1、相似三角形的性质及应用-知识讲解（提高）【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3. 相似三角形周长的比等于相似比 ，则由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方 ，则 分别作出 与 的高 和 ，则
2、21122=ABCDkBCADS k 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2 测量距离2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1如甲图所示，通常可先测量图中的线段 DC、BD、CE 的距离（长度） ，根据相似三角形的性质，求出 AB 的长.2如乙图所示，可先测 AC、DC 及 DE 的长，再根据相似三角形的性质计算 AB 的长.要点诠
3、释： 1比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角【典型例题】类型一、相似三角形的性质1.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为 6、8，按如图那样折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为 DE，则SBCE ：S BDE 等于（ ） A. 2：5 B14:25 C16:25 D. 4:21【思路点拨】相似三角形的面积比等于相似比的平方，但是一定要注意两个三角
4、形是否相似.【答案】B.【解析】由已知可得 AB=10，AD=BD=5，设 AE=BE=x, 则 CE=8-x, 在 RtBCE 中，x 2-(8-x)2=62,x=,由ADEACB 得 ， S BCE ：S BDE =（64-25-25）：25=14:25，所以选B.【总结升华】关键是要确定哪两个是相似三角形.举一反三【变式】在锐角ABC 中，AD,CE 分别为 BC,AB 边上的高，ABC 和BDE 的面积分别等于 18 和 2，DE=2,求 AC 边上的高.【答案】过点 B 做 BFAC,垂足为点 F， AD,CE 分别为 BC,AB 边上的高，ADB=CEB=90，又B=B，RtADB
5、RtCEB,BDABEEC即,且B=B，EBDCBA,2189BEDCAS, 3,又DE=2，AC=6，162ABF ， =.2.已知：如图，在ABC 与CAD 中，DABC，CD 与 AB 相交于 E 点，且 AEEB=12，EFBC 交 AC 于 F 点，ADE 的面积为 1，求BCE 和AEF 的面积 【答案与解析】DABC， ADEBCE S ADE :SBCE =AE2:BE2 AEBE=1:2， S ADE:SBCE =1:4 S ADE =1， S BCE =4 S ABC :SBCE =AB:BE=3:2， S ABC =6EFBC， AEFABC AE:AB=1:3， S A
6、EF :SABC =AE2:AB2=1:9 S AEF= = 【总结升华】注意，同底(或等底)三角形的面积比等于该底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方举一反三：【变式】如图，已知 中， ， ， ， ，点 在 上， (与点 不重合 )， 点在 上.(1)当 的面积与四边形 的面积相等时，求 的长.(2)当 的周长与四边形 的周长相等时，求 的长.【答案】 (1) ， .(2) 的周长与四边形 的周长相等.=6， .类型二、相似三角形的应用3. 在斜坡的顶部有一铁塔 AB，B 是 CD 的中点，CD 是水平的
7、，在阳光的照射下，塔影 DE 留在坡面上。已知铁塔底座宽 CD=12m，塔影长 DE=18m，小明和小华的身高都是 1.6m，同一时刻，小明站在点 E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为 2m 和 1m，那么塔高 AB 为（ ）A.24m B.22m C.20m D.18m【答案】 A.【解析】过点 D 做 DNCD 交光线 AE 于点 N，则1.6082DE,DN=14.4，又AM:MN=1.6:1，AM=1.6MN=1.6BD=1.66=9.6塔高 AB=AM+DN=14.4+9.6=24，所以选 A.【总结升华】解决本题的难点是把塔高的影长分为在平地和斜坡
8、上两部分；关键是利用平地和斜坡上的物高与影长的比得到相应的部分塔高的长度举一反三：【变式】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下 1.5m 宽的亮区 DE.亮区一边到窗下的墙脚距离 CE=1.2m，窗口高 AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度 BC. 【答案】作 EFDC 交 AD 于 F.ADBE， 又 ， ， . ABEF， ADBE，四边形 ABEF 是平行四边形，EF=AB=1.8m. m.4.学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律如图，在同一时间，身高为 的小明 的影子 长是 ，而小颖 刚好在路灯灯泡的正下方 点，并测得
9、 （1）请在图中画出形成影子的光线，交确定路灯灯泡所在的位置 ；（2）求路灯灯泡的垂直高度 ；（3）如果小明沿线段 向小颖（点 ）走去，当小明走到 中点 处时，求其影子 的长；当小明继续走剩下路程的 到 处时，求其影子 的长；当小明继续走剩下路程的 到 处，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的 到 处时，其影子 的长为 m（直接用 的代数式表示） 【思路点拨】本题考查相似三角形的应用；借助相似三角形确定比例线段是本题的关键【答案与解析】 （1） （2）由题意得：， ， ， （m） （3） ， ， 设 长为 ，则 ，解得： （ m） ，即 （ m） 同理 ，解得 （m） ， 【总结升华】本题是
10、相似性质的运用与找规律相结合的一道题，要注意从特殊到一般形式的变换规律.相似三角形的性质及应用-巩固练习（提高） 【巩固练习】一、选择题1如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3 和 4 及 x，那么 x 的值（ ）A只有 1 个 B可以有 2 个 C有 2 个以上，但有限 D有无数个2. 若平行四边形 ABCD 中，AB10，AD6，E 是 AD 的中点，在 AB 上取一点 F，使CBFCDE，则 BF 的长为（ ）A1.8 B5 C6 或 4 D8 或 23. 如图，已知 D、E 分别是 的 AB、 AC 边上的点， 且 那么 等于（ ）A1
11、：9 B1：3 C1：8 D1：23 4 54如图 G 是ABC 的重心，直线 过 A 点与 BC 平行.若直线 CG 分别与 AB、 交于 D、E 两点，直线 BG 与 AC 交于 F 点，则AED 的面积 ：四边形 ADGF 的面积=( ) A1：2 B2：1 C2：3 D3：25. 如图，将 ABC 的高 AD 四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分 S1、 S2、 S3、 S4，则 S1 S2 S3 S4等于（ ）A.1234 B.2345 C.1357 D.35796.如图，在 ABCD 中，E 为 CD 上一点，DE：CE=2：3，连结 AE、BE、BD，且
12、AE、BD 交于点 F，则S DEF ：S EBF ：S ABF 等于( ) A.4：10：25 B.4：9：25 C.2：3：5 D.2：5：256 7 8 9二、填空题 7.如图，梯形 ABCD 中，ABCD,AC、BD 相交于点 E，1,2DCS BDEC AB=_.8.如图，ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足ADC=ACB,若 AC=2，AD=1，则 DB=_.9.如图，在PAB 中，M、N 是 AB 上两点，且PMN 是等边三角形，BPMPAN，则APB 的度数是_.10.如图，ABC 中，DEBC,BE,CD 交于点 F，且 S EFC=3 D，则 S AE： BC=_.10
13、 11 1211. 如图，丁轩同学在晚上由路灯 AC 走向路灯 BD，当他走到点 P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯 AC 的底部，当他向前再步行 20m 到达 Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯 BD 的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是 9m，则两路灯之间的距离是_12.如图，锐角ABC 中，AD,CE 分别为 BC,AB 边上的高，ABC 和BDE 的面积分别等于 18 和 2，DE=2，则 AC 边上的高为_.三、解答题 13. 为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：图（1）：测得竹竿 CD 的长为 0.8 米，其影 C
14、E 长 1 米，树影 AE 长 2.4 米图（2）：测得落在地面的树影长 2.8 米，落在墙上的树影高 1.2 米，请问图（1）和图（2）中的树高各是多少？13 1414.（1）阅读下列材料，补全证明过程： 已知：如图，矩形 ABCD 中， AC、 BD 相交于点 O， OE BC 于 E，连结 DE交 OC 于点 F，作 FG BC 于 G求证：点 G 是线段 BC 的一个三等分点证明：在矩形 ABCD 中， OE BC， DC BC， OE DC ， （2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出 BC 的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程） 15. 已知如图，在矩形 ABCD
15、 中，AB=12cm，BC=6cm，点 E 自 A 点出发，以每秒 1cm 的速度向 D 点前进，同时点 F 从D 点以每秒 2cm 的速度向 C 点前进，若移动的时间为 t，且 0t6（1）当 t 为多少时，DE=2DF；（2）四边形 DEBF 的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由（3）以点 D、E、F 为顶点的三角形能否与BCD 相似？若能，请求出所有可能的 t 的值；若不能，请说明理由【答案与解析】一选择题 1.【答案】B.【解析】x 可能是斜边，也可能是直角边.2.【答案】A.3.【答案】B.4.【答案】D.5.【答案】C.【解析】本题要求运用相似三角形的面积
16、比等于相似比的平方。由 ，所以 ，又由 ，可得 ，下略6.A. ABCD 中，ABDC，DEFABF， (DEF 与EBF 等高，面积比等于对应底边的比)，所以答案选 A.二、填空题 7.【答案】14.【解析】1,2DECBS且DEC 与CEB 是同高不同底的两个三角形，即1.2DEB因为 ABCD,所以DECBEA,所以EABS=248.【答案】3.【解析】 ADC=ACB，DAC=BAC,ACDABC,ACDBAB=241，BD=AB-AD=4-1=3.9. 【答案】120.【解析】 BPMPAN， BPMA， PMN 是等边三角形， A+APN60，即APN+BPM60， APBBPM+
17、MPN+APN60+60=12010.【答案】1:9【解析】 EFCS =3 D ，FC:DF=3:1，又DEBC,BFCEFD,即 BC：DE=FC:FD=3:1，由ADEABC，即 A ： BCS =1:9.11.【答案】30m. 12.【答案】 6.【解析】AD,CE 分别为 BC,AB 边上的高,ADB=BEC=90，ABD=EBCRtABDRtCBE ABDCE，ABCDBE相似三角形面积比为相似比的平方，218ADE= 9, =3 ,AC=3DE=32=6h=2SABC/AC=218/6=6 即 AC 边上的高是 6 .三、解答题 13.【解析】 （1）CDEABE， CAB， 又
18、竹竿 CD 的长为 0.8 米，其影 CE 长 1 米，树影AE 长 2.4 米， AB=1.92 米即图 1 的树高为 1.92 米（2）设墙上的影高落在地面上时的长度为 x，树高为 h，竹竿 CD 的长为 0.8 米，其影 CE 长 1 米， =0.812x解得 x=1.5（m） ，树的影长为：1.5+2.8=4.3（m） ， 14.3=08h解得 h=3.44（m） 14.【解析】 （1）补全证明过程: FG BC， DC BC， FG DC AB DC， 又 FG AB， 点 G 是 BC 的一个三等分点（2）如图，连结 DG 交 AC 于点 H，作 HI BC 于 I， 则点 I 是
19、线段 BC 的一个四等分点.15.【解析】 （1）由题意得：DE=AD-t=6-t，DF=2t，6-t=22t，解得 t=65，故当 t=65时，DE=2DF；（2）矩形 ABCD 的面积为：126=72 ，S ABE =1212t=6t，S BCF= 6（12-2t）=36-6t，四边形 DEBF 的面积=矩形的面积-S ABE -SBCF =72-6t-36+6t=36，故四边形 DEBF 的面积为定值.（3）设以点 D、E、F 为顶点的三角形能与BCD 相似，则 BC或 BC，由 ED=6-t，DF=2t，FC=12-2t，BC=6，代入解得：t=12（舍去）或 t=6（舍去）或 t= 32，故当 t= 32时，以点 D、E、F 为顶点的三角形与BCD 相似
