1、专题复习 几何探究问题一、结论探究【例 1】如图，已知ABC 是等腰直角三角形，BAC=90 0，点 D 是 BC 中点，作正方形 DEFG，使点 A、C 分别在 DG 和 DE 上，连接 AE、BG（1）试猜想线段 BG 和 AE 的数量关系，请直接写出你得到的结论（2）将正方形 DEFG 绕点 D 逆时针旋转一定角度后（旋转角大于 00，小于或等于 3600），如图，通过观察和测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由。（3）若 BC=DE=2，在（2 ）的旋转过程中，当 AE 为最大值时，求 AF 的值。变式练习：已知正方形 ABCD 中，E
2、为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EFBD 交 BC 于 F，连接DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG（1）直接写出线段 EG 与 CG 的数量关系；（2）将图 1 中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图 2 所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （3）将图 1 中BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图 3 所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）FBA DCEG图 1FBA DCEG图 2FBACE图 3DFECBABC二、条件探究【例 2】已知两个全等的直角三角形纸片 ABC、DEF，如
3、图（1）放置，点 B、D 重合，点 F 在 BC 上，AB 与 EF 交于点 G，C=EFB=90 0，E=ABC=30 0，AB=DE=4（1）求证：EGB 是等腰三角形（2）若纸片 DEF 不动，问ABC 绕点 F 旋转最小 度时，四边形 ACDE 成为以ED 为底的梯形（如图（2 ），求此梯形的高。【例 3】如图，RtAB C 是由 RtABC 绕点 A 顺时针旋转得到的，连结 CC 交斜边于点E，CC 的延长线交 BB 于点 F（1）证明：ACEFBE ；（2）设ABC = ， CAC = ，试探索 、 满足什么关系时， ACE 与FBE 是全等三角形，并说明理由ADBADEBADCF
4、EBADDQFEBAD图 1ADBADCFEBADDQFEBAD图 2三、类比探究【例 4】（1）操作发现：如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE，且点 G 在举行 ABCD 内部小明将 BG 延长交 DC 于点 F，认为 GF=DF，你同意吗？说明理由（2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若 DC=2DF，求 的值；ABD（3）类比探求：保持（1）中条件不变，若 DC=nDF，求 的值【例 5】如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面
5、积等分线（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有_；（2）如图 1，梯形 ABCD 中，ABDC，如果延长 DC 到 E，使 CEAB，连接 AE，那么有 S 梯形 ABCDS ABE 请你给出这个结论成立的理由，并过点 A 作出梯形 ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹） ；（3）如图，四边形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行，S ADC S ABC ，过点 A 能否作出四边形ABCD 的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由GAB CDEG【例 6】（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边（不含端点
6、 B、C）上任意一点,P 是 BC 延长线上一点，N 是DCP 的平分线上一点若 AMN=90 ，求证：AM=MN下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明证明：在边 AB 上截取 AE=MC，连 ME正方形 ABCD 中， B=BCD=90，AB=BCNMC=180 AMNAMB=180B AMB=MAB=MAE （下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形 ABCD”改为“正三角形 ABC”（如图 2）,N 是ACP 的平分线上一点，则当AMN=60时，结论 AM=MN 是否还成立？请说明理由（3）若将（1）中的“正方形 ABCD”改为“正 边形
7、ABCDX”，请你作出猜想：当nAMN= 时，结论 AM=MN 仍然成立 （直接写出答案，不需要证明）【例 7】请阅读下列材料问题：如图 1，在等边三角形 ABC 内有一点 P，且 PA=2， PB= ， PC=1求3BPC 度数的大小和等边三角形 ABC 的边长李明同学的思路是：将BPC 绕点 B 顺时针旋转 60，画出旋转后的图形（如图2） 连接 PP，可得PPC 是等边三角形，而 PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证） 所以 APC=150，而BPC=APC=150进而求出等边ABC 的边长为 问题得到解决 7请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图 3，在正方形 ABC
8、D 内有一点P，且 PA= ，BP= ，PC=1求BPC 度数的大小和正方形 ABCD 的边长52MNPDCEBA图 1MNPCBA图 2图 3图 1 图 2能力检测1如图 1，已知 ABC=90， ABE 是等边三角形，点 P 为射线 BC 上任意一点（点 P 与点B 不重合） ，连结 AP，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60得到线段 AQ，连结QE 并延长交射线 BC 于点 F.（1）如图 2，当 BP=BA 时， EBF= ，猜想 QFC= ；（2）如图 1，当点 P 为射线 BC 上任意一点时，猜想 QFC 的度数，并加以证明；（3）已知线段 AB= ，设 BP= x，点 Q 到
9、射线 BC 的距离为 y，求 y 关于 x的函数关系3式2如图（1） ，在ABC 和EDC 中，AC CE CBCD，ACBECD ，AB 与90CE 交于 F，ED 与 AB、BC 分别交于 M、H （1）求证：CFCH；（2）如图（2） ，ABC 不动，将EDC 绕点 C 旋转到 BCE= 时，试判断四边形45ACDM 是什么四边形？并证明你的结论3、如图（1）已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 AC 上一点，连接EB，过点 A 作 AMBE 于 M，AM 交 BD 于点 F（1）求证：OE=OF（2）如图（2）若点 E 在 AC 的延长线上，AMBE 于 M
10、，交 DB 的延长线于点 F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。图2ABEQPF C图1ACBEQF PA CDBMEF H图（1）A CDBMEFH图（2）4已知：如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，DCB = 90，E 是 AD 的中点，点 P 是BC 边上的动点（不与点 B 重合） ，EP 与 BD 相交于点 O.（1）当 P 点在 BC 边上运动时，求证：BOPDOE；（2）设（1）中的相似比为 ，若 ADBC = 23. 请探究：当 k 为下列三种情况时，k四边形 ABPE 是什么四边形？当 = 1 时，是 ；当 = 2 时，
11、是 k；当 = 3 时，是 . 并证明 = 2 时的结论.k5观察思考：某种 在 同 一 平 面 进 行 传 动 的 机 械 装 置 如 图 14-1， 图 14-2是 它 的 示 意 图 其 工 作 原 理 是 ： 滑 块 Q 在 平 直 滑 道 l 上可 以 左 右 滑 动 ， 在 Q 滑 动 的 过 程 中 ， 连 杆 PQ 也 随 之 运动 ， 并 且 PQ 带动连杆 OP 绕固定点 O 摆动在摆动过程中，两连杆的接 点 P 在 以 OP 为 半 径 的 O 上 运 动 数 学 兴趣 小 组 为 进 一 步 研 究 其 中 所 蕴 含 的 数 学 知 识 ， 过 点 O 作OH l 于
12、 点 H， 并 测 得 OH = 4 分米，PQ = 3 分米，OP = 2分米解决问题：（1）点 Q 与点 O 间的最小距离是 分米；点 Q 与点O 间的最大距离是 分米；点 Q 在 l 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 分米（2）如图 14-3，小明同学说： “当点 Q 滑动到点 H 的位置时，PQ 与 O 是相切的 ”你认为他的判断对吗？为什么？（3）小 丽 同 学 发 现 ： “当 点 P 运 动 到 OH 上 时 ， 点 P 到 l的 距 离 最 小 ”事 实 上 ， 还 存 在 着 点 P 到 l 距 离 最 大 的 位 置 ， 此时 ， 点 P 到 l 的 距 离 是
13、 分米；当 OP 绕点 O 左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数AB CDEPOHlO图 14-3P（Q）HlOPQ图 14-2图 14-1连杆滑块滑道DEAM NC B6(9 分) 如图，点 C 为线段 AB 上任意一点( 不与点 A、B 重合)，分别以 AC、BC 为一腰在AB 的同侧作等腰ACD 和BCE，CA CD，CB CE ，ACD 与BCE 都是锐角，且ACDBCE，连接 AE 交 CD 于点 M，连接 BD 交 CE 于点 N，AE 与 BD 交于点P，连接 CP(1)求证：ACEDCB；(2)请你判断ACM 与DPM 的形状有何关系并说明理由；(3
14、)求证：APCBPC部分答案【变式练习】解：（1）CG=EG 1 分（2） （1）中结论没有发生变化，即 EG=CG证明：连接 AG，过 G 点作 MNAD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点在DAG 与DCG 中， AD=CD，ADG=CDG，D G=DG， DAGDCG AG=CG 2 分在DMG 与FNG 中， DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG， DMGFNG MG=NG 3 分在矩形 AENM 中，AM=EN 4 分在 RtAMG 与 RtENG 中， AM=EN， MG=NG， AMGENG AG=EG5 分 EG=CG 6 分（3） （1）中的结论仍然成立7 分FBA
15、 DCEGMNN图 2FBA DCE图3G【例 2】【例 3】【例 4】【例 5】解：（1）如图，将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得BPA，则BPCBPAAP=PC=1，BP=BP= 2连结 P P，在 Rt BPP中， BP=BP= ，P BP=9 0， P P=2， BPP=45 2分在APP 中， AP=1，P P=2，AP= ，5 ，即 AP 2 + PP 2 = AP2221(5) APP 是直角三角形，即 A P P=90 APB=135 BPC= APB=135 4 分（2）过点 B 作 BEAP 交 AP 的延长线于点 E EP B=45. EP=BE=1. AE=2.
16、在 RtABE 中，由勾股定理，得 AB= 7 分5 BPC=135 ，正方形边长为 能力检测：【题 1】解: （1） EBF 30 QFC= 60.2 分（2） QC=60.1 分不妨设 BP 3A, 如图 1 所示 BAP=BAE+EAP=60+EAP EAQ=QAP+EAP=60 +EAP BAP=EAQ.2 分 在ABP 和 AEQ 中 AB=AE，BAP=EAQ， AP=AQABP AEQ（SAS）.3 分 AEQ=ABP=90.4 分BEF 1801809630EQB FC= F360.5 分 (事实上当 BP A时，如图 2 情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）(3)在图 1 中，过点 F 作 FGBE 于点 GABE 是等边三角形 BE=AB= 3，由（1）得 EBF30在 Rt BGF 中，32BEBF=2cos0BEF=2.1 分ABP AEQ QE=BP= x QF=QEEF x.2 分过点 Q 作 QHBC，垂足为 H在 Rt QHF 中，3sin60(2)yQFA（x0）即 y 关于 x 的函数关系式是：y.3 分【题 2】
