1、选修 44 坐标系与参数方程1坐标系与极坐标(1)理解坐标系的作用(2)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化(3)能在极坐标系中给出简单图形( 如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示图形时选择坐标系的意义2参数方程(1)了解参数方程，了解参数的意义(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程(3)掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题知识点一 极坐标系1极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内
2、取一个定点 O，点 O 叫作极点，自极点 O 引一条射线 Ox，Ox 叫作极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位及其正方向，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标极径：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫作点 M 的极径，记为 .极角：以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫作点 M 的极角，记为 .极坐标：有序数对(，)叫作点 M 的极坐标，记作 M(， )2极坐标与直角坐标的互化设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是( x，y )，极坐标是( ， )，则它们之间的关系为：Error!Error! 易误提醒 1极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式
3、在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件2在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视注意极坐标( ，)( ， 2k )，( ， 2k)(k Z)表示同一点的坐标 自测练习1设平面上的伸缩变换的坐标表达式为Error!则在这一坐标变换下正弦曲线 ysin x的方程变为_解析：由Error!知Error!代入 ysin x 中得 y3sin 2x.答案：y3sin 2x2点 P 的直角坐标为(1， )，则点 P 的极坐标为_3解析：因为点 P(1， )在第四象限，与原点的距离为 2，且 OP 与 x 轴所成的角为3 ，所以点 P 的极坐标为 .3 (2， 3)答案
4、： (2， 3)3(2015高考北京卷)在极坐标系中，点 到直线 (cos sin )6 的距离为(2，3) 3_解析：点 的直角坐标为 (1， )，直线 (cos sin )6 的直角坐标方程为 x(2，3) 3 3y 6 0，所以点 (1， )到直线的距离 d 1.3 3|1 33 6|1 3答案：1知识点二 参数方程参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线 C 上任意一点 P 的坐标 x，y 是某个变数 t 的函数Error! 并且对于 t 的每一个允许值，由函数式 Error!所确定的点 P(x，y )都在曲线 C 上，那么方程Error!叫作这条曲线的参数方程，变数 t 叫
5、作参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程 易误提醒 1在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保持一致，否则不等价2直线的参数方程中，参数 t 的系数的平方和为 1 时，t 才有几何意义，且其几何意义为：|t| 是直线上任一点 M(x，y) 到 M0(x0，y 0)的距离，即 |M0M|t|.自测练习4在平面直角坐标系中，曲线 C：Error! (t 为参数) 的普通方程为 _解析：依题意，消去参数可得 x2y1，即 xy10.答案：xy105在平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 Error!( 为参数) 的右焦点，且与直线Error! (
6、t 为参数) 平行的直线截椭圆所得的弦长为_解析：椭圆的普通方程为 1，则右焦点的坐标为(1,0) 直线的普通方程为x24 y23x2y20，过点(1,0)与直线 x2y 20 平行的直线方程为 x2y10，由Error!得4x22x110，所以所求的弦长为 .1 (12)2 (12)2 4( 114) 154答案：154考点一 曲线的极坐标方程|1在极坐标系下，已知圆 O： cos sin 和直线 l： sin .( 4) 22(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；(2)当 (0 ，)时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标解：(1)圆 O： cos sin ，即 2cos sin
7、 ，圆 O 的直角坐标方程为：x 2y 2xy，即 x2y 2x y0，直线 l：sin ，即 sin cos 1，则直线 l 的直角坐标方程为：( 4) 22yx1，即 x y10.(2)由Error!得Error!故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为 .(1，2)2(2016长春模拟)已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为2 ， 22 cos 2.2 ( 4)(1)将圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解：(1)由 2 知 24，所以 x2y 24.因为 22 cos 2，2 ( 4)所以 22 2.2(cos cos 4
8、sin sin 4)所以 x2y 22x 2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为 xy 1.化为极坐标方程为 cos sin 1，即 sin .( 4) 22直角坐标化为极坐标的关注点(1)根据终边相同的角的意义，角 的表示方法具有周期性，故点 M 的极坐标( ，)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个当限定 0，0,2)时，除极点外，点 M 的极坐标是唯一的(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角 应注意判断点 M 所在的象限( 即角 的终边的位置)，以便正确地求出角 0,2)的值考点二 曲线的参数方程|1已知曲线 C1：Error!(t 为参数 )曲线 C
9、2：Error!( 为参数)(1)化 C1，C 2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ，Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线2C3：Error!( t 为参数 )的距离的最小值解：(1)曲线 C1：( x4) 2(y 3) 21，曲线 C2： 1，x264 y29曲线 C1 是以(4,3)为圆心， 1 为半径的圆；曲线 C2 是以坐标原点为中心，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆(2)当 t 时，P(4,4)，Q(8cos ，3sin )，故 M .曲线 C3 为直2 ( 2 4cos ，2 32si
10、n )线 x2y70，M 到 C3 的距离 d |4cos 3sin 13|，从而当 cos ，sin 时，55 45 35d 取最小值 .8552已知曲线 C： 1，直线 l：Error! (t 为参数) x24 y29(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求| PA|的最大值与最小值解：(1)曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)直线 l 的普通方程为 2xy60.(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos ，3sin )到 l 的距离为d |4cos 3sin 6|.55则|PA| |
11、5sin() 6| ，dsin 30 255其中 为锐角，且 tan .当 sin() 1 时，| PA|取得最大值，最大值为 .43 2255当 sin( )1 时，|PA|取得最小值，最小值为 .255参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形考点三 极坐标方程、参数方程的综合应用|(2015高考全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：Error!(t 为参数，t 0) ，其中 0 0，又 0 0)为极坐标方程；(2)化曲线的极坐标方程 8sin 为直角坐标方程解：(1)将 xcos ，y si
12、n 代入 x2y 2r 2，得 2cos2 2sin2 r 2， 2(cos2 sin 2 )r 2，r.所以，以极点为圆心、半径为 r 的圆的极坐标方程为 r(04，直线 l 与圆 C 相离| 4 5 3|2 9 325倾斜角为 的直线 l 过点 P(8,2)，直线 l 和曲线 C：Error!( 为参数)交于不同的两点 M1， M2.(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程，并写出直线 l 的参数方程；(2)求|PM 1|PM2|的取值范围解：(1)曲线 C 的普通方程为 1，直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)x232 y24(2)将 l 的参数方程代入曲线 C 的方程得：(
13、8 t cos )28(2tsin )232，整理得(8sin 2 cos 2 )t2(16cos 32sin )t640，由 (16cos 32sin ) 24 64(8sin2 cos 2 )0，得 cos sin ，故 ，0，4)|PM 1|PM2| t1t2| .641 7sin2 (1289，64B 组 高考题型专练1(2015高考广东卷改编)已知直线 l 的极坐标方程为 2sin ，点 A 的极坐标( 4) 2为 A ，求点 A 到直线 l 的距离(22，74)解：由 2sin 得 2 ，所以 yx1，故直线 l 的直角坐( 4) 2 ( 22sin 22cos ) 2标方程为 x
14、y10，而点 A 对应的直角坐标为 A(2，2)，所以点 A(2，2) 到(22，74)直线 l：xy10 的距离为 .|2 2 1|2 5222(2015高考全国卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x2，圆 C2：(x1)2( y 2)21，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C1，C 2 的极坐标方程；(2)若直线 C3 的极坐标方程为 (R )，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求C 2MN 的4面积解：(1)因为 xcos ，y sin ，所以 C1 的极坐标方程为 cos 2，C2 的极坐标方程为 22cos 4sin 40.(2)将 代入 22c
15、os 4 sin 40，4得 23 40，2解得 12 ， 2 .2 2故 1 2 ，即|MN| .2 2由于 C2 的半径为 1，所以C 2MN 的面积为 .123(2015高考湖南卷)已知直线 l：Error!(t 为参数)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos .(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点 M 的直角坐标为 (5， )，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA| MB|的值3解：(1)2cos 等价于 22 cos .将 2x 2y 2，cos x 代入即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2y 22x0.(2)将Error!代入，得 t25 t180，设这个方程的两个实根分别为 t1，t 2，则由3参数 t 的几何意义知，|MA| MB|t 1t2|18.4(2015高考陕西卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)以
