1、 全等三角形全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂：388614 全等三角形单元复习，知识要点】要点一、全等三角形的判定与性质要点二、全等三角形的证明思路 SAHLASAS找 夹 角已 知 两 边 找 直 角找 另 一 边边 为 角 的 对 边 找 任 一 角找 夹 角 的 另 一 边已 知 一 边 一 角 边
2、 为 角 的 邻 边 找 夹 边 的 另 一 角找 边 的 对 角找 夹 边已 知 两 角 找 任 一 边要点三、角平分线的性质1.角的平分线的性质定理一般三角形 直角三角形判定边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）边边边（SSS）两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边、直角边定理（HL）性质对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有
3、关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.要点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1 证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质.2 证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个
4、角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等.3 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法：可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.4 辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5. 证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线
5、段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.【典型例题】类型一、巧引辅助线构造全等三角形(1)倍长中线法1、已知，如图，ABC 中，D 是 BC 中点，DEDF,试判断 BECF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论.FED CBA【思路点拨】因为 D 是 BC 的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段 DF，使 DGDF,证明EDGEDF，FDCGDB，这样就把 BE、CF 与 EF 线段转化到了B
6、EG 中，利用两边之和大于第三边可证.【答案与解析】BECFEF；证明：延长 FD 到 G，使 DGDF,连接 BG、EGD 是 BC 中点BDCD又DEDF在EDG 和EDF 中EDGFEDGEDF（SAS）EGEF在FDC 与GDB 中DGFBC21FDCGDB(SAS)CFBGBGBEEGBECFEF【总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.举一反三：【变式】已知：如图所示，CE、CB 分别是ABC 与ADC 的中线，且ACBABC求证：CD2CE【答案】证明： 延长 CE 至 F 使 EFCE，连接 BF EC 为中线， AEBE在AEC 与BEF 中，,
7、AEBCF AECBEF（SAS） ACBF，AFBE （全等三角形对应边、角相等）又 ACBABC，DBCACBA，FBCABCA ACAB，DBCFBC ABBF又 BC 为ADC 的中线， ABBD即 BFBD在FCB 与DCB 中，,BFDC FCBDCB（SAS） CFCD即 CD2CE(2)作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、已知：如图所示，在ABC 中，C2B，12求证：ABACCD【答案与解析】证明：在 AB 上截取 AEAC在AED 与ACD 中，()12AECD已 作 ，已 知 ，公 用 边 ， AEDACD（SAS） EDCD AEDC(全等三角形对应边、角相
8、等)又 C2B AED2B由图可知：AEDBEDB， 2BBEDB BEDB BEED即 BECD ABAEBEACCD(等量代换)【总结升华】本题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现 ABAC故用截长补短法在 AB 上截取 AEAC这样 AB 就变成了 AEBE，而 AEAC只需证 BECD 即可从而把 ABACCD 转化为证两线段相等的问题举一反三：【变式】如图，AD 是 的角平分线，H，G 分别在 AC，AB 上，且 HDBD.ABC(1)求证：B 与AHD 互补；(2)若B2DGA180，请探究线段 AG 与线段 AH、HD 之间满足的等量关系，并加以证明.【答案】证明：（1
9、）在 AB 上取一点 M, 使得 AMAH, 连接 DM. CADBAD, ADAD, AHDAMD. HDMD, AHDAMD. HDDB, DB MD. DMBB. AMDDMB 180, AHDB180. 即 B 与AHD 互补. （2）由（1）AHDAMD, HDMD, AHDB180. B2DGA 180, AHD2DGA. AMD2DGM. AMDDGMGDM. 2DGMDGMGDM. DGMGDM. MDMG. HD MG. AG AMMG, AG AHHD. （3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形3、 （2015 新宾县模拟）如图， ABC 中，AB=AC，点 P 是三角
10、形右外一点，且APB=ABC（1）如图 1，若BAC=60 ，点 P 恰巧在ABC 的平分线上， PA=2，求 PB 的长；（2）如图 2，若BAC=60 ，探究 PA，PB，PC 的数量关系，并证明；（3）如图 3，若BAC=120 ，请直接写出 PA，PB，PC 的数量关系M GH DCBA【思路点拨】 （1）AB=AC， BAC=60，证得 ABC 是等边三角形，APB= ABC，得到APB=60，又点 P 恰巧在ABC 的平分线上，得到ABP=30 ，得到直角三角形，利用直角三角形的性质解出结果（2）在 BP 上截取 PD，使 PD=PA，连结 AD，得到 ADP 是等边三角形，再通过
11、三角形全等证得结论（3）以 A 为圆心，以 AP 的长为半径画弧交 BP 于 D，连接 AD，过点 A 作 AFBP 交 BP于 F，得到等腰三角形，然后通过三角形全等证得结论【答案与解析】解：（1）AB=AC ，BAC=60，ABC 是等边三角形， APB=ABC，APB=60，又 点 P 恰巧在 ABC 的平分线上，ABP=30，PAB=90，BP=2AP，AP=2，BP=4；（2）结论：PA+PC=PB 证明：如图 1，在 BP 上截取 PD，使 PD=PA，连结 AD，APB=60，ADP 是等边三角形，DAP=60，1=2，PA=PD，在ABD 与 ACP 中，ABDACP，PC=B
12、D，PA+PC=PB；（3）结论： PA+PC=PB证明：如图 2，以 A 为圆心，以 AP 的长为半径画弧交 BP 于 D，连接 AD，过点 A作 AFBP 交 BP 于 F，AP=AD，BAC=120，ABC=30，APB=30，DAP=120，1=2，在ABD 与 ACP 中，ABDACP，BD=PC，AFPD，PF= AP，PD= AP， PA+PC=PB【总结升华】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，截长补短作辅助线构造全等三角形是解题的关键 举一反三：【变式】如图，AD 是ABC 的角平分线，ABAC,求证：ABACB
13、DDC【答案】证明：在 AB 上截取 AEAC,连结 DEAD 是ABC 的角平分线，BADCAD在AED 与ACD 中ADCBEED CBAAEDADC（SAS）DEDC在BED 中，BEBDDC即 ABAEBDDCABACBDDC（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段4、如图所示，已知 E 为正方形 ABCD 的边 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且DAEFAE求证：AFADCF【思路点拨】四边形 ABCD 为正方形，则D90而DAEFAE 说明 AE 为FAD 的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而 E 到 AD 的距离已有，只需作 E到 AF 的距离 EM
14、即可，由角平分线性质可知 MEDEAEAERtAME 与 RtADE 全等有ADAM而题中要证 AFADCF根据图知 AFAMMF故只需证 MFFC 即可从而把证 AFADCF 转化为证两条线段相等的问题【答案与解析】证明： 作 MEAF 于 M，连接 EF 四边形 ABCD 为正方形， CDEMA90又 DAEFAE， AE 为FAD 的平分线， MEDE在 RtAME 与 RtADE 中， ()AEDM公 用 边 ，已 证 ， RtAMERtADE(HL) ADAM(全等三角形对应边相等)又 E 为 CD 中点， DEEC MEEC在 RtEMF 与 RtECF 中， ()ECF已 证 ，
15、公 用 边 ， RtEMFRtECF(HL) MFFC(全等三角形对应边相等)由图可知：AFAMMF， AFADFC(等量代换)【总结升华】与角平分线有关的辅助线： 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 5、如图所示，在ABC 中，AC=BC，ACB=90，D 是 AC 上一点，且 AE 垂直 BD 的延长线于 E， ，求证：BD 是ABC 的平分线12AB【答案与解析】证明：延长 AE 和 BC，交于点 F，ACBC，BEAE，ADE=BDC（对顶角相等） ，EAD+ADE=CBD+BDC即EAD=CBD在 RtACF 和 RtBCD 中所以 Rt
16、ACFRtBCD（ASA） 则 AF=BD（全等三角形对应边相等） AE= BD，AE= AF，即 AE=EF在 RtBEA 和 RtBEF 中，则 RtBEARtBEF（SAS） 所以ABE=FBE（全等三角形对应角相等） ，即 BD 是ABC 的平分线【总结升华】如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.类型二、全等三角形动态型问题【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，巩固练习 5】6、在ABC 中，ACB90，ACBC，直线 经过顶点 C，过 A，B 两点分别作 的l l垂线 AE，BF，
17、垂足分别为 E，F.（1）如图 1 当直线 不与底边 AB 相交时，求证：EFAEBF.l（2）将直线 绕点 C 顺时针旋转，使 与底边 AB 相交于点 D，请你探究直线 在如下l l位置时，EF、AE、BF 之间的关系，ADBD；ADBD；ADBD.【答案与解析】证明：（1）AE ，BF ，AECCFB90， 1290llACB90，239013。在ACE 和CBF 中，13AECFBACECBF（AAS）AECF，CEBFEFCECF，EFAEBF。（2）EFAEBF，理由如下：AE ，BF ，llAECCFB90，1290ACB90，2390，13。在ACE 和CBF 中13AECFBACECBF（AAS）AECF，CEBFEFCFCE，EFAEBF。EFAEBFEFBFAE证明同.【总结升华】解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：(1)变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；(2)图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；(3)几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，其结论有时变化，有时不发生变化.举一反三：
