1、1第十章 线性代数简介本章知识结构导图 数学家的故事: 阿瑟 凯利简介 阿瑟凯利（Arthur Cayley，18211885）是英国数学家，生于伦敦里士满 (Richmond)，卒于剑桥。17 岁时考入剑桥大学的三一学院，毕业后留校讲授数学，几年内发表论文数十篇。1846 年转攻法律学，三年后成为律师，工作卓有成效。任职期间，他仍业余研究数学，并结识数学家西尔维斯特(Sylvester)。1863 年应邀返回剑桥大学任数学教授。他得到牛津大学、都伯林大学和莱顿大学的名誉学位。1859 年当选为伦敦皇家学会会员。凯利和西尔维斯特同是不变量理论的奠基人。在布尔 1841 年的工作的影响下，他首创
2、代数不变式的符号表示法，给代数形式以几何解释，然后再用代数观点去研究几何学。他第一次引入 n 维空间概念，详细讨论了四维空间的性质，为复数理论提供佐证，并为射影几何开辟了道路。他还首先引入矩阵概念以化简记号，规定了矩阵的符号及名称，讨论矩阵性质，被公认为矩阵论的奠基人。他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。 ”他从 1858 年开始，发表了矩阵论的研究报告等一系列关于矩阵的专门论文，研究
3、了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。凯利还提出了凯利-哈密尔顿定理，并验证了 33 矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿证明了 44 矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius）于 1898 年给出的。线性代数行列式的定义与性质矩阵及其运算 逆矩阵矩阵的初等变换及矩阵的秩线性方程组定义、性质矩阵可逆的充要条件行初等变换矩阵方程的求解矩阵的秩n 元线性方程组的求解线性方程组有解判别定理矩阵转置运算规律矩阵乘法运算规律同型矩阵的运算逆矩阵的求法2本章小结 本章主要掌握行列式、矩阵的概念及运算，逆矩阵、矩阵方程、线性方程组的求解。一、
4、行列式的定义与性质1. 一阶行列式： ；二阶行列式： ；1a121212aa三阶行列式： ；其中1213232132111213331121311213()()()aMaaaMaA 为余子式， 为代数余子式。ijMijA2. 性质：(1)任何行列式与它的转置行列式相等,即 D=DT。(2)互换行列式的两行（列） ，行列式变号。(3)如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0。(4)行列式某一行(列)的各元素乘以同一个数,等于这个数乘以该行列式。(5)若行列式有两行(列)的元素对应成比例，则行列式为 0。(6)如果某一行(列)元素都是两个数之和，则此行列式就等于两个行列式的和。(7)行列式的任一
5、行(列)的所有元素乘以同一个数，再加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变。(8)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。(9)行列式中的任一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于 0。3. 计算方法：(1)二阶、三阶行列式可以根据定义直接计算；(2)选择 0 元素较多的行（列） ，按该行（列）展开计算；(3)利用行列式的性质，把某行（列）化为只有一个非零元素，按该行（列）展开计算；(4)利用行列式的性质，化为三角形行列式再进行计算。二、矩阵及其运算1. 同型矩阵的线性运算规律：； ； ； ； ；AB()()ABCAO()AO()kllA，
6、 。()kk0,l2. 矩阵乘法的运算规律：； ； ；+BC,+BCB=。AE=注意：(1) ，只有当 的列数等于 的行数时，该乘积才有意义；(2)矩阵乘法不满足交换律；AB(3)矩阵乘法不满足消去律。3. 矩阵转置运算规律： ； ； ； 。TATT+BTATTBA3三、逆矩阵1. 定义：若 ，则 、 互为逆矩阵，记 ， 。AB=E1AB12. 性质：(1)若 可逆，则 可逆，且 。11A(2) 若 可逆， ，则 可逆，且 。0k11k(3)若矩阵 与 都可逆，则 可逆，且 。ABBA(4) 若 可逆，则 可逆，且 。T1TTA3. 矩阵可逆的充分必要条件： 。当 时， 。012121*12n
7、nnA A4. 解矩阵方程：(1) ；(2) ； (3) ； 1AX=CXB=C1AXB=CAB(4) 。 AX=B, E行 初 等 则 则则四、矩阵的初等变换及矩阵的秩1. 阶梯形矩阵：(1)如果有零行的话，零行位于矩阵下方； (2)各个非零行的第一个非零元素的列标随着行标的递增而严格增大。注：一个矩阵的阶梯形矩阵不是唯一的，但阶梯形矩阵中所含非零行的行数是唯一的。2. 行最简形矩阵：每一非零行的第一个非零元素都是 1，并且这些 1 所在列其余元素都是 0。3. 矩阵的秩：矩阵 的阶梯形矩阵中，其非零行行数称为矩阵 的秩，记为秩 或 。AAAr4. 求矩阵秩的方法：用行初等变换把任意矩阵 化
8、为阶梯形，然后判断非零行的行数。A5. 逆矩阵的求法： 。1 EE行 初 等 则 则五、线性方程组1. 方程组有解时称方程组相容；方程组无解时称方程组不相容。2. 元线性方程组的求解：n(1)根据方程组写出增广矩阵；(2)用行初等变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵；(3)判断方程组是否相容（有解） ，在方程组相容时，把阶梯形矩阵化为行最简形矩阵；(4)根据行最简形矩阵直接写出原方程组的解。3. 元线性方程组解的判断：n(1) 时，方程组有解： =未知量个数时，方程组有唯一解；rArA（ 为未知量个数）时，方程组有无穷多个解，其中自由未知量个数等于 。 nrA(2) 时，方程组无解。r4综合练习 一、
9、判断题：1. 行列式 。( )32. 零矩阵一定是方阵。( )3. 若 ，则 或 。( )AB=OB=O4. 若乘积 、 存在，则 。( )A5. 。( )T6. 若 为 阶方阵，且 ，则 的行最简形矩阵为单位矩阵。 ( )nrn7. 若 ，则 。 ( )AX=CA二、填空题：1. 如果 1，则 = 。3231aD 32312114aaD2. 的充分必要条件是 。02k3. 已知 ， ，则 。)13(A530412BAB4. 已知 ， ，则 ；BA= 。)0(125. 矩阵 A 与 B 能进行乘积运算 AB 的充要条件是 。6. 非齐次线性方程组 有解的充分必要条件是 。X7. 已知 ， ，则
10、 ； 。21481204360()rA()rB三、选择题：1. 设 为 矩阵， 为 矩阵，则下列运算中 ( )可以进行。A32B23A. B. C. D. TA+BTA2. 设 为 矩阵， 为 矩阵，若矩阵 有意义，则矩阵 为( )型。45CCA. B. C. D. 5553. 设 均为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( )。A,BA. B. C. D. TTTAB11TTAB11TTAB4. 若 是对称矩阵，则( )。1032baA. B. C. D. ,b2,1ab0,2ab0,ab5. 矩阵 的秩为( )。1024A=A. B. C. D. 3106. 设 为四阶矩阵，若 ，则 ( )。
11、3rAA. 可逆 B. 的阶梯形矩阵有一个零行 C. 一定有一个零行 D. 至少有一个零行AAA7. 若 为可逆矩阵，且 ，则 ( )。+B=E1A. B. C. D. -EB- 1E-B四、计算题：1. 计算行列式(1) ， (2) ，(3) ，(4) 。2451234234190328271542. (1)判断矩阵 是否可逆？如果可逆，求 。132A1A(2)判断矩阵 ，是否可逆？如果可逆，求 。40113. 解矩阵方程(1) ，其中 。AXB1023,235AB(2) ，其中 。10,43244. 求下列线性方程组的一般解：(1) ， (2) ， (3) 。123445x1324135879xx123461854xx65. 讨论 取何值时，方程组 (1)无解，(2) 有唯一解，(3)有无穷多个解。k1232123kxk
