1、第 9 章 电荷与真空中的静电场1解图 9-2第 9 章 电荷与真空中的静电场9-1 两个小球都带正电，总共带有电荷 ,如果当两小球相距 2.0m 时，任一球受5.01C另一球的斥力为 1.0N.试求：总电荷在两球上是如何分配的。分析：运用库仑定律求解。解：如解图 9-1 所示，设两小球分别带电 q1，q 2 则有512+.0q由库仑定律得91212044qFr由联立解得512.C38q9-2 两根 长的丝线由一点挂下，每根丝线的下端都系着一个质量为26.0m的小球.当这两个小球都带有等量的正电荷时，每根丝线都平衡在与沿垂线成30.51kg60角的位置上。求每一个小球的电量。分析：对小球进行受
2、力分析，运用库仑定律及小球平衡时所受力的相互关系求解。解：设两小球带电 ，小球受力如解图 9-2 所示12=q20cos34FTRinmg联立得2o04ta3q其中 22sin6010(m)rl2R代入 式，得 71.0Cq解图 9-1第 9 章 电荷与真空中的静电场29-3 在电场中某一点的场强定义为 ，若该点没有试验电荷，那么该点是否存在电0FEq场？为什么？答：若该点没有试验电荷，该点的场强不变.因为场强是描述电场性质的物理量，仅与场源电荷的分布及空间位置有关，与试验电荷无关，从库仑定律知道，试验电荷 所受力 与0qF成正比，故 是与 无关的。0q0FEq9-4 直角三角形 ABC 如题
3、图 9-4 所示，AB 为斜边，A 点上有一点荷，B 点上有一点电荷 ，已知91.8C924.810Cq， ，求 C 点电场强度 的大小和方向(04m.3AE, ).cos37.sin06分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。解：如解图 9-4 所示 C 点的电场强度为 12994111220.80.80(NC)4()(3)qEA 994122 204.1.7()()()BC C 点电场强度 的大小E224411.87103.2(NC)方向为4o12.arctnarct.E即方向与 BC 边成 33.7。9-5 两个点电荷 的间距为 0.1m，求距离它们都是 0.1m 处661240C,
4、810qq的电场强度 。E分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。解：如解图 9-5 所示966112204103.(NC)4qr解图 9-5解图 9-4C题图 9-4第 9 章 电荷与真空中的静电场36612201807.(NC)4qEr， 沿 x、y 轴分解12 6112cos60cs1.80()xxE12ini93NCyyE电场强度为2619.50(NC)xyEo63arctnarct.8x9-6 有一边长为 a 的如题图 9-6 所示的正六角形，四个顶点都放有电荷 q，两个顶点放有电荷q。试计算图中在六角形中心 O 点处的场强。分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。解：如解图
5、 9-6 所示.设 ， ，各点1236=qq45q电荷在 O 点产生的电场强度大小均为123620EEa各电场强度方向如解图 9-6 所示， 与 抵消.3641520根据矢量合成，按余弦定理有222o0()()cs(1806)EE解得20200 343aqaq方向垂直向下.解图 9-6题图 9-6第 9 章 电荷与真空中的静电场4解图 9-7解图 9-89-7 电荷以线密度 均匀地分布在长为 l 的直线上，求带电直线的中垂线上与带电直线相距为 R 的点的场强。分析：将带电直线无限分割，取一段电荷元，运用点电荷场强公式表示电荷元的场强，再积分求解。注意：先将电荷元产生的场强按坐标轴分解然后积分，
6、并利用场强对称性。解：如解图 9-7 建立坐标，带电直线上任一电荷元在 P 点产生的场强大小为20d4()xER根据对称性分析，合场强 的方向沿 y 轴的方向E2 22 23/20 021/0sind()4()4LLxRxlR9-8 两个点电荷 q1 和 q2 相距为 l，若（1）两电荷同号；（2）两电荷异号，求电荷连线上电场强度为零的点的位置.分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。解：如解图 9-8 所示建立坐标系，取 q1 为坐标原点，指向 q2 的方向为 x 轴正方向.(1) 两电荷同号.场强为零的点只可能在 q1、q 2 之间，设距 q1 为 x 的 A 点.据题意有 即12E2
7、200|4()qxlx解得12|lq(2) 两电荷异号.场强为零的点在 q1q2 连线的延长线或反向延长线上，即 E1=E212200|4()xlx解之得： 12|ql第 9 章 电荷与真空中的静电场59-9 无限长均匀带电直线，电荷线密度为 ,被折成互成直角的两部分 .试求如题图 9-9 所示的 P 点和 P点的电场强度.分析：运用均匀带电细棒附近的场强公式及场强叠加原理求解。解：以 P 点为坐标原点，建立如解图 9-10 (a) 所示坐标系均匀带电细棒产生的场强公式 12210(cos)(sini)4a Ej在 P 点，12所以竖直棒在 P 点的场强为 11024aEij水平棒在 P 点的
8、场强为 2012ji所以在 P 点的合场强 1204aEij即 P 点的合场强的大小为 0方向与 x 轴正方向成 45同理以 P点为坐标原点，建立如图题 9-10 解图(2) 坐标12210(cos)(sini)4a Ej在 P点，132所以竖直棒在 P点的场强为10214aEij水平棒在 P点的场强为 202ji题图 9-9解图 9-9 (a)解图 9-9 (b)第 9 章 电荷与真空中的静电场6所以在 P点的合场强为 1204aEij即 P点的合场强的大小为 0方向与 x 轴成-135. 9-10 无限长均匀带电棒 上的线电荷密度为 , 上的线电荷密1l12l度为 ， 与 平行,在与 ，
9、垂直的平面上有一点 P,它们之21l22间的距离如题图 9-10 所示,求 P 点的电场强度。分析：运用无限长均匀带电细棒的场强公式及场强叠加原理求解。解： 在 P 点产生的场强为1l11002.8aEii在 P 点产生的场强大小为2l220方向如解图 9-11 所示。把 写成分量形式，有2E22222 0000343cosin515aEji+jij在 P 点产生的合场强为 12212004.8ij9-11 一细棒被弯成半径为 R 的半圆形,其上部均匀分布有电荷 ,下Q部均匀分布电荷 ，如题图 9-11 所示,求圆心 O 点处的电场强度。Q题图 9-11题图 9-10解图 9-10第 9 章
10、电荷与真空中的静电场7解图 9-11分析：在半圆环说上取电荷元，运用点电荷场强公式及场强叠加原理积分求解。将带电半圆环分割成无数个电荷元，运用点电荷场强公式表示电荷元场强。将电荷元电场进行矢量分解，再进行对称性分析，然后积分求解。解：把圆环分成无限多线元 ， 所带电量为 ，产生的场强为dl 2dQqlRdE则 的大小为dE23200QlR把 分解成 dEx 和 dEy，则sincoy由于 、 带电量的对称性，x 轴上的分量相互抵消，则Q0xE42200cosd2dcosdyyQER所以圆环在 O 点产生的场强为20QEjR9-12.一均匀带电球壳内半径 ，外半径 ，电荷体密度为16cm210c
11、，求：到球心距离 分别为 处场点的场强53210C r58m、分析 此题属于球对称性电场，三个场点分别位于球层内半径以内、内外半径之间、外半径以外三个区域，由高斯定理做高斯面求解。解: 根据高斯定理 得0dqSEs024r当 时， ，得5rcmq第 9 章 电荷与真空中的静电场80E时， 8rcmq34p(r)31R， 方向沿半径向外20314rE408.1CNcm 时,12r3q2(R）3142010.4rE1CN沿半径向外.9-13 两平行无限大均匀带电平面上的面电荷密度分别为+ 和-2 ,如题图 9-13 所示,(1)求图中三个区域的场强 ， ， 的表达式；1E23（2）若 ，那么， ，
12、 ， 各多大？64.30Cm12E3分析：首先确定场强正方向，然后利用无限大均匀带电平板场强及场强叠加原理求解。解：（1）无限大均匀带电平板周围一点的场强大小为 02E在区域 1002Eiii区域 20032iii区域 3002Eiii（2）若 则64.1Cm51102.(V)ii题图 9-13第 9 章 电荷与真空中的静电场9解图 9-15512037.(Vm)Eii51302.0()ii9-14 点电荷 位于一边长为 a的立方体中心，试求q（1）在该点电荷电场中穿过立方体的任一个面的电通量；（2）若将该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?分析 此题需结合
13、高斯定理以及对称性关系来求解。解: (1) 由高斯定理可知，通过立方体的总的电通量 0dqSEs立方体有六个面，当 在立方体中心时，每个面上电通量相等，所以通过每个面的电通量q为 06e(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长 的立方体，使 处于边长 的立方体中心，则a2qa2通过边长 的正方形上电通量a206eq边长 的正方形共有四个边长 的正方形，由于对称性，则通过边长为 的正方形的电通aa量为，024eq9-15 一均匀带电半圆环，半径为 R，电量为+Q ，求环心处的电势。分析：将带电半圆环分割成无数个电荷元，根据点电荷电势公式表示电荷元的电势，再利用电势叠加原理求解。解：把半圆环无穷分割
14、，如解图 9-15 取线元 ，其带电量为 ，则其在圆心 OdldQqlR的电势为： 00d4qQluR所以整个半圆环在环心 O 点处的电势为004lR第 9 章 电荷与真空中的静电场10解图 9-169-16 一面电荷密度为 的无限大均匀带电平面，若以该平面处为电势零点，求带电平面周围的电势分布。分析：利用无限大均匀带电平面的场强公式及电势与电场强度的积分关系求解。解：如解图 9-16 所示建立坐标系，所以无限大平面周围的场强分布为 02Ei取该平面电势为零，则周围任一点 P 的电势为000d()2Px xU9-17 如题图 9-17 所示，已知 ， , 281ma2610b, ，D 为 连线中点，求：8130Cq8231q2q（1）D 点和 B 点的电势；(2) A 点和 C 点的电势；（3）将电量为 的点电荷 q0 由 A 点移到 C 点，电场力9所做的功；（4）将 q0 由 B 点移到 D 点，电场力所做的功。分析：由点电荷的电势的公式及叠加原理求电势。静电力是保守力，保守力做功等于从初位置到末位置势能增量的负值。解：（1）建立如解图 9-17 所示坐标系，由点电荷产生的电势的叠加得 8989122200310310444DqUa同理，可得B（2） 12004AqUba题图 9-17解图 9-17
