1、 “一线三等角”基本图形解决问题三角形相似在整个初中数学中有着重要的地位，在学习三角形相似形时，我们从复杂图形中分离出基本数学模型，对分析问题、解决问题有化繁为简的效果。在近几年的中考题中，经常可以看到“一线三等角”的数学模型，所谓“一线三等角”是指在一条直线上出现了三个角相等。所以，只要见到一条直线上出现了三个等角，往往都存在这样的模型，也会存在相似三角形，当出现了有相等边的条件之后，相似就转化为全等了，综合性题目往往就会把相似和全等的转化，作为出题的一种形式，需要大家注意。本文将重点对这一基本图形进行探讨。通过对题目的有效分解，打破同学们对综合题的畏惧心理，让同学们加深对于题目条件的使用：
2、条件用完，即使题目没有求解完毕，也得到相应的分数，提高问题解决的能力，在这个师生共同探讨的过程中鼓励学生尝试解题，并加强题后反思，培养他们解题的能力。一、知识梳理：（1）四边形 ABCD 是矩形，三角板的直角顶点 M 在 BC 边上运动，直角边分别与射线 BA、射线 CD 交于 E、F，在运动过程中，EBMMCF.（2）如图 1：已知三角形 ABC 中，AB=AC,ADE=B,那么一定存在的相似三角形有ABDDEC.如图 2：已知三角形 ABC 中，AB=AC,DEF=B,那么一定存在的相似三角形有DBEECF.（图 1） （图 2）二、 【例题解析】【例 1】(2014 四川自贡）阅读理解：
3、如图 1，在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E（点 E 不与点 A、点 B 重合） ，分别连接ED，EC，可以把四边形 ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把 E 叫做四边形ABCD 的边 AB 上的强相似点解决问题：（1）如图 1，A=B=DEC=55，试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图 2，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=2，且 A，B，C，D 四点均在正方形网格（网格中32 1FEDAB M C每个小正方形的边长为 1
4、）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图 2 中画出矩形ABCD 的边 AB 上的一个强相似点 E；拓展探究：（3）如图 3，将矩形 ABCD 沿 CM 折叠，使点 D 落在 AB 边上的点 E 处若点 E 恰好是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点，试探究 AB 和 BC 的数量关系【练习】1、 已知矩形 ABCD 中， AB=3，AD=2 ，点 P 是 AB 上的一个动点，且和点 A,B 不重合，过点 P 作 PE 垂直 DP，交边 BC 于点 E,设,PA=x，BE=y，求y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围 .2、如图，已知正方形 ABCD，将一块等腰直角三角
5、尺的锐角顶点与 A 重合，并将三角尺绕点旋转，当 M 点旋转到BC 的垂直平分线 PQ 上时，连接 ON，若 ON=8，求 MQ 的长.3. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=m(m 是大于 0 的常数)，BC=8,E 为线段 BC 上的动点（不与BC 重合）.连接 DE，作 EFDE，EF 与射线 BA 交于点 F，设 CE=x,BF=y,(1)求 y 关于 x 的函数关系式（2）若 m=8，求 x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？（3）若 ，要使DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？1 FAB CDE【例 2】等边 ABC 边长为 6， P 为 BC 边上一点， MPN=60，且
6、PM、 PN 分别于边 AB、 AC交于点 E、 F.（1）如图 1，当点 P 为 BC 的三等分点，且 PE AB 时，判断 EPF 的形状；（2）如图 2，若点 P 在 BC 边上运动，且保持 PE AB，设 BP=x，四边形 AEPF 面积的 y，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）如图 3，若点 P 在 BC 边上运动，且 MPN 绕点 P 旋转，当 CF=AE=2 时，求 PE 的长.图 1 图 2 图 3分析过程：（1）EPF 为等边三角形. （2）设 BP=x，则 CP6x.由题意可 BEP 的面积为 . CFP 的面积为 .ABC 的面积为 .23
7、8x23(6)x9设四边形 AEPF 的面积为 y. = .93y2x2(6)x25393x自变量 x 的取值范围为 3x6. （3）可证EBPPCF. .设 BP=x，BPECF则 . 解得 . PE 的长为 4 或 . (6)8124,x23【练习】.如图，在 ABC 中， AB=AC=5cm， BC=8，点 P 为 BC 边上一动点（不与点 B、 C 重合） ，过点 P 作射线 PM 交 AC 于点 M，使 APM= B；（1）求证： ABP PCM；（2）设 BP=x， CM=y求 y 与 x 的函数解析式，并写出自变量的取值范围（3）当 APM 为等腰三角形时，求 PB 的长（4)
8、当点 是 的中点时，试说明 ADE 是什么三角形，并说明理由DBCAB P CM【例 3】在 中， 是 AB 上的一点，且 ，点 PABCOBCA,3,4,90o 52ABO是 AC 上的一个动点， 交线段 BC 于点 Q， （不与点 B,C 重合） ，已知 AP=2，求 CQOPQ【练习】在直角三角形 ABC 中， 是 AB 边上的一点，E 是在 AC 边DBCA,90o上的一个动点， （与 A,C 不重合） ， 与射线 BC 相交于点 F.FE(1)、当点 D 是边 AB 的中点时，求证：(2)、当 ，求 的值mBAFE【例 4】如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(3，0)，B
9、(1.0)，C(0，3)(1)求抛物线的解析式；(2)若点 P 为第三象限内抛物线上的一点，设PAC 的面积为 S，求 S 的最大值并求出此时点 P 的坐标；(3)设抛物线的顶点为 D，DEx 轴于点 E，在 y 轴上是否存在点 M，使得ADM 是直角三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由答案：(1)y=x2+2x3；(2)S 有最大值 ，点 P 的坐标为（ ， ） ；82723415(3)M 的坐标为（0， ）或（0， ）或（0，1）或（0，3）.2327课后作业：1. 已知：如图，在 ABC 中， ， ，点 D 在边 AB 上， ，5ACB6ABE点 E 在边 BC
10、 上又点 F 在边 AC 上，且 BEF(1) 求证： FCE EBD；(2) 当点 D 在线段 AB 上运动时，是否有可能使EBFCS4如果有可能，那么求出 BD 的长如果不可能请说明理由2. 如图，在 ABC 中， AB=AC=5， BC=6， P 是 BC 上一点，且 BP=2，将一个大小与 B 相等的角的顶点放在 P 点，然后将这个角绕 P 点转动，使角的两边始终分别与 AB、 AC 相交，交点为 D、 E。（1）求证 BPD CEP（2）是否存在这样的位置， PDE 为直角三角形？若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。3. 如图，在 ABC 中， AB=AC=5， BC=6，
11、P 是 BC 上的一个动点(与 B、C 不重合)， PE AB与 E， PF BC 交 AC 与 F，设 PC=x，记 PE= ， PF=1y2（1）分别求 、 关于 x 的函数关系式1y2（2） PEF 能为直角三角形吗?若能，求出 CP 的长，若不能，请说明理由。4. 如图，在 ABC 中， AB=AC=5， BC=6， P 是 BC 上的一个动点(与 B、C 不重合)， PE AB 与 E， PF BC 交 AC 与 F，设PC=x， PEF 的面积为 y（1）写出图中的相似三角形不必证明；（2）求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（3）若 PEF 为等腰三角形，求 P
12、C 的长。CPEABFCPEABDCPEABFAB CDEF5. 已知在等腰三角形 中， ， 是 的中点， 是 上ABC4,6ACDEBC的动点（不与 、 重合） ，连结 ，过点 作射线 ，使 ，射线DEFA交射线 于点 ，交射线 于点 .DFEFH（1）求证： ；（2）设 .,xy用含 的代数式表示 ；B求 关于 的函数解析式，并写出 的定义域.yx6. 已知在梯形 ABCD 中， AD BC， AD BC，且 AD5， AB DC2（1）如图 8， P 为 AD 上的一点，满足 BPC A求证； ABP DPC求 AP 的长（2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、 D 不重
13、合） ，且满足 BPE A， PE 交直线 BC 于点 E，同时交直线 DC 于点 Q，那么当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 AP x， CQ y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；当 CE1 时，写出 AP 的长（不必写出解题过程） HABC DEFCDABP答案：1. 解：（1） AB=AC B= C BED+ DEF= C+ EFC=90又 BED= EFCBDEF FCE EBD（2） BD=x， BE= ，35x356 FCE EBD 若 2)(BDESFCEBDFCS44)356(2x18x BD 不存在3165x2. 解：（1） AB=AC B= C D
14、PC= DPE+ EPC= B+ BDP EPC = BDP ABD DCE（2） DPE= B 90若PDE=90，在 Rt ABH 和 Rt PDE 中cos ABH=cos DPE= 53PEDAH53PCB PC=4 512若PED=90在 Rt ABH 和 Rt PDE 中cos ABH=cos PED= 53DB3 PC=4 （舍去）5320D综上所述，BD 的长为 13. 解：（1） 、 524)6(541xy xy3（2） FPE= B 90若 PFE=90，在 Rt ABH 和 Rt PFE 中cos ABH=cos FPE= 5PEFAH12y5324x172x若 PEF=
15、90，在 Rt ABH 和 Rt PFE 中cos ABH=cos FPE= 3B 3512y524xx CPEABDHCPEABDHCPEABFHCPEABFH4. 解：（1） PEB EPC（2） PC=x ， ，PF34)6(5xE)6(2514xEPH )(7321Hy即 x6752)0(（3）当 PE=PF 时， EPC PEB， PC=BE=x， 5649x当 PE=EF 时， ，cos EPH=cosB， PFH32153)6(2x4108当 FE=PF 时， ， cos FPM=cosB， )6(52xEM3x2综上所述， PC 的长分别为 、 、49310825. 解：（1） , ABCCDEFAH又 , EDFH（2） ，A 是 的中点， ， ，又 63,4xB当 点在线段 的延长线上时， ， HB4xBH9当 点在线段 上时， ，A3x过点 作 DG AB,交 于点 DCG ， 12GB,2D当 点在线段 的延长线上时， ， HABHF942yx1890924xy当 点在线段 上时， ， HABHBFGD942yxCPEABFGHM81942xy
