1、用心教育 用心成长1高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出 y。（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数 fg（x） 的表达式，求 f（x）的表达式时可以令 tg（x） ，以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出 f（x）和 f（x） ，或 f（x）和 f（1/x）的一个方程，则可以 x 代换x（或
2、 1/x） ，构造出另一个方程，解此方程组，消去 f（x） （或 f（1/x） ）即可求出 f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出 y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时
3、间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数 yfg（x） 的定义域的求解，应先由 yf （u）求出 u 的范围，即 g（x）的范围，再从中解出 x 的范围 I1；再由 g（x）求出 yg（x）的定义域 I2， I1 和 I2 的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一
4、个变量代换。例 1. 已知21()xxf，试求 ()fx。解：设t，则 t，代入条件式可得：2()1ftt，t1 。故得：2()1,fxx。说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。例 2. （1）已知21()345fxfx，试求 ()fx；（2）已知 2，试求 ；用心教育 用心成长2解：（1）由条件式，以1x代 x，则得 211()345ffxx，与条件式联立，消去1fx，则得：2284533fx。（2）由条件式，以x 代 x 则得：2()(ffx，与条件式联立，消去 f，则得：f
5、。说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。例 4. 求下列函数的解析式：（1）已知 是二次函数，且 ，求 ；)(xf 1)(1(,2)0( xfxff )(xf（2）已知 ，求 ， ， ；x12（3）已知 ，求 ；f)(2)(f（4）已知 ，求 。3(fx【思路分析】【题意分析】 （1）由已知 是二次函数，所以可设 ，设法求出 即可。)x )0()(2acbxxf cba,（2）若能将 适当变形，用 的式子表示就容易解决了。21（3）设 为一个整体，不妨设为 ，然后用 表示 ，代入原表达式求解。xtt（4） ， 同时使得 有
6、意义，用 代替 建立关于 ， 的两个方程就行了。)(xfx)(xf)f【解题过程】设 ，由 得 ，)0(2acb,2)(fc由 ，得恒等式 ，得 。1)(1(fxf 1b23,ba故所求函数的解析式为 。23)(2xxf（2） ，)()( 2xxf又 。1(,1,02f（3）设 ，tt则则 1)()()() 2222 tttxxxft所以 。)1(2（4）因为 33ff用 代替 得 解式得 。5)(xf【题后思考】求函数解析式常见的题型有：（1）解析式类型已知的，如本例，一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式，顶点式 和标根式 的选择；)0(2acbxy khxay2)( )(21xa
7、y（2）已知 求 的问题，方法一是配凑法，方法二是换元法，如本例（2） （3） ；xgf(f用心教育 用心成长3（3）函数方程问题，需建立关于 的方程组，如本例（4） 。若函数方程中同时出现 ， ，则一)(xf )(xf1f般将式中的 用 代替，构造另一方程。x1特别注意：求函数的解析式时均应严格考虑函数的定义域。二：求函数定义域1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。例 3. 求324xy的定义域。解：由题意知：0x，从而解得： x2 且 x 4.故所求定义域为：x|x2 且
8、x4 。例 2. 求下列函数的定义域：（1） ； （2）35)(f xf1)(【思路分析】【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值范围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次方被开方数为非负数。【解题过程】 （1）要使函数有意义，则 ，在数轴上标出，即35,035xx即。故函数的定义域为 .当然也可表示为3,3xxx或或 5,(),(。或或（2）要使函数有意义，则 ，从而函数的定义域为 。1,01x所 以即 1x|【题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几个限制条件时，那么定义域为解各限制条件所得的 的范围的交集，利用数轴可便于解决问题。求函
9、数的定义域时不应化简解析式；定x义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“ ”连接。2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。例 4. 已知函数由下表给出，求其定义域X 1 2 3 4 5 6Y 22 3 14 35 6 17解：1，2，3，4，5，6。3、求与复合函数有关的定义域：由外函数 f（u）的定义域可以确定内函数 g（x）的范围，从而解得 xI 1，又由 g（x）定义域可以解得 xI 2.则 I1I 2 即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。用心教育 用心成长42()3,(),()43xfxgyfgx例 8 已
10、知 求 的 定 义 域 .解： 2由 又由于 x24x30 *联立*、*两式可解得：939314493|14xx或故 所 求 定 义 域 为 或例 9. 若函数 f（2 x）的定义域是 1，1 ，求 f（log 2x）的定义域。解：由 f（2 x）的定义域是 1，1可知：2 1 2x2，所以 f（x）的定义域为2 1 ，2 ，故log2x2 1 ，2 ，解得 4，故定义域为 ,。三：求函数的值域与最值求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。1、分离变量法例 11. 求函数231xy的值域。解：12x，因为
11、01x，故 y2，所以值域为y|y2。说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量 x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。2、配方法例 12. 求函数 y2x 24x 的值域。解：y2x 24x2（x 22x1）22（x1） 222，故值域为y|y2。说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如 yaf 2（x）bf （x）c 。3、判别式法例 13. 求函数23456xy的值域。解： 2可变形为：（4y1）x 2（5y2）x6y30，由 0 可解得：63,71y。说明：对分子分母最高次数为二次的分式函
12、数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个用心教育 用心成长5关于 x 的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故 0。4、单调性法例 14. 求函数23yx，x4，5的值域。解：由于函数 为增函数，故当 x4 时，y min 25；当 x5 时，y max 513，所以函数的值域为513,2。5、换元法例 15. 求函数 241yx的值域。解：令 0t，则 y2t 24t2（
13、t1） 24，t0 ，故所求值域为y|y4。例 3. 求下列函数的值域：（1） 5,431,2xy（2）（3） 2（4） )25(,3xxy【思路分析】【题意分析】求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域 上的函数A，其值域就是指集合 ；二是函数的定义域，对应关系是确定函数值的依据。)(fAx),(fyC【解题过程】（1）将 的值域为 。，1x25,432x中 计 算分 别 代 入 得 出 函 数 1,9573，（2） ，即所求函数的值域为 或用换元法，令 的0),1)0(1),0(tytxt值域为 。),（3） 函数的定义域为 R。,1122xxy。,(,0,x12yy
14、y 1)(2222。1,(,12x得 到故所求函数的值域为（1，1。（4） 14,2,4)322 xxxxy所以函数的值域为12，3 。.(4,6)(2 x【题后思考】求函数的值域问题关键是将函数的解析式变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步用心教育 用心成长6推出所求函数的值域，有时还需要结合函数的图象进行分析。【模拟试题】(答题时间：30 分钟)一. 选择题1、函数 yf（x）的值域是 2，2 ，则函数 yf （x 1）的值域是（ ）A. 1，3 B. 3，1 C. 2，2 D. 1，12、已知函数 f（x）x 22x ，则函数 f（x）在区间 2，2上的最大值为（ ）A. 2 B
15、. 4 C. 6 D. 83、一等腰三角形的周长为 20，底边长 y 是关于腰长 x 的函数，那么其解析式和定义域是（ ）A. y202x（x10） B. y202x（x10）C. y202x（4x10） D. y202x（5x10）4、二次函数 yx 24x4 的定义域为a，b （ab） ，值域也是a，b ，则区间a，b是（ ）A. 0，4 B. 1，4 C. 1，3 D. 3，45、函数 yf（x2）的定义域是 3，4 ，则函数 yf （ x5）的定义域是（ ）A. 0，1 B. 3，4 C. 5，6 D. 6，76、函数 2的值域是（ ）7131.,.,4 43377317.(,).(,
16、)(,)4 4ABCD 7、 （2007 安徽）图中的图像所表示的函数的解析式是（ ）33.1(02).1(02)22. .AyxByxCD 二. 填空题8、若 f（x）（xa） 3 对任意 xR 都有 f（1x） f（1x） ，则 f（2）f（2） ；9、若函数2()的值域为,3，则其定义域为 ；三. 解答题10、求函数5342xy的定义域。用心教育 用心成长711、已知21,2(),xf，若 f（a ）3，求 a 的值。12、已知函数 f（x）满足 2f（x）f（x）x 24x，试求 f（x）的表达式。习题讲解：1.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 0),2()1(,log2
17、xfxf ，则 f（2009）的值为( )A.-1 B. 0 C.1 D. 2答案:C.【解析】:由已知得 2(1)logf, (0)f, ()(1)ff,(2)0f, 310,43()f, (5)4(3)ff, (6)5(4)0ff,所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现 .,所以 f（2009）= f（5）=1,故选 C.【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.2.设函数 0,4)(2xxf 则不等式 )1(fxf的解集是（ ） A 31, B ),2()1,3 C )() D 答案：A【解析】由已知，函数先增后减再增当 0x， 2)(f31(f令 ,)(xf解
18、得 ,1。当 x， ,6x故 3)(ff ，解得 31x或【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。3.已知函数 )(xf是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x都有 )(1)(xff，则)25(f的值是用心教育 用心成长8A. 0 B. 21 C. 1 D. 25答案：A【解析】若 x0，则有 )()(xfxf，取 2，则有：)1()()21()12() fffff （ )(xf是偶函数，则 )21(ff ）由此得0)1(f于是， 0)21(5)(2135)()23(5)(231)()25 fffffff4.若 ()1xfa是奇函数，则 a
19、 答案 2【解析】解法 1 2(),()(21xxfaffx211() 2x xxa a 故5.已知函数 3,1,()f若 ()2fx，则 . 答案 3log2.w【解析】5.u.c 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x的值. 属于基础知识、基本运算的考查.由 31l2x， 12x无解，故应填 3log2.6.记 3()log()f的反函数为 1()yfx，则方程 1()8fx的解 答案 2【解法 1】由 3()l()yfx，得 13y，即 1()3f，于是由 318x，解得 2x【解法 2】因为 8，所以 (8log2xf三、知识要点1、奇偶函数定义：用心教育 用心成长9（1）偶函数
20、一般地，对于函数 f（x）的定义域内的任意一个 x，都有 f（x）=f（x） ，那么 f（x）就叫做偶函数（2）奇函数一般地，对于函数 f（x）的定义域内的任意一个 x，都有 f（x）=f（x） ，那么 f（x）就叫做奇函数注意：函数是奇函数或偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；奇偶函数的定义域的特征：关于原点对称。由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称） 奇函数若在 0x时有定义，则 (0)f2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数
21、。3、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称说明：一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于 轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于 y轴对称，那么这个函数是偶函数。4、判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定 f（x）与 f（x）的关系；作出相应结论：若 f（x） = f（x） 或 f（x）f （x） = 0，则 f（x ）是偶函数；若 f（x） =f（x） 或 f（x）f （x） = 0，则 f（ x）是奇函数5、判断函数的奇偶性也可
22、以用下列性质在公共定义域内，（1）两个奇函数的和为奇函数；两个奇函数的积为偶函数（2）两个偶函数的和为偶函数；两个偶函数的积为偶函数（3）一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数（4） 函数 f （x ）与 f1同奇或同偶【典型例题】一、判断函数的奇偶性例 1、判断函数的奇偶性时易犯的错误（1）因忽视定义域的特征致错1、1xf；f （x）=x 2+（x+1） 0错解：， f （x）是奇函数 f （x） =（x） 2+（x+1） 0=x2+（x +1） 0=f （x） f （x）是偶函数分析：一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称正解：定义域（，1）（1，+）关于原点不对称，f （x）
23、是非奇非偶函数定义域（，1）（1，+） ， f （x ）为非奇非偶函数（2）因缺乏变形意识或方法致错用心教育 用心成长102、判断215xf的奇偶性错解： 5 x1 0， x0f （x）的定义域为（ ，0）（0，+） ，关于原点对称 215xx， f （x） f （x ） ，f （x）f （x） ， f （x）是非奇非偶函数分析：因演变过程不到位导致错误，所以要注意进行恒等变形正解：15215xxf，定义域为（，0）（0，+）关于原点对称 xfxf xxx 2 f （x）是奇函数（3） 因忽视 f （x ）=0 致错3、判断函数 224x的奇偶性错解：由 042x得 x=2， f （x）的定义
24、域为 2，2，关于原点对称xfx 2244， f （x）为偶函数正解：f （x）的定义域为 2，2，此时，f （x ）=0 ， f （x）既是奇函数又是偶函数点评：函数 f （x）=0 （x 0）是 f （x）既是奇函数又是偶函数的一个必要条件，任何一个关于原点对称的区间都可以作为解析式为 f （ x）=0 （x0）函数的定义域（4）因分段函数意义不清致错二、函数的奇偶性与单调性的关系例 3、已知：函数 ()yf在 R上是奇函数，而且在 (0,)上是增函数，证明： fx在 ,上也是增函数。证明：设 120，则 12x )fx在 ,上是增函数。 ()()ff，又 ()f在 上是奇函数。 12，即 12f所以， yfx在 ,上也是增函数。规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致例 4、 ()fx为 R上的奇函数，当 0x时， 2()31fxx，当 x0 时，求 ()fx解：设 0，由于 ()f是奇函数，故 ，又 ，由已知有 22(3
