1、第 1 页 共 15 页韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题1、关于 的方程 ，当 时，方程有两个正数根；x032mx当 时，方程有一个正根，一个负根；m当 时，方程有一个根为0。2、已知一元二次方程 的两根为 、 ，则 0132x1x221x3、如果 ， 是方程 的两个根，那么 1x2654、已知 ， 是方程 的两实数根，则 的值为_032x21x5、设 、 是方程 的两个根，则 1x242)(16、若 方 程 的 两 根 为 ， 则 03x、 22a7、已知 、 是关于 的方程 的两个实数根，且 ，则 12 0)1(2xa 1x2321x8、已知关于 的一元二次方程 的两根为 和 ，且
2、 ，x642m1x221则 ， 。m21x9、若 方 程 的 两 根 之 比 是 2： 3， 则 052kk10、如果关于 的方程 的两根差为2 ，那么 。x62kx11、已知方程 两根的绝对值相等，则 。42m12、已知方程 的两根互为相反数，则 。0mx13、已知关于 的一元二次方程 两根互为倒数，则 。01)()1(2xaa14、已知关于 的一元二次方程 。若方程的两根互为倒数，则 x 2mx m；若方程两根之和与两根积互为相反数，则 。15、一元二次方程 的两根为 0 和 1，则 。)(2prqp qp:16、已知方程 ，要使方程两根的平方和为 ，那么常数项应改为 。013x 9317
3、、已知方程 的一个根 比另一个根 小4，则 ； ； 242mm。第 2 页 共 15 页18、已知关于 的方程 的两根立方和为 0，则 x032kx k19、已知关于 的方程 的两根为 、 ，且 ，则 。)1(m1x24312xm20、若方程 与 有一个根相同，则 。042x02xm21、一元二次方程 的两根与 的两根之间的关系是 。132 0232x22、请写出一个二次项系数为 1，两实根之和为 3 的一元二次方程： 23、已知一元二次方程的两根之和为 5，两根之积为 6，则这个方程为 。24、若 为实数且 ，则以 为根的一元二次方程为 。、 0)(2|3| 、(其中二次项系数为1)25、求
4、作一个方程，使它的两根分别是方程 两根的二倍，则所求的方程为 。232x二、解答题 1、已知m， 是一元二次方程 的两个实数根，求 的值。n052x mn2322、设 、 是方程 的两个根，求 的值。1x20142x|21x3、已知 、 是方程 的两个实数根，且 1x202ax 2321x（1）求 、 及 的值； （2）求 的值3x4、已知 、 是一元二次方程 的两个实数根，且 ，1x2 02nxm3)(2121xx，求 和 的值。521n5、已知 ， ，且 ，求 的值。a12b2a)1(b第 3 页 共 15 页6、设： ， 且 ，求 的值。01632a01632bba7、已知： 是关于 的
5、二次方程： 的两个不等实根。、 x 04)(2)( mxxm(1)若 为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；(2)若 时，求 的值。m 62m8、已知关于 的二次方程 的一个根是 ，求另一个根及 的值x012mx129、已知方程 的一根是5，求方程的另一根及 的值。0152x m10、已知 是 的一根，求另一根和 的值。32042kxk11、(1)方程 的一个根是 ，则另一个根是 。 032mx2(2)若关于 的方程 的两个根中只有一个根为 0，那么 应满足 。y2ny nm、12、如果 是方程 的一个根，则 ，另一个根为 。1x0132mxm13、已知关于 的方程 的一个根是2 ，求它的
6、另一个根及 的值。52 m14、已知关于 的方程 的一个根是2，求它的另一个根及 的值。xtx132 t第 4 页 共 15 页15、在解方程 时，小张看错了 ，解得方程的根为1与3；02qpxp小王看错了 ，解得方程的根为 4与2。这个方程的根应该是什么 ?16、已知一元二次方程 。05)1(82my(1) 为何值时，方程的一个根为零?m(2) 为何值时 ，方程的两个根互为相反数?(3)证明：不存在实数 ，使方程的两个相互为倒数。17、方程 中的 是什么数值时，方程的两个实数根满足：032mx(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17。18、已知一元二
7、次方程 ，根据下列条件，分别求出 的值：07)12(8mxx m(1)两根互为倒数；(2)两根互为相反数；(3)有一根为零；(4)有一根为1；20、已知关于 的一元二次方程 的两根之差为11，求 的值。x0122mxm21、已知关于 的二次方程 有实数根，x 05)2(2axx且两根之积等于两根之和的2倍，求 的值。第 5 页 共 15 页22、已知方程 有两个不相等的正实根，02cbx两根之差等于3，两根的平方和等于29，求 的值。cb、23、已知关于 的方程 的两根满足关系式 ，求 的值及两个根。x01)(2mx 12xm24、已知关于 的方程 的两个实数根的平方和等于 6，求 的值x02
8、)1(2kx k25、 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，、 x 01)(2xm且满足 ，求实数 的值1)(126、 是关于 的方程 的两个实根，、 x04422mx并且满足 ，求 的值。 109)(127、已知： 是关于 的方程 的两根，求 的值。、 x01)2(2xm)1)(1(22m28、已 知 关 于 的 方 程 ， 问 ： 是 否 存 在 正 实 数 ,使 方 程 的 两 个 实 数 根 的 平 方 和x0)2(2x等 于 56， 若 存 在 ， 求 出 的 值 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .m29、关于 的一元二次方程 的x 0)2()14(32mxx两实根之和
9、等于两个实根的倒数和，求 的值。 第 6 页 共 15 页30、已知关于 的一元二次方程 ( )的两根之比为 ，求证： 。x02cbxaa1:2acb9231、已知方程 和 有一个相同的根，求 的值及这个相同的根。042m16)(2m32、已知关于 的一元二次方程 的两根为 ，且两个关于 的方程x02cbxa、 x与 有唯一的公共根，求 的关系式。0)1(22x)1(2x cba、33、已知 、 是关于 的方程 的两根 、 是关于 的方程 的1x2x02qpx1x2x02pqx两根，求常数 的值。 qp、34、已知方程 的两实根是 和 ，方程 的两实根是 和 ， 0122mx1x202nmx7
10、1x2求 和 的值。n35、已知 ， ， 为实数，且 .求下列各式的值：0742s024tts、 1st(1) ； (2) 。t1ts336、已知 、 是关于 的方程 的两个实数根； 、 是关于 的方程1x2x02nxm1y2y的两个实数根，且 , ，求 、 的值。0752my1y22ymn37、关于 的方程 有两个乘积为 1的实根，x01)32(xmx有大于 0 且小于 2 的根，求 的整数值。46)(2a a第 7 页 共 15 页38、已知关于 的方程 两根相等，方程 的一个根是另一个根的3倍。x022nxm042nmx求证：方程 一定有实数根。)()(2k39、已知关于 的一元二次方程
11、 x 012)4(2mxx(1)求证：不论 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；m(2)若方程两根为 、 ，且满足 ，求 的值1x221x40、关于 的方程 ，其中 、 分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。x04122nmxmn(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。41、已知关于 的方程 。y0422ay(1)证明：不论 取何值，这个方程总有两个不相等的实数根；a(2) 为何值时，方程的两根之差的平方等于16?42、已知方程 的两根之比为 ，方程 的两根相等( )。0352nmx3:2082mnx0mn求证：
12、对任意实数 ，方程 恒有实数根。k01)(2kx43、如果关于 的实系数一元二次方程 有两个实数根 ，x 03)(22mxx 、那么 的最小值是多少? 22)1()(第 8 页 共 15 页44、已知方程 的两根为 、 ，且 ，又知根的判别式 ，求 的值。02bax1x20421x25ba、45、求一个一元二次方程，使它的两个根是 和 。6246、已知方程 ，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程的0752x两个根的负倒数。47、已知方程 的两个根分别为 、 ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程 ，032xab使它的两个根分别是： (1) 、 (2) 、1ab2a48、
13、已知两数之和为7，两数之积为12，求这两个数。49、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。50、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm，面积为 ，求这个直角三角形斜边的长 。27cm51、已知关于 的方程 的两个根是斜边长为 5的直角三角形的两条直角边的x0)1(4)2(ax长，求这个直角三角形的面积。52、试确定使 的根同时为整数的整数 的值。0)(2axba53、已知一元二次方程 ，且 是腰长为 7 的等腰三角形的底边长，0524)32(2kxk 14k求：当 取何整数时，方程有两个整数根。k第 9 页 共 15 页54、已知关于 的一元二次方程 有两个实根 和 ( )，在数轴上
14、，表示 的x02px1x221x2x点在表示 的点的右边，且相距 ，求 的值。1 1答案一、填空题1、 ; ; 890m2、 33、64、105、 26、107、-18、-2 ; -89、310、811、012、013、 ( )2舍 去14、-1 ( ) ; ( ) 舍 去131舍 去15、116、-217、-4; 0; 018、319、 120、3 或 021、互为倒数22、 )(,2答 案 不 唯 一x23、 065答 案 不 唯 一第 10 页 共 15 页24、 0232x25、 )(,86答 案 不 唯 一二、解答题1、 522nm、原式 37263m2、 4)(| 212121xx3、 （1） 解之 2321xa12a（2） ；原式 21x4、 ， 解之 或 ( ) nxmx2121、 5)2()( 3211nmx12nm530舍 去5、 )()(baba6、 3427、 ，且0m2（1） 时， ， ； 时， ， ；0362x3023m012x62（2） ，即 ，)(22642)4(化简得 ，解得062m321，8、 12x，9、 35，10、 2kx，11、 （1） ； （2） ；30mn且12、1
