方12 分al 0 1 2 3 4P 887168
